2da新课标高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)(十五).pdf

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1、导数复习 一选择题 (1) 函数13)( 23 xxxf是减函数的区间为( ) A),2(B)2 ,( C )0,( D （0，2） （2）曲线 32 31yxx在点（ 1，-1）处的切线方程为（） A34yx B 。32yx C 。43yx D。45yxa (3) 函数 yax 21的图象与直线 yx相切， 则 a ( ) A 1 8 B 4 1 C 2 1 D1 (4) 函数,93)( 23 xaxxxf已知3)(xxf在时取得极值，则a= ( ) A2 B3 C4 D5 (5) 在函数xxy8 3 的图象上，其切线的倾斜角小于 4 的点中，坐标为整数的点的 个数是( ) A3 B2 C1

2、 D 0 （6）函数 3 ( )1f xaxx有极值的充要条件是（） A0a B0a C0a D0a （7）函数 3 ( )34f xxx（0,1x的最大值是（） A 1 2 B -1 C0 D1 （8）函数)(xf=x（x1） （x2）（x100）在x0 处的导数值为（） A、0 B、100 2 C 、200 D、100！ （9）曲线 3 1 3 yxx在点 4 1 3 ，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） 1 9 2 9 1 3 2 3 .10 设函数 ( ) 1 xa f x x , 集合 M= |( )0xf x ,P= |( )0xfx , 若 M P,则实数 a 的取值范围是

3、( ) A.(- ,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+) 11. 若曲线 4 yx的一条切线l与直线480xy 垂直，则l的方程为（） A430xy B450xy C 430xy D 430xy 12 函数 )(xf的定义域为开区间),(ba， 导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示， 则函数)(xf 在开区间 ),(ba内有极小值点（） A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个 13. y =e sin xcos(sin x) ，则 y(0) 等于( ) A.0 B.1 C.1 D.2 14. 经过原点且与曲线 y= 5 9 x x 相切的方程是 ( ) A.x+y=0或

4、 25 x +y=0 B.xy=0或 25 x +y=0 C.x+y=0或 25 x y=0 D.xy=0或 25 x y=0 15. 设 f ( x) 可导，且 f (0)=0, 又 x xf x )( lim 0 =1, 则 f (0)( ) A.可能不是 f ( x)的极值B.一定是 f ( x)的极值 C.一定是 f ( x) 的极小值D.等于 0 16. 设函数 fn( x)=n 2x2(1 x)n( n 为正整数 ) ，则 f n(x)在0,1 上的最大值为 ( ) A.0 B.1 C. n n ) 2 2 1( D. 1 ) 2 (4 n n n 17、函数 y=(x 2-1)3

5、+1在 x=-1 处( ) A、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值D、无法确定极值情况 18.f(x)=ax 3+3x2+2，f (-1)=4 ，则 a=( ) A、 3 10 B、 3 13 C、 3 16 D、 3 19 19. 过抛物线 y=x 2 上的点 M （ 4 1 , 2 1 ）的切线的倾斜角是 ( ) A、30 0 B、45 0 C 、60 0 D 、90 0 20. 函数 f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则实数 b 的取值范围是 ( ) x a b x y )(fy O A、 （0，1） B、 （- ，1） C、 （0，+） D、 （0， 2 1

6、 ） 21. 函数 y=x 3-3x+3 在 2 5 , 2 3 上的最小值是 ( ) A、 8 89 B 、1 C 、 8 33 D、5 22、若 f(x)=x 3+ax2+bx+c，且 f(0)=0 为函数的极值，则 ( ) A、c0 B、当 a0 时，f(0) 为极大值 C、b=0 D、当 a 11 2c 恒成立，求 c 的取值范围。 参考解答 一19 BBDDD CDDA 1024AAB 二 2532 1 、 y=3x-5 2、 m7 3 、 4 -11 4、18, 3 5、(,0) 6、 1 ,) 3 7、(,1)(2,) 8 、), 3 2 2 ,03334（13） 、1（14）

