2018年湖北省咸宁市中考数学试卷(答案解析).pdf

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1、2018 年湖北省咸宁市中考数学试卷 一、选择题 (每题只有一个正确选项，本题共8 小题，每题3 分，共 24 分) 1(3 分)咸宁冬季里某一天的气温为32，则这一天的温差是() A1B 1 C5D 5 2(3 分)如图，已知ab，l 与 a、b 相交，若 1=70 ，则 2 的度数等于 () A120 B110 C100 D70 3(3 分)2017 年，咸宁市经济运行总体保持平稳较快增长，全年GDP 约 123500000000 元，增速在全省17 个市州中排名第 三，将 123500000000 用科学记数法表示为() A123.5 109B12.35 1010C1.235 108D1

2、.235 1011 4(3 分)用 4 个完全相同的小正方体搭成如图所示的几何体，该几何体的() A主视图和左视图相同B主视图和俯视图相同 C左视图和俯视图相同D三种视图都相同 5(3 分)下列计算正确的是() Aa3?a3=2a3Ba 2+a2=a4 Ca6 a2=a 3 D(2a2) 3=8a6 6(3 分)已知一元二次方程2x 2+2x1=0 的两个根为 x1，x2，且 x1x2，下列结论正确的是() Ax1+x2=1 Bx1?x2=1 C|x1|x2| Dx1 2+x 1= 7(3 分)如图，已知 O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB，COD，若 AOB 与COD

3、 互补，弦 CD=6， 则弦 AB 的长为 () A6 B8 C5D5 8(3 分)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400 米，先到终点的人原地休息已知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论： 甲步行的速度为60 米/分； 乙走完全程用了32 分钟； 乙用 16 分钟追上甲； 乙到达终点时，甲离终点还有300 米 其中正确的结论有() A1 个B2 个C3 个D4 个 二、细心填一填(本大题共 8 小题，每小题3 分，满分 24 分) 9(3 分)如果分式有意义，那么实数x 的取值范围是 10

4、(3 分)因式分解： ab2a= 11(3 分)写出一个比 2 大比 3 小的无理数 (用含根号的式子表示) 12(3 分)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3随机摸出一个小球然后放回，再随机摸 出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是 13(3 分)如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为 45 ，测得底部C 的俯角为 60 ，此时航拍无人机与该建 筑物的水平距离AD 为 110m，那么该建筑物的高度BC 约为m(结果保留整数， 1.73 ) 14(3 分)如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为 (2，3)

5、，则点 F 的坐标为 15(3 分)按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：， ，则这个数列前2018 个数的和为 16(3 分)如图，已知 MON=120 ，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OA=OB=a，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到OM ， 旋转角为 (0 120 且 60 )，作点 A 关于直线 OM 的对称点C，画直线 BC 交 OM 于点 D，连接 AC，AD，有下列结论： AD=CD； ACD 的大小随着 的变化而变化； 当 =30时，四边形OADC 为菱形； ACD 面积的最大值为a2； 其中正确的是(把你认为正确结论的序号都填上) 三、专心解一解 (本大题共

6、8 小题， 满分 72 分，请认真读题， 冷静思考解答题应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤， 请把解题过程写在答题卷相应题号的位置) 17(8 分)(1)计算：+|2|； (2)化简： (a+3)(a2)a(a1) 18(7 分)已知： AOB 求作： AOB，使 AO B=AOB (1)如图 1，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点 C、D； (2)如图 2，画一条射线OA，以点 O 为圆心， OC 长为半径画弧，交OA 于点 C ； (3)以点 C 为圆心， CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D； (4)过点 D 画射线 O B，则 AOB=AOB

7、根据以上作图步骤，请你证明AOB= AOB 19(8 分)近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“ 绿色出行 ” 方式之一，自2016 年国庆后，许多高校均投放了使用手机 支付就可随取随用的共享单车某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单 车的情况，并整理成如下统计表 使用次数 012345 人数 11152328185 (1)这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是，众数是，该中位数的意义是； (2)这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？(结果保留整数 ) (3)若该校某天有1500 名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3 次以上 (含

8、 3 次)的学生有多少人？ 20(8 分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 B 的坐标为 (4，2)，直线 y= x+ 与边 AB，BC 分别相交于点M， N，函数 y= (x0)的图象过点M (1)试说明点N 也在函数 y= (x0)的图象上； (2)将直线 MN 沿 y轴的负方向平移得到直线M N ，当直线 MN与函数 y (x0)的图象仅有一个交点时，求直线MN 的解析 式 21(9 分)如图，以 ABC 的边 AC 为直径的 O 恰为 ABC 的外接圆， ABC 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于点E (1)求证： DE 是O 的切线；

