2010年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标版)答案与解析.pdf

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1、2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分） 1 （ 5 分）已知集合A=x R|x| 2 ，则 A B= （） A （0，2）B0，2C0，2D0 ，1，2 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 先化简集合A 和 B，注意集合B 中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义 求解 【解答】 解： A=x R|x| 2，=x R|2 x 2， 故 A B=0 ，1，2 应选 D 【点评】 本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数 等知识，属于基础题 2 （ 5 分）已

2、知复数，是 z 的共轭复数，则=（） ABC1 D2 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 因为，所以先求 |z|再求的值 【解答】 解：由可得 另解： 故选 A 【点评】 命题意图： 本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的 一些运算性质可以简化运算 3 （ 5 分）曲线y=在点（ 1， 1）处的切线方程为（） Ay=2x+1 By=2x 1 Cy=2x 3 Dy=2x2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】 常规题型；计算题 【分析】 欲求在点（ 1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求 出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的

3、几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】 解： y=， y =， 所以 k=y |x=1=2，得切线的斜率为 2，所以 k=2； 所以曲线y=f（x）在点（ 1， 1）处的切线方程为： y+1=2 （x+1） ，即 y=2x+1 故选 A 【点评】 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 4 （5 分）如图，质点P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（ ，） ， 角速度为1，那么点P 到 x 轴距离 d 关于时间t 的函数图象大致为（） ABC D 【考点】 函数的图象 【分析】 本题的求解可以利

4、用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答 案 【解答】 解：通过分析可知当t=0 时，点 P到 x 轴距离 d 为，于是可以排除答案A，D， 再根据当时，可知点P在 x 轴上此时点P到 x 轴距离 d 为 0，排除答案B， 故应选 C 【点评】 本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题 5 （ 5 分）已知命题p1：函数 y=2 x 2x 在 R 为增函数， p2：函数 y=2 x+2x 在 R 为减函数， 则在命题q1：p1p2，q2：p1 p2，q3： （ p1）p2和 q4：p1 （ p2）中，真命题是（） Aq1，q3Bq2，q3Cq1，

5、q4Dq2，q4 【考点】 复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系 【专题】 简易逻辑 【分析】 先判断命题p1是真命题， P2是假命题， 故 p1p2为真命题，（ p2）为真命题， p1 （ p2）为真命题 【解答】 解：易知p1是真命题，而对p2：y=2xln2 ln2=ln2 （） ， 当 x 0，+）时，又 ln20，所以 y0，函数单调递增； 同理得当x （ ，0）时，函数单调递减，故p2是假命题 由此可知， q1真， q2假， q3假， q4真 故选 C 【点评】 只有 p1与 P2都是真命题时， p1 p2才是真命题 只要 p1与 p2中至少有一个真命题， p1p2就是真命题

6、6 （5 分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每 粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则 X 的数学期望为（） A100 B200 C300 D400 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n 次独立重复试验的模型 【专题】 计算题；应用题 【分析】 首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，即不发芽 率为 0.1，故没有发芽的种子数 服从二项分布，即 B（1000，0.1） 又没发芽的补种2 个，故补种的种子数记为X=2 ，根据二项分布的期望公式即可求出结果 【解答】解：由题意可知播种了1000 粒，没有发

7、芽的种子数 服从二项分布， 即 B （1000， 0.1） 而每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X 故 X=2 ，则 EX=2E =2 1000 0.1=200 故选 B 【点评】 本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力属 于基础性题目 7 （ 5 分）如果执行右面的框图，输入N=5 ，则输出的数等于（） ABCD 【考点】 设计程序框图解决实际问题 【专题】 操作型 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作 用是累加并输出S=的值 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的

8、作用是累加并输出S=的值 S=1= 故选 D 【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处 理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型， 又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管 理） ? 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 8 （ 5 分）设偶函数f（x）满足 f（x）=2 x 4（x 0） ，则 x|f （x2） 0= （ ） Ax|x 2 或 x 4 Bx|x 0 或 x4 Cx|x 0 或 x6 D x|x 2 或 x 2 【考点】 偶函数；其他不

9、等式的解法 【专题】 计算题 【分析】 由偶函数f（x）满足 f（x）=2x 4（x 0） ，可得 f（x） =f（|x|）=2|x|4，根据偶 函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案 【解答】 解：由偶函数f（ x）满足 f（x）=2x4（ x 0） ，可得 f（x）=f （|x|）=2 |x| 4， 则 f（x2）=f（|x2|）=2|x 2|4，要使 f（|x2|） 0，只需 2|x2|4 0，|x2|2 解得 x 4，或 x 0 应选： B 【点评】 本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是 利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而

10、简化计算 9 （ 5 分）若，是第三象限的角，则=（） A BC2 D 2 【考点】 半角的三角函数；弦切互化 【专题】 计算题 【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角与待求式中角 的差别，注意消除它们之间的不同 【解答】 解：由，是第三象限的角， 可得， 则， 应选 A 【点评】 本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识 以及相应的运算能力 10 （5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为（） A a 2 BCD 5 a 2 【考点】 球内接多面体 【专题】 计算题 【分析】 由题意可知上下底面中