7、、0t 三3642 1 解 ： （ ） 由)(xf的 图 象 经 过P（ 0 ， 2 ）， 知d=2， 所 以 ,2)( 23 cxbxxxf.23)( 2 cbxxxf由 在)1(, 1(fM处 的 切 线 方 程 是 076yx知 .6)1(, 1) 1(,07) 1(6fff即 .3 , 0 , 32 .121 ,623 cb cb cb cb cb 解得即故所求的解析式是 .233)( 23 xxxxf（2）.012,0363.363)( 222 xxxxxxxf即令 解得.21,21 21 xx当;0)(,21,21xfxx时或当 .0)(,2121xfx时故)21 ,(233)(

8、23 在xxxxf内 是 增 函 数 ，在 )21 ,21(内是减函数，在),21(内是增函数 . 2 （）解：323)( 2 bxaxxf，依题意，0) 1()1 (ff，即 .0323 , 0323 ba ba 解得0, 1 ba. )1)(1(333)(,3)( 23 xxxxfxxxf. 令0)(xf，得1, 1 xx. 若), 1()1,(x，则0)(xf， 故)(xf在)1,(上是增函数，)(xf在), 1(上是增函数 . 若)1,1(x，则0)(xf，故)(xf在)1, 1(上是减函数 . 所以，2) 1(f是极大值；2)1(f是极小值 . （）解：曲线方程为xxy3 3 ，点)

9、16,0(A不在曲线上 . 设切点为),( 00 yxM，则点 M的坐标满足 0 3 00 3xxy. 因)1(3)( 2 00 xxf，故切线的方程为)(1(3 0 2 00 xxxyy 注意到点 A（0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(160 2 00 3 0xxxx 化简得8 3 0 x，解得2 0 x. 所以，切点为)2,2(M，切线方程为0169yx. 3解： （1） 22 ( )33(2)63 ()(1),fxaxaxa xx a ( )fx极小值为(1) 2 a f （2）若0a，则 2 ( )3(1)f xx，( )f x的图像与x轴只有一个交点； 若0a，( )f x极

10、大值为(1)0 2 a f，( )f x的极小值为 2 ()0f a ， ( )fx的图像与x轴有三个交点； 若 02a，( )f x的图像与x轴只有一个交点； 若2a，则 2 ( )6(1)0fxx，( )f x的图像与x轴只有一个交点； 若2a，由（1）知( )f x的极大值为 22133 ()4()0 44 f aa ，( )f x的图像与x轴 只有一个交点； 综上知，若0,( )af x的图像与x轴只有一个交点；若0a，( )f x的图像与x轴有三 个交点。 4解 (I) 2 ( )36(1)fxmxmxn因为1x是函数( )f x的一个极值点 , 所以(1)0f, 即36(1)0mm

11、n，所以36nm （II ）由（ I ）知， 2 ( )36(1)36fxmxmxm= 2 3 (1)1m xx m 当0m时，有 2 11 m ，当x变化时，( )f x与( )fx的变化如下表： x 2 ,1 m 2 1 m 2 1,1 m 1 1, ( )fx 00 00 0 ( )f x 调调递减极小值单调递增极大值单调递减 故有上表知，当0m时，( )f x在 2 ,1 m 单调递减， 在 2 (1,1) m 单调递增，在(1,)上单调递减 . （III）由已知得( )3fxm，即 2 2(1)20mxmx 又0m所以 222 (1)0xmx mm 即 222 (1)0,1,1xmx

12、x mm 设 2 12 ( )2(1)g xxx mm ，其函数开口向上，由题意知式恒成立， 所以 22 ( 1)0120 (1)0 10 g mm g 解之得 4 3 m又0m 所以 4 0 3 m 即m的取值范围为 4 ,0 3 5解： （） 2 ( )663fxxaxb， 因为函数( )fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f 即 6630 24 1230 ab ab ， 解得3a，4b （）由（）可知， 32 ( )29128f xxxxc， 2 ( )618126(1)(2)fxxxxx 当(01)x，时，( )0fx； 当(12)x，时，( )0fx； 当(2 3)x，