9、 (2)若 AB=2，BC=，求 DE 的长 22(10 分)为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级 去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17 个学生，还剩12 个学生没人带；若每位老师带18 个 学生，就有一位老师少带4 个学生现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示 甲种客车乙种客车 载客量 /(人/辆) 3042 租金 /(元/辆) 300400 学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100 元，为了安全，每辆客车上至少要有2 名老师 (1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ (2

10、)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2 名老师，可知租用客车总数为辆； (3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由 23(10 分)定义： 我们知道， 四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等 )，我们就把这条对角线叫做 这个四边形的 “ 相似对角线 ” 理解： (1)如图 1，已知 RtABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形 ABCD 是以 AC 为“ 相似对 角线 ” 的四边形 (保留画图痕迹，找出3 个即可 )； (2)如图 2，在四边形ABCD 中， ABC=80 ，AD

11、C=140 ，对角线 BD 平分 ABC 求证： BD 是四边形 ABCD 的“ 相似对角线 ” ； (3)如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“ 相似对角线 ” ，EFH=HFG=30 ，连接 EG，若 EFG 的面积为2，求 FH 的长 24(12 分)如图，直线y= x+3 与 x轴交于点A，与 y轴交于点 B抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个 交点为 C (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线 AB 于点 Q设点 P 的横坐标为m，PQ 与 OQ 的比值为 y，求 y与 m 的函 数关系式，并求出PQ

12、与 OQ 的比值的最大值； (3)点 D 是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设ODC 外接圆的圆心为M，当 sinODC 的值最大时，求点M 的坐 标 2018 年湖北省咸宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 (每题只有一个正确选项，本题共8 小题，每题3 分，共 24 分) 1(3 分)咸宁冬季里某一天的气温为32，则这一天的温差是() A1B 1 C5D 5 【分析】根据题意列出算式，再利用减法法则计算可得 【解答】解：这一天的温差是2(3)=2+3=5()， 故选： C 2(3 分)如图，已知ab，l 与 a、b 相交，若 1=70 ，则 2 的度数等于 () A12

13、0 B110 C100 D70 【分析】先求出1 的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出2 的度数 【解答】解：如图， 1=70 ， 3=180 1=180 70 =110 ， ab， 2=3=110 故选： B 3(3 分)2017 年，咸宁市经济运行总体保持平稳较快增长，全年GDP 约 123500000000 元，增速在全省17 个市州中排名第 三，将 123500000000 用科学记数法表示为() A123.5 109B12.35 1010C1.235 108D1.235 1011 【分析】科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中1|a|10，n 为整数确定n 的值

14、时，要看把原数变成a 时，小数点 移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数 【解答】解： 123500000000=1.2351011， 故选： D 4(3 分)用 4 个完全相同的小正方体搭成如图所示的几何体，该几何体的() A主视图和左视图相同B主视图和俯视图相同 C左视图和俯视图相同D三种视图都相同 【分析】分别得出该几何体的三视图进而得出答案 【解答】解：如图所示： ， 故该几何体的主视图和左视图相同 故选： A 5(3 分)下列计算正确的是() Aa3?a3=2a3Ba 2+a2=a4 Ca6 a2=a 3

15、D(2a2) 3=8a6 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项法则及同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方逐一计算可得 【解答】解： A、a3?a3=a6，此选项错误； B、a2+a2=2a2，此选项错误； C、a 6 a2=a4，此选项错误； D、(2a2)3=8a6，此选项正确； 故选： D 6(3 分)已知一元二次方程2x 2+2x1=0 的两个根为 x1，x2，且 x1x2，下列结论正确的是() Ax1+x2=1 Bx1?x2=1 C|x1|x2| Dx1 2+x 1= 【分析】直接利用根与系数的关系对A、B 进行判断；由于x1+x20，x1x20，则利用有理数的性质得到x1、x2异号，

16、且负数 的绝对值大，则可对C 进行判断；利用一元二次方程解的定义对D 进行判断 【解答】解：根据题意得x1+x2= =1，x1x2= ，所以 A、B 选项错误； x1+x20，x1x20， x1、x2异号，且负数的绝对值大，所以 C 选项错误； x1为一元二次方程 2x2+2x1=0 的根， 2x12+2x11=0， x12+x1= ，所以 D 选项正确 故选： D 7(3 分)如图，已知 O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB，COD，若 AOB 与COD 互补，弦 CD=6， 则弦 AB 的长为 () A6 B8 C5D5 【分析】延长 AO 交O 于点 E， 连接 B