11、心连线的中点就是球心，求出球的半径， 即可求出球的表面 积 【解答】 解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱， 上下底面中心连线的中点 就是球心，则其外接球的半径为， 球的表面积为， 故选 B 【点评】 本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空 间形象能力 11 （5 分）已知函数，若 a，b，c 互不相等， 且 f（a）=f（ b） =f（ c） ，则 abc 的取值范围是（） A （1，10） B （5，6）C （ 10，12）D （20，24） 【考点】 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数 的图像与性质 【专

12、题】 作图题；压轴题；数形结合 【分析】 画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c） ，不妨 a bc，求出 abc 的范围即可 【解答】 解：作出函数f（ x）的图象如图， 不妨设 abc，则 ab=1， 则 abc=c （10， 12） 故选 C 【点评】 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力 12 （5 分）已知双曲线E 的中心为原点，P（3，0）是 E 的焦点，过P的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且AB 的中点为N（ 12， 15） ，则 E 的方程式为（） ABCD 【考点】 双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】 计算题；

13、圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 已知条件易得直线l 的斜率为1，设双曲线方程，及A，B 点坐标代入方程联立相 减得 x1+x2=24，根据 =，可求得a 和 b的关系，再根据c=3，求得 a 和 b， 进而可得答案 【解答】 解：由已知条件易得直线l 的斜率为k=kPN=1， 设双曲线方程为， A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则有， 两式相减并结合x1+x2=24，y1+y2=30 得 =， 从而 =1 即 4b2=5a2， 又 a 2+b2=9， 解得 a 2=4，b2=5， 故选 B 【点评】 本题主要考查了双曲线的标准方程考查了学生综合分析问题和解决问题的能力 二、填空题

14、（共4 小题，每小题5 分，满分 20 分） 13 （5 分）设 y=f（ x）为区间 0，1上的连续函数，且恒有0 f（x） 1，可以用随机模拟 方法近似计算积分，先产生两组 （每组 N 个）区间 0，1上的均匀随机数x1， x2， xN和 y1，y2，yN，由此得到 N 个点（ xi，yi） （i=1，2， ，N） ，再数出其中满足yi f （xi） （i=1， 2， ，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值 为 【考点】 模拟方法估计概率；定积分在求面积中的应用；几何概型 【专题】 计算题 【分析】 要求 f（x）dx 的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得 【解答】

15、 解：由题意可知得， 故积分的近似值为 故答案为： 【点评】 本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础 题 14 （5 分）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案 同样给分）（写出三种） 【考点】 简单空间图形的三视图 【专题】 阅读型 【分析】 三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥； 四棱锥有两个侧面在正视图 为线段的情形，即可回答本题 【解答】 解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、 四棱锥等等 故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱 【点评】 本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考

16、查空间想象能力 15 （5 分）过点 A（4，1）的圆 C 与直线 xy=1 相切于点B（2，1） ，则圆 C 的方程为（x 3） 2+y2=2 【考点】 圆的标准方程；直线与圆的位置关系 【专题】 压轴题 【分析】 设圆的标准方程，再用过点A（4，1） ，过 B，两点坐标适合方程，圆和直线相切， 圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程 【解答】 解：设圆的方程为（xa） 2+（y b）2=r2， 则， 解得，故所求圆的方程为（x3） 2+y2=2 故答案为：（ x3）2+y 2=2 【点评】 命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解 16 （5 分）在 ABC

17、中， D 为边 BC 上一点， BD=DC， ADB=120 ，AD=2 ，若 ADC 的面积为，则 BAC=60 【考点】 余弦定理的应用 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 先根据三角形的面积公式利用ADC 的面积求得DC，进而根据三角形ABC 的面 积求得 BD 和 BC，进而根据余弦定理求得AB最后在三角形ABC 中利用余弦定理求得 cosBAC ，求得 BAC 的值 【解答】 解：由 ADC 的面积为可得 解得，则 AB 2=AD2+BD22AD?BD?cos120 = ， ， 则= 故 BAC=60 【点评】 本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问

18、 题的能力以及相应的运算能力 三、解答题（共8 小题，满分90 分） 17 （12 分）设数列满足a1=2，an+1an=3?2 2n1 （1）求数列 an的通项公式； （2）令 bn=nan，求数列 bn的前 n 项和 Sn 【考点】 数列递推式；数列的求和 【专题】 计算题 【分析】（）由题意得an+1=（an+1an）+（ anan1）+ +（a2a1）+a1=3（ 22n 1+22n 3+ +2）+2=22（n+1）1由此可知数列 an 的通项公式为 an=2 2n1 （）由bn=nan=n?22n 1 知 Sn=1?2+2?23+3?25+n?22n 1，由此入手可知答案 【解答】