13、时，( )0fx 所以，当1x时，( )f x取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc 则当0 3x， 时，( )f x的最大值为(3)98fc 因为对于任意的03x， ，有 2 ( )f xc恒成立， 所以 2 98cc， 解得1c或9c， 因此c的取值范围为(1)(9)， 6解： （） 2 ( )32fxaxbxc，由已知(0)(1)0ff， 即 0 320 c abc ， ， 解得 0 3 2 c ba ， 2 ( )33fxaxax， 1333 2422 aa f，2a， 32 ( )23f xxx （）令( )f xx，即 32 230xxx ， (21)(1)0xx

14、x， 1 0 2 x或1x 又( )f xx在区间 0m，上恒成立， 1 0 2 m 7. （）( )f x为奇函数， ()( )fxf x 即 33 axbxcaxbxc 0c 2 ( )3fxaxb的最小值为12 12b 又直线670xy的斜率为 1 6 因此，(1)36fab 2a，12b，0c （） 3 ( )212f xxx 2 ( )6126(2)(2)fxxxx，列表如下： x (,2)2(2,2)2(2,) ( )fx 00 ( )f x极大极小 所以函数( )fx的单调增区间是 (,2) 和(2,) ( 1)10f，(2)82f，(3)18f ( )f x在1,3上的最大值是

15、(3)18f，最小值是(2)8 2f 4348（17） （本小题满分 10 分） 解：由题意知：ttxxxxtxxxf 232 )1()1()(，则 txxxf23)( 2 )(xf在区间) 1 , 1(上是增函数，0)( xf 即xxt23 2 在区间)1 , 1(上是恒成立， 设xxxg23)( 2 ，则 3 1 ) 3 1 (3)( 2 xxg，于是有 5)1()( max gxgt 当5t时，)(xf在区间)1 , 1(上是增函数 又当5t时， 3 14 ) 3 1 (3523)( 22 xxxxf， 在) 1 , 1(上，有0)( xf，即5t时，)(xf在区间)1 ,1(上是增函数

16、 当5t时，显然)(xf在区间)1 , 1(上不是增函数 5t （18） （本小题满分 12 分） 解： （1）323)( 2 bxaxxf，依题意， 0)1( )1( ff，即 .0323 ,0323 ba ba 解得0, 1 ba （3 分） xxxf3)( 3 ，)1)(1(333)( 2 xxxxf 令0)( xf，得1, 1 xx 若), 1() 1,(x，则0)( xf 故)(xf在), 1()1,(和上是增函数； 若) 11(，x，则0)( xf 故)(xf在)1 , 1(上是减函数； 所以2)1(f是极大值，2)1(f是极小值。 （2）曲线方程为xxy3 3 ，点)16,0(A

17、不在曲线上。 设切点为),( 00 yxM，则 0 3 00 3xxy 由) 1(3)( 2 00 xxf知，切线方程为 )(1(3 0 2 00 xxxyy 又点)16,0(A在切线上，有)0)(1( 3)3(16 0 2 00 3 0 xxxx 化简得8 3 0 x，解得2 0 x 所以切点为)2,2(M，切线方程为0169yx （19） （本小题满分 14 分） 解：)2)(1)(1(1224122412)( 23 xxxxxxxf 令0)( xf，得：2, 1, 1 321 xxx 当x变化时，)(),( xfxf的变化情况如下表： x ) 1 ,0( 1 )2, 1( 2 ), 2(