17、E， 由AOB+BOE=AOB+COD 知BOE=COD， 据此可得 BE=CD=6， 在 RtABE 中利用勾股定理求解可得 【解答】解：如图，延长AO 交O 于点 E，连接 BE， 则AOB+BOE=180 ， 又 AOB+COD=180 ， BOE=COD， BE=CD=6， AE 为O 的直径， ABE=90 ， AB= =8， 故选： B 8(3 分)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400 米，先到终点的人原地休息已知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论： 甲步行的速度为60 米/

18、分； 乙走完全程用了32 分钟； 乙用 16 分钟追上甲； 乙到达终点时，甲离终点还有300 米 其中正确的结论有() A1 个B2 个C3 个D4 个 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：由图可得， 甲步行的速度为：240 4=60 米 /分，故 正确， 乙走完全程用的时间为：2400 (16 60 12)=30(分钟 )，故 错误， 乙追上甲用的时间为：164=12(分钟)，故 错误， 乙到达终点时，甲离终点距离是：2400(4+30)60=360 米，故 错误， 故选： A 二、细心填一填(本大题共 8 小题，每小题3 分，满

19、分 24 分) 9(3 分)如果分式有意义，那么实数x 的取值范围是x2 【分析】根据分式有意义的条件可得x20 ，再解即可 【解答】解：由题意得：x20 ， 解得： x2 ， 故答案为： x2 10(3 分)因式分解： ab2a=a(b+1)(b1) 【分析】首先提取公因式a，再运用平方差公式继续分解因式 【解答】解： ab2a， =a(b21)， =a(b+1)(b1) 11(3 分)写出一个比 2 大比 3 小的无理数 (用含根号的式子表示) 【分析】先利用459，再根据算术平方根的定义有23，这样就可得到满足条件的无理数 【解答】解： 459， 2 3， 即为比 2 大比 3 小的无理

20、数 故答案为 12(3 分)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3随机摸出一个小球然后放回，再随机摸 出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公 式即可求得答案 【解答】解：根据题意，画树状图如下： 共有 9 种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3 种结果， 所以两次摸出的小球标号相同的概率是= ， 故答案为： 13(3 分)如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为 45 ，测得底部C 的俯角为 60 ，此时航拍无人机与该建 筑物的水

21、平距离AD 为 110m，那么该建筑物的高度BC 约为300m(结果保留整数， 1.73 ) 【分析】在 RtABD 中，根据正切函数求得BD=AD?tanBAD， 在 RtACD 中，求得 CD=AD? tanCAD， 再根据 BC=BD+CD， 代入数据计算即可 【解答】解：如图，在 RtABD 中， AD=90，BAD=45 ， BD=AD=110(m)， 在 RtACD 中， CAD=60 ， CD=AD?tan60 =110 =190(m)， BC=BD+CD=110+190=300( m) 答：该建筑物的高度BC 约为 300 米 故答案为300 14(3 分)如图，将正方形 OE

22、FG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点， 点 E的坐标为 (2，3)， 则点 F 的坐标为(1，5) 【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G 的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F 的坐标 【解答】解：如图，过点E 作 x轴的垂线 EH，垂足为 H过点 G 作 x 轴的垂线 EG，垂足为 G，连接 GE、FO 交于点 O 四边形 OEFG 是正方形， OG=EO，GOM=OEH，OGM=EOH， 在OGM 与EOH 中， OGM EOH(ASA) GM=OH=2，OM=EH=3， G(3，2) O( ， ) 点 F 与点 O 关于点 O对称， 点 F 的坐标为(1，5) 故答案是：

23、(1，5) 15(3 分)按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：， ，则这个数列前2018 个数的和为 【分析】根据数列得出第n 个数为，据此可得前2018 个数的和为+，再用裂项求和计 算可得 【解答】解：由数列知第n 个数为， 则前 2018 个数的和为+ + =+ =1 + + + + =1 =， 故答案为： 16(3 分)如图，已知 MON=120 ，点 A，B 分别在 OM，ON 上，且 OA=OB=a，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到OM ， 旋转角为 (0 120 且 60 )，作点 A 关于直线 OM 的对称点C，画直线 BC 交 OM 于点 D，连接 AC，AD，有下

