2019年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题含答案解析.pdf

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1、1 2019 年福建省高中数学竞赛 暨 2019 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间： 2019年 5 月 22 日上午 9：0011：30，满分 160 分） 一、填空题（共10小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上） 1若函数( )3cos()sin() 63 f xxx（0）的最小正周期为，则( )f x在区间 0 2 ，上的最大值为。 【答案】2 3 【解答】 ()3 c o s ()s i n ()3 c o s ()s i n () 63662 fxxxxx 3cos()cos()4cos() 666 xxx，且( )f x的最

2、小正周期为。 2，( )4cos(2) 6 f xx。又0 2 x，时， 7 2 666 x， 2 66 x，即0x时，( )f x在区间0 2 ，上取最大值 2 3 。 2已知集合 2 320Ax xx， 1 3 Bxa x ，若AB，则实数 a的取值范 围为。 【答案】 1 () 2 ， 【解答】12Axx。由 1 3 a x ，得 31 0 3 axa x 。 0a时，3Bx x。满足AB。 0a时，由 31 0 3 axa x ，得 1 ( 3) 0 3 x a x ， 1 33Bxxx a 或。满足AB。 0a时，由 31 0 3 axa x ，得 1 (3) 0 3 x a x ，

3、 1 33Bxx a 。由满足AB， 得 1 31 a ， 1 0 2 a。 2 综合得， 1 2 a。a的取值范围为 1 () 2 ，。 3函数 22 ( )ln2f xxxx零点的个数为。 【答案】1 【解答】()2l n2( 2 l nfxxxxxxx。 3 2 0xe时，( )0fx； 3 2 xe时，( )0fx。 ( )f x在区间 3 2 (0)e，上为减函数，在区间 3 2 ()e，上为增函数。 又 3 2 0xe时， 31 ln110 22 x， 2 ( )(ln1)20f xxx； 3 3 2 3 ()(1)20 2 f ee， 2 ( )220f ee。 函数( )f x

4、的零点个数为 1。 或：作图考察函数lnyx与 2 2 1y x 图像交点的个数。 4如图，在正方体 1111 ABCDABC D 中，二面角 1 BACD 的大小为。 【答案】120 【解答】设正方体棱长为1。作 1 BEAC 于E，连结DE。 由正方体的性质知， 11 ADCA BC。 1 D EA C ，BED为二面角 1 BACD 的平面角， 且 2 3 BEDE，2BD。 22 2 1 33 cos 2 22 2 33 BED。 二面角 1 BACD 的大小为120。 或：设AC、BD交于点O，由60BEO，得120BED。 C1 B1 D1 C A B D A1 E C1 B1 D

5、1 C A B D A1 （第 4 题） 3 5 在 空 间 四 边 形ABCD中 ， 已 知2AB，3BC，4CD，5DA， 则 A CB D uu u r uu u r 。 【答案】7 【解答】以 AB uu u r ， BC uu u r ， CD uu u r 为基底向量。则 ADABBCCD uuu ruu u ruu u ruu u r 。 2 2 ()ADABBCCD uuu ruu u ruu u ruu u r ， 即 2222 222ADABBCCDAB BCAB CDBC CD uuu ruu u ruuu ruu u ruu u r uuu ruu u r uuu ru

6、uu r uuu r 。 2 5491 62 (A BB CA B C DB CC D uuuruuuruuuruuuruuuruuur ， 2A BB CA B C DB CC D uuuruuuruuuruuuruuuruuur 。 ()()A CB DA BB CB CC D uuuruuuruuuruuuruuuruuur 297AB BCAB CDBC CDBC BC uu u r uuu ruuu r uuu ruu u r uuu ruuu r uu u r 。 6已知直线l过椭圆C： 2 2 1 2 x y的左焦点F且交椭圆C于A、B两点。O为坐标原 点，若OAOB，则点O到直