18、 )( xf 00 )(xf 单调递增 极大值 单调递减极小值 单调递增 极大值为13)1(f，极小值为8)2(f 又0)0(f，故最小值为 0。 最大值与a有关： （1）当)1 ,0(a时，)(xf在),0(a上单调递增，故最大值为： aaaaaf24683)( 234 （2）由13)(xf，即：01324683 234 xxxx，得： 0)1323()1( 22 xxx，1x或 3 1021 x 又0x，1x或 3 1021 x 当1a 3 1021 ,时，函数 )(xf的最大值为：13)1(f （3）当(a), 3 1021 时，函数)(xf的最大值为： aaaaaf24683)( 23

19、4 （20） （本小题满分 12 分） 解：设圆锥的底面半径为r，高为 h，体积为 V ，则 由 222 Rrh，所以 )0(, 3 1 3 1 )( 3 1 3 132222 RhhhRhhRhrV 22 3 1 hRV，令0V得Rh 3 3 易知： Rh 3 3 是函数 V 的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 当 Rh 3 3 时，容积最大。 把 Rh 3 3 代入 222 Rrh，得Rr 3 6 由rR2得 3 62 即圆心角 3 62 时，容器的容积最大。 答：扇形圆心角 3 62 时，容器的容积最大。 (21) （本小题满分 12 分） 解：解方程组 2 xxy kxy 得

20、：直线kxy分抛物线 2 xxy的交点的横坐标为 0x和kx1 抛物线 2 xxy与x轴所围成图形为面积为 6 1 |) 3 1 2 1 ()( 1 0 32 1 0 2 xxdxxxS 由题设得dxkxdxxx S kk1 0 1 0 2 )( 2 6 )1( )( 3 1 0 2k dxkxxx k 又 6 1 S，所以 2 1 )1( 3 k， 从而得： 2 4 1 3 k (22) 解： （1）2b时，函数xaxxxh2 2 1 ln)( 2 ，且 x xax ax x xh 12 2 1 )( 2 函数)(xh存在单调递减区间，0)( xh有解。 又0x，012 2 xax有0x的解

21、。 当0a时，12 2 xaxy为开口向上的抛物线，012 2 xax总有 0x的解; 当0a时，12 2 xaxy为开口向下的抛物线，而012 2 xax有 0x的解，则 044a，且方程012 2 xax至少有一正根，此时， 01a （2）设点),(),( 2211 yxQyxP，且 21 0xx，则 点NM ,的横坐标为 2 21 xx x， 1 C在点 M 处的切线斜率为 212 1 2 | 1 21 xxx k xx x ； 2 C在点 N 处的切线斜率为b xxa baxk xx x 2 )( |)( 21 2 2 21 。 （9 分） 假设 1 C在点 M 处的切线与 2 C在点

22、 N 处的切线平行，则 21 kk，即 21 2 xx b xxa 2 )( 21 则)()( 2 )(2 12 2 1 2 2 21 12 xxbxx a xx xx 12121 2 12 2 2 lnln) 2 () 2 (xxyybxx a bxx a 所以 1 2 ln x x 1 2 1 2 1 )1(2 x x x x （11 分） 设 1 2 x x t，则tln1, 1 )1(2 t t t ， 令1, 1 )1(2 ln)(t t t tth，则 2 2 2 ) 1( ) 1( )1 ( 41 )( tt t tt th 当1t时，0)( th，所以)(th在), 1上单调递

23、增。 故0)1()(hth，从而 t t t 1 ) 1(2 ln这与矛盾，假设不成立， 1 C在点 M 处的切线与 2 C在点 N 处的切线不平行。（14 分） 49、解： （1）由已知得 /2 ( )32fxxaxb / / ( 1)0 3203 (3)027609 ( 1)7172 f aba fabb fabcc （2）由（ 1） ， / ( )3(1)(3)fxxx 当13x时， / ( )0fx；当3x时， / ( )0fx 故3x时，( )f x取得极小值，极小值为(3)25f 50、解：a 3 2 ，b6. 由 f(x) min 7 2 +c 1 c - 1 2 得 313 0 2 c或 313 2 c