24、列结论： AD=CD； ACD 的大小随着 的变化而变化； 当 =30时，四边形OADC 为菱形； ACD 面积的最大值为 a2； 其中正确的是(把你认为正确结论的序号都填上) 【分析】 根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM是 AC 的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判 断； 作O，根据四点共圆的性质得：ACD=E=60 ，说明 ACD 是定值，不会随着的变化而变化； 当 =30时，即 AOD=COD =30 ，证明 AOC 是等边三角形和 ACD 是等边三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判断； 先证明 ACD 是等边三角形，当AC 最大时， ACD 的面积最大，当A

25、C 为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断 【解答】解： A、C 关于直线 OM对称， OM是 AC 的垂直平分线， CD=AD， 故正确； 连接 OC， 由知： OM是 AC 的垂直平分线， OC=OA， OA=OB=OC， 以 O 为圆心，以OA 为半径作 O，交 AO 的延长线于E，连接 BE，则 A、B、C 都在 O 上， MON=120 ， BOE=60 ， OB=OE， OBE 是等边三角形， E=60 ， A、C、B、E 四点共圆， ACD=E=60 ， 故不正确； 当 =30时，即 AOD=COD =30 ， AOC=60 ， AOC 是等边三角形， OAC=60 ，OC=O

26、A=AC， 由得： CD=AD， CAD=ACD=CDA=60 ， ACD 是等边三角形， AC=AD=CD， OC=OA=AD=CD， 四边形 OADC 为菱形； 故正确； CD=AD，ACD=60 ， ACD 是等边三角形， 当 AC 最大时， ACD 的面积最大， AC 是O 的弦，即当AC 为直径时最大，此时AC=2OA=2a，=90 ， ACD 面积的最大值是： AC2=， 故正确， 所以本题结论正确的有： 故答案为： 三、专心解一解 (本大题共 8 小题， 满分 72 分，请认真读题， 冷静思考解答题应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤， 请把解题过程写在答题卷相应题号的位置)

27、 17(8 分)(1)计算：+|2|； (2)化简： (a+3)(a2)a(a1) 【分析】 (1)先化简二次根式、计算立方根、去绝对值符号，再计算加减可得； (2)先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，再合并同类项即可得 【解答】解： (1)原式 =22+2=； (2)原式 =a22a+3a6a2+a =2a6 18(7 分)已知： AOB 求作： AOB，使 AO B=AOB (1)如图 1，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点 C、D； (2)如图 2，画一条射线OA，以点 O 为圆心， OC 长为半径画弧，交OA 于点 C ； (3)以点 C 为圆心， CD 长为

28、半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D； (4)过点 D 画射线 O B，则 AOB=AOB 根据以上作图步骤，请你证明AOB= AOB 【分析】由基本作图得到OD=OC=O D= O C ，CD=CD ，则根据 “ SSS “ 可证明 OCD O C D，然后利用全等三角形的性质 可得到 AOB= AOB 【解答】证明：由作法得OD=OC=O D= O C ，CD=C D ， 在OCD 和OCD 中 ， OCD OCD ， COD=C O D ， 即AOB= AOB 19(8 分)近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“ 绿色出行 ” 方式之一，自2016 年国庆后，许多高校均投放了使用手机

29、 支付就可随取随用的共享单车某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单 车的情况，并整理成如下统计表 使用次数 012345 人数 11152328185 (1)这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是3，众数是3，该中位数的意义是表示这部分出行学生这天约有 一半使用共享单车的次数在3 次以上 (或 3 次)； (2)这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？(结果保留整数 ) (3)若该校某天有1500 名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3 次以上 (含 3 次)的学生有多少人？ 【分析】 (1)根据中位数和众数的定义求解可得； (2)根据

30、加权平均数的公式列式计算即可； (3)用总人数乘以样本中使用共享单车次数在3 次以上 (含 3 次)的学生所占比例即可得 【解答】解： (1)总人数为 11+15+23+28+18+5=100 ， 中位数为第50、51 个数据的平均数，即中位数为 =3 次，众数为3 次， 其中中位数表示这部分出行学生这天约有一半使用共享单车的次数在3 次以上 (或 3 次)， 故答案为： 3、3、表示这部分出行学生这天约有一半使用共享单车的次数在3 次以上 (或 3 次)； (2) = 2 (次)， 答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车约2 次； (3)1500 =765(人)， 答：估计这天使用共享单车