7、线AB的距离为。 【答案】 6 3 【解答】(10 )F，。显然 x轴不符合要求。设直线AB方程为1xty。 由 2 2 1 1 2 xty x y ，得 22 (2)210tyty 的判别式大于0。设 11 ()A xy， 22 ()B xy，则 12 2 2 2 t yy t ， 12 2 1 2 y y t 。 由OAOB，得 2 2 121212121212 22 (1)2 (1)(1)(1)()110 22 tt x xy ytytyy yty yt yyt tt 。 222 (1)220ttt， 2 1 2 t。 点O到直线AB的距离为 2 116 3 1 1 1 2 t 。 B

8、D C A 4 7已知zC，若关于 x 的方程 2 3 20 4 xzxi（i为虚数单位） 有实数根， 则复数 z的 模 z 的最小值为。 【答案】1 【解答】 设zabi（ a，bR） ， 0 xx 是方程 23 20 4 xzxi的一个实数根。 则 2 00 3 2()0 4 xabi xi。 2 00 0 3 20 4 210 xax bx L L L L L L 。 由得， 0 1 2 x b ，代入，得 2 113 20 424 a bb ， 2 3410bab， 2 31 4 b a b 。 2 2 22222 2 312 51353 ()1 41 61 6888 b zabbb

9、bb ，当且仅当 5 5 b时等号 成立。 z 的最小值为 1。 （ 2 5 5 a， 5 5 b或 2 5 5 a， 5 5 b，即 2 55 () 55 zi ） 。 8将 16 本相同的书全部分给4 个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量 互不相同，则不同的分配方法种数为。 （用数字作答） 【答案】216 【解答】将 16分解成 4 个互不相同的正整数的和有9 种不同的方式： 1612310，161249，161258，161267，161348， 161357，161456，162347，162356。 符合条件的不同分配方法有 4 4 9216A种。 5 9( )f x是定

10、义在R的函数，若(0)1008f， 且对任意xR， 满足(4)( )2(1)f xf xx， (12)( )6(5)f xf xx，则 (2016) 2016 f 。 【答案】504 【解答】对任意xR，(4)( )2(1)f xf xx， (12)( )(12)(8)(8)(4)(4)( )f xf xf xf xf xf xf xf x 2 (8) 12 (4)12(1)6306(5)xxxxx 又(12)( )6(5)f xf xx， (12)( )6(5)f xfxx。 (2016)(2016)(2004)(2004)(1992)(12)(0)(0)ffffffffL (20095)1

11、68 620096 19976 51008610081008 1008 2 L。 (2016)1008 504 20162 f 。 10当 x，y， z为正数时， 222 4xzyz xyz 的最大值为。 【答案】 17 2 【解答】 22 1616 2 1717 xzxz，当且仅当 4 17 xz时等号成立， 2211 2 1717 yzyz，当且仅当 1 17 yz时等号成立。 2222222 1 611 612 ()()22( 4) 1 71 61 71 7 17 xyzxzyzxzyzxzyz 。 222 41 7 2 x zy z xyz ，当且仅当 4 17 xz， 1 17 yz

12、，即4 117x y z： ：时等号成 立。 222 4x zy z xyz 的最大值为 17 2 。 注 ： 本 题利 用待 定系 数法 。 将 2 z拆 成两 项 2 z和 2 (1)z 。 由 22 2xzxz， 22 (1)2 1yzyz，以及 24 1 2 1 ，得 16 17 。由此得到本题的解法。 6 二、解答题（共5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程） 11已知数列 n a的前 n项和22 nn Sa（ * nN） 。 （1）求 n a的通项公式 n a ； （2）设 11 (1) n n b an n ， n T 是数列 n b的前 n项和，求正整数