31、次数在3 次以上 (含 3 次)的学生有 765 人 20(8 分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 B 的坐标为 (4，2)，直线 y= x+ 与边 AB，BC 分别相交于点M， N，函数 y= (x0)的图象过点M (1)试说明点N 也在函数 y= (x0)的图象上； (2)将直线 MN 沿 y轴的负方向平移得到直线M N ，当直线 MN与函数 y (x0)的图象仅有一个交点时，求直线MN 的解析 式 【分析】 (1)根据矩形OABC 的顶点 B 的坐标为 (4，2)，可得点 M 的横坐标为4，点 N 的纵坐标为2，把 x=4 代入 y= x+ ， 得 y= ， 可求点 M

32、的坐标为 (4，)， 把 y=2 代入 y= x+ ， 得 x=1， 可求点 N 的坐标为 (1， 2)， 根据待定系数法可求函数y= (x0)的 解析式，再图象过点M，把 N(1，2)代入 y= ，即得作出判断； (2)设直线 MN 的解析式为y= x+b，由得 x22bx+4=0，再根据判别式即可求解 【解答】解： (1)矩形 OABC 的顶点 B的坐标为 (4，2)， 点 M 的横坐标为4，点 N 的纵坐标为2， 把 x=4 代入 y= x+ ，得 y= ， 点 M 的坐标为 (4， )， 把 y=2 代入 y= x+ ，得 x=1， 点 N 的坐标为 (1，2)， 函数 y= (x0)

33、的图象过点M， k=4=2， y= (x0)， 把 N(1，2)代入 y= ，得 2=2， 点 N 也在函数y= (x0)的图象上； (2)设直线 MN 的解析式为y= x+b， 由得 x 22bx+4=0， 直线 y= x+b 与函数 y (x0)的图象仅有一个交点， (2b)24 4=0， 解得 b=2，b2=2(舍去 )， 直线 MN 的解析式为y= x+2 21(9 分)如图，以 ABC 的边 AC 为直径的 O 恰为 ABC 的外接圆， ABC 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于点E (1)求证： DE 是O 的切线； (2)若 AB=2，BC=，

34、求 DE 的长 【分析】 (1)直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE 是O 的切线； (2)首先过点C 作 CGDE，垂足为 G，则四边形ODGC 为正方形，得出tanCEG=tanACB，=，即可求出答案 【解答】 (1)证明：连接OD， AC 是O 的直径， ABC=90 ， BD 平分 ABC， ABD=45 ， AOD=90 ， DEAC， ODE=AOD=90 ， DE 是O 的切线； (2)解：在 Rt ABC 中， AB=2，BC=， AC= =5， OD= ， 过点 C 作 CGDE，垂足为G， 则四边形ODGC 为正方形， DG=CG=OD= ， DEAC， CE

35、G=ACB， tanCEG=tanACB， =，即=， 解得： GE= ， DE=DG+GE= 22(10 分)为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级 去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17 个学生，还剩12 个学生没人带；若每位老师带18 个 学生，就有一位老师少带4 个学生现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示 甲种客车乙种客车 载客量 /(人/辆) 3042 租金 /(元/辆) 300400 学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100 元，为了安全，每辆客车上至少要有2 名老师 (1)

36、参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2 名老师，可知租用客车总数为8辆； (3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由 【分析】 (1)设出老师有x名，学生有y 名，得出二元一次方程组，解出即可； (2)根据汽车总数不能小于=(取整为 8)辆，即可求出； (3)设租用 x辆乙种客车，则甲种客车数为：(8x)辆，由题意得出400x+300(8x)3100 ，得出 x 取值范围，分析得出即可 【解答】解： (1)设老师有x名，学生有y 名 依题意，列方程组为， 解之得：， 答：老师有16 名，学生有284

37、 名； (2) 每辆客车上至少要有2 名老师， 汽车总数不能大于8 辆； 又要保证300 名师生有车坐，汽车总数不能小于=(取整为 8)辆， 综合起来可知汽车总数为8 辆； 故答案为： 8； (3)设租用 x辆乙种客车，则甲种客车数为：(8x)辆， 车总费用不超过3100 元， 400x+300(8x)3100 ， 解得： x7 ， 为使 300 名师生都有座， 42x+30(8x)300 ， 解得： x5 ， 5 x7 (x 为整数 )， 共有 3 种租车方案： 方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆，租车费用为2900 元； 方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆，租车费用为300

38、0 元； 方案三：租用甲种客车1 辆，乙种客车7 辆，租车费用为3100 元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆 23(10 分)定义： 我们知道， 四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等 )，我们就把这条对角线叫做 这个四边形的 “ 相似对角线 ” 理解： (1)如图 1，已知 RtABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形 ABCD 是以 AC 为“ 相似对 角线 ” 的四边形 (保留画图痕迹，找出3 个即可 )； (2)如图 2，在四边形ABCD 中， ABC=80 ，ADC=140 ，对角线

39、 BD 平分 ABC 求证： BD 是四边形 ABCD 的“ 相似对角线 ” ； (3)如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“ 相似对角线 ” ，EFH=HFG=30 ，连接 EG，若 EFG 的面积为2，求 FH 的长 【分析】 (1)先求出 AB，BC，AC，再分情况求出CD 或 AD，即可画出图形； (2)先判断出 A+ADB=140 =ADC，即可得出结论； (3)先判断出 FEH FHG，得出 FH 2=FE?FG，再判断出 EQ=FE，继而求出 ?FE=8，即可得出结论 【解答】解： (1)由图 1 知， AB=，BC=2，ABC=90 ，AC=5， 四边形 ABCD 是以

40、 AC 为“ 相似对角线 ” 的四边形， 当ACD=90 时， ACD ABC 或 ACD CBA， = 或 =2， CD=10 或 CD=2.5 同理：当 CAD=90 时， AD=2.5 或 AD=10， (2)证明： ABC=80 ，BD 平分 ABC， ABD=DBC=40 ， A+ADB=140 ADC=140 ， BDC+ADB=140 ， A=BDC， ABD BDC， BD 是四边形 ABCD 的“ 相似对角线 ” ； (3)如图 3， FH 是四边形 EFGH 的“ 相似对角线 ” ， EFG 与 HFG 相似， EFH =HFG， FEH FHG， ， FH 2=FE?FG

41、， 过点 E作 EQFG 于 Q， EQ=FE?sin60 = FE， FG EQ=2， FGFE=2， FG? FE=8， FH 2=FE?FG=8， FH =2 24(12 分)如图，直线y= x+3 与 x轴交于点A，与 y轴交于点 B抛物线 y= x 2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个 交点为 C (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线 AB 于点 Q设点 P 的横坐标为m，PQ 与 OQ 的比值为 y，求 y与 m 的函 数关系式，并求出PQ 与 OQ 的比值的最大值； (3)点 D 是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD

42、，设ODC 外接圆的圆心为M，当 sinODC 的值最大时，求点M 的坐 标 【分析】 (1)根据直线解析式求得点A、B 的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得； (2)过点 P 作 y 轴的平行线交AB 于点 E，据此知 PEQ OBQ，根据对应边成比例得y= PE，由 P(m， m 2+ m+3)、E(m， m+3)得 PE= m 2+ m，结合 y= PE 可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值； (3)设 CO 的垂直平分线与CO 交于点 N， 知点 M 在 CO 的垂直平分线上， 连接 OM、 CM、 DM， 根据 ODC= CMO=OMN 、 MC =MO=MD 知 si

43、nODC=sinOMN =，当 MD 取最小值时， sinODC 最大，据此进一步求解可得 【解答】解： (1)在 y= x+3 种，令 y=0 得 x=4，令 x=0 得 y=3， 点 A(4，0)、B(0，3)， 把 A(4，0)、B(0，3)代入 y= x2+bx+c，得： ， 解得：， 抛物线解析式为y= x2+ x+3； (2)如图 1，过点 P 作 y 轴的平行线交AB 于点 E， 则PEQ OBQ， =， =y、OB=3， y= PE， P(m， m2+ m+3)、E(m， m+3)， 则 PE=( m 2+ m+3)( m+3)= m2+ m， y= ( m 2+ m)= m2

44、+ m= (m2)2 + ， 0m3， 当 m=2 时， y最大值 = ， PQ 与 OQ 的比值的最大值为 ； (3)由抛物线y= x2+ x+3 易求 C(2，0)，对称轴为直线x=1， ODC 的外心为点M， 点 M 在 CO 的垂直平分线上， 设 CO 的垂直平分线与CO 交于点 N，连接 OM、 CM、DM， 则ODC= CMO=OMN、MC=MO=MD， sinODC =sinOMN= =， 又 MO=MD， 当 MD 取最小值时， sinODC 最大， 此时 M 与直线 x=1 相切， MD=2， MN =， 点 M(1， )， 根据对称性，另一点( 1，)也符合题意； 综上所述，点M 的坐标为 (1，)或(1，)