13、k，使得对任意 * nN均 有 kn TT ； （3）设 1 1 ( 1) ( 1) n n nn a c aa ， n R 是数列 n c的前 n项和，若对任意 * nN均有 n R成 立，求的最小值。 【解答】 （1）由22 nn Sa，得 11 22 nn Sa。两式相减，得 11 22 nnn aaa 。 1 2 nn aa ，数列 n a为等比数列，公比2q。 由又 11 22Sa，得 11 22aa， 1 2a。 2 n n a。 5 分 （2） 111(1) 1 2(1)(1)2 nnn n n b n nn n 。 由计算可知， 1 0b， 2 0b， 3 0b， 4 0b。

14、当5n时，由 11 (1)(1)(2)(1)(2) 0 222 nnn n nnnnn ，得当5n时，数列 (1) 2 n n n 为 递减数列。于是，5n时， 5 (1)5 (51) 1 22 n n n 。 5n时， 1(1) 10 (1)2 n n n n b n n 。 因此， 1234 TTTT ， 456 TTTL 。 对任意 * nN均有 4n TT 。故4k。 10 分 （3） 1 1 11 1 211 2() (1)(1)(1 2 )(12)2121 n n n nnnn nn a c aa 15 分 111 1111111122 2()()()2 () 3559212132

15、1321 n nnnn RL。 对任意 * nN均有 n R成立， 2 3 。的最小值为 2 3 。 20 分 7 12已知 2 ( )ln()f xaxbx （0a） 。 （1）若曲线( )yf x在点(1(1)f，处的切线方程为yx，求 a，b的值； （2）若 2 ( )f xxx 恒成立，求ab的最大值。 【解答】 （1）( )2 a fxx axb 。 依题意，有 (1)21 (1)ln()11 a f ab fab 。解得，1a，2b。 1a，2b。 5分 （2）设 2 ( )( )()g xf xxx ，则( )ln()g xaxbx，( )0g x。 0a时，( )g x定义域(

16、) b a ， 取 0 x 使得 0 ln()1 b axb a ，得 1 0 b a ebb x aa 。 则 0000 ()ln()ln()()(1)10 bbb g xaxbxaxb aaa 与( )0g x矛盾。 0a时，( )0g x不恒成立，即0a不符合要求。 10分 0a时， () ( )1 ab a x a a g x axbaxb （0axb） 。 当 bab x aa 时，( )0gx；当 ab x a 时，( )0g x。 ( )g x在区间() bab aa ，上为增函数，在区间() ab a ，上为减函数。 ( )g x在其定义域() b a ，上有最大值，最大值为(

17、) ab g a 。 由( )0g x，得()ln0 abab ga aa 。 lnbaaa。 15分 22 lnabaaa。 设 22 ( )lnh aaaa ，则( )2(2ln)(12ln)h aaaaaaa。 0ae时，( )0h a； ae时，( )0h a。 ( )h a在区间 (0)e，上为增函数，在区间 ()e，上为减函数。 8 ( )h a的最大值为() 22 ee hee。 当 ae， 2 e b时，ab取最大值为 2 e 。 综合，得，ab的最大值为 2 e 。 20分 9 13如图，O为ABC的外接圆，DA是O的切线，且DBAABC，E是直线DB 与 O 的另一交点。点

18、 F在O 上，且BFEC，G是CF的延长线与切线 DA的交点。求证： AGAD。 【解答】 在ABC和ABD中，由DA是O的切线知， BADBCA。又DBAABC。 A D BC A B。 5 分 A、B、E、C四点共圆， 180CABCEB。 180ADEDEC。 E CD A。 10分 又BFEC， E CB FD G。 由EC，BF是 O 的两条平行弦知CFEB。 G CD E，GFDB。 15分 又 2 GAGF GC， 2 DADB DE。 22 GADA，AGAD。 20分 F D O A B C E G （第 13题） 10 14如图， 1 F 、 2 F 为双曲线C： 2 2

19、1 4 x y的左、右焦点，动点 00 ()P xy，（ 0 1y）在双 曲线C上的右支上。设 12 F PF 的角平分线交 x轴于点(0)M m，交y轴于点N。 （1）求 m的取值范围； （2） 设过 1 F ，N的直线l交双曲线C于点D，E 两点，求 2 F DE面积的最大值。 【解答】 （1）依题意， 1( 5 0)F， ， 2( 5 0) F， 。 直线 1 PF 方程为 0 0 0 (5) 5 y yx x ； 直线 2 PF 方 程为 0 0 0 (5) 5 y yx x 。 即直线 1 PF 方程为 000 (5)50y xxyy； 直线 2 PF 方程为 000 (5)50y

20、xxyy。 由点(0)M m，在 12 F PF 的平分线上，得 0000 2222 0000 55 (5)(5) y myy my yxyx 。 由55m， 0 1y，以及 22 00 1 1 4 yx，得 0 2 2x。 2222 00000 55 (5)2 54(2) 42 yxxxx， 222 000 5 (5)(2) 2 yxx。 00 55 55 22 22 mm xx 。 0 4 m x 。 5 分 结合 0 2 2x，得 0 4 02 x 。 m的取值范围为 02 ，。 10 分 （2）由（ 1）知，直线PM方程为 0 0 0 0 04 () 4 y yx x x x 。 令0

21、x，得 0 2 00 41 4 y y xy 。故，点N坐标为 0 1 (0) y ，。 0 0 1 0() 1 505 l y k y 。 （第 14题） 11 直线l方程为 0 1 (5) 5 yx y 。 由 0 2 2 1 (5) 5 1 4 yx y x y ，消 x得 22 00 (54)1010yyy y 的判别式 222 000 1004(54)80160yyy。 设 11 ()D xy， 22 ()E xy，则 0 12 2 0 10 54 y yy y ， 12 2 0 1 54 y y y 。 15 分 2 0220 12121222 2 000 4 51101 ()4(

22、)4 545454 yy yyyyy y yyy 。 由 0 1y，得 0 12 2 0 10 0 54 y yy y ， 12 2 0 1 0 54 y y y 。 1 0y， 2 0y， 2 2 0 12122 0 45111 2 5 2254 F DE y SF Fyy y 。 设 2 0 54yt，则1t， 2 2 2 551111 4 54 54 55() 1020 F DE t S tttt 。 1t，即点P为(2 2 1)P， 时， 2 F DE面积取最大值 4 30 。 2 F D E面积的最大值为 4 30 。 20 分 12 15求满足下列条件的最小正整数n：若将集合1 2

23、 3AnL，任意划分为 63 个两 两不相交的子集（它们非空且并集为集合A） 1 A ， 2 A ， 3 A ， 6 3 A，则总存在两个正整 数 x，y属于同一个子集 i A （163i）且xy，3132xy。 【解答】 考虑模 63的剩余类，即将集合A划分为如下 63 个两两不相交的子集： 63 i Aa akikN，1i，2，3，63。 5 分 则对每一个 i A （163i）及任意的 x， i yA （xy）都有63xy。 于是，63yx，xn。 3 23 13 2 (6 3 )3 13 26 3yxxxxn。 若2016n，则323120160yxn，3132xy，与3132xy矛盾

24、。 2016n时，不满足题设条件。 10 分 另一方面，当2016n时，由20163263知，下列64 个数：3163，31 631， 31 632，316363都在集合A中。 因此，对将1 2 3AnL，任意划分为 63 个两两不相交的子集 1 A ， 2 A ， 3 A ， 6 3 A的划分方法，由抽屉原则知，31 63，31 631，31 632，31 6363这 64 个数 中必有两个数 x，y（xy）属于同一个 i A 。 15 分 设 1 31 63xx ， 1 31 63yy ， 11 630xy。 于是， 1111 313231(31 63)32(31 63)(3132)31 63(31 32)xyxyxy 1 3131 6331 6331 630x。 2016n，满足题设的条件。 综上可知，满足题设条件的n的最小值为 2019。 20 分