19、解： （）由已知，当n 1 时， an+1=（an+1an）+（anan1）+ +（a2 a1）+a1 =3（ 2 2n1+22n3+ +2）+2=3 +2=2 2（n+1）1 而 a1=2， 所以数列 an 的通项公式为 an=2 2n1 （）由bn=nan=n?22n 1 知 Sn=1?2+2?23+3?25+ +n?22n 1 从而 22Sn=1?23+2?25+ +n?22n+1 得（ 12 2）?S n=2+2 3+25+ +22n1 n?22n+1 即 【点评】 本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及 相应运算能力 18 （12 分）如图，已知四棱

20、锥PABCD 的底面为等腰梯形，AB CD，AC BD ，垂足 为 H，PH 是四棱锥的高，E为 AD 中点 （1）证明： PEBC （2）若 APB= ADB=60 ，求直线PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 【考点】 用向量证明垂直；直线与平面所成的角 【专题】 计算题；作图题；证明题；转化思想 【分析】 以 H 为原点， HA ，HB， HP 分别为 x，y，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空 间直角坐标系 （1）表示，计算，就证明PE BC （2） APB= ADB=60 ，求出 C， P的坐标，再求平面PEH 的法向量， 求向量，然后求与面 PEH 的法向量的数量积，可求直线P

21、A 与平面 PEH 所成角的正弦 值 【解答】 解：以 H 为原点， HA ，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，线段 HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图，则A（ 1，0，0） ，B（0，1， 0） （）设 C（m，0，0） ，P（0， 0，n） （m0，n0） 则 可得 因为 所以 PEBC （）由已知条件可得m=，n=1，故 C（） ， 设=（x，y， z）为平面PEH 的法向量 则即 因此可以取， 由， 可得 所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 【点评】 本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力 以及利用向量法研究空间的位置关系以及

22、线面角问题的能力 19 （12 分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调 查了 500 位老年人，结果如下： 性别 是否需要志愿 男 女 需要40 30 不需要160 270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（ 2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的 老年人的比例？说明理由附： P（k 2k） 0.0 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【考点】 简单随机抽样；独立性检验 【专题】 计

23、算题 【分析】（1）由列联表可知调查的500 位老年人中有40+30=70 位需要志愿者提供帮助，两 个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值 （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值 的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 （3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人 中男、 女的比例， 再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法 更好 【解答】 解： （1）调查的500 位老年人中有40+30=70 位需要志愿者提供帮助， 该地区老年人

24、中需要帮助的老年人的比例的估算值为 （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式， 9.9676.635， 有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 （3）由（ 2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时， 先确定该地区 老年人中男、 女的比例， 再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽 样方法更好 【点评】 本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问 题的能力以及相应的运算能力 20 （12 分）设 F1，F2分别是椭圆 的

25、左、右焦点，过F1斜率 为 1 的直线 ? 与 E 相交于 A，B 两点，且 |AF2|，|AB|， |BF2|成等差数列 （1）求 E 的离心率； （2）设点 P（ 0， 1）满足 |PA|=|PB|，求 E 的方程 【考点】 椭圆的简单性质； 等差数列的性质； 椭圆的标准方程； 直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】 计算题 【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a ，进而根据 |AF2|，|AB|，|BF2|成等差 数表示出 |AB|，进而可知直线l 的方程，设A（ x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入直线和椭圆方程， 联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x

26、2和 x1x2进而根据，求得 a和 b 的关系， 进而求得a和 c 的关系，离心率可得 （II ）设 AB 的中点为N（x0，y0） ，根据（ 1）则可分别表示出x0和 y0，根据 |PA|=|PB|，推 知直线 PN 的斜率，根据求得 c，进而求得a和 b，椭圆的方程可得 【解答】 解： （I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a ，又 2|AB|=|AF2|+|BF2|， 得，l 的方程为y=x+c ，其中 设 A（x1，y1） ，B（ x2，y2） ，则 A、B 两点坐标满足方程组 化简的（ a 2+b2） x2+2a2cx+a2（c2b2）=0 则 因为直线 AB 斜率为

27、 1，|AB|=|x1x2|= ， 得，故 a2=2b 2 所以 E 的离心率 （II ）设 AB 的中点为 N（x0，y0） ，由（I）知， 由|PA|=|PB|，得 kPN=1， 即 得 c=3，从而 故椭圆 E 的方程为 【点评】 本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知 识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力 21 （12 分）设函数f（x）=e x 1xax2 （1）若 a=0，求 f（x）的单调区间； （2）若当 x 0 时 f（x） 0，求 a的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【专题】 分类讨论 【分析】（1）先对函数f（

28、x）求导，导函数大于0 时原函数单调递增，导函数小于0 时原 函数单调递减 （2）根据 e x 1+x 可得不等式 f（x） x2ax=（12a）x，从而可知当12a 0，即时， f（x） 0 判断出函数f（x）的单调性，得到答案 【解答】 解： （1） a=0时， f（x）=ex1 x，f（x）=ex1 当 x （ ，0）时， f（x） 0；当 x （ 0，+）时， f（x） 0 故 f（x）在（ ，0）单调减少，在（0，+）单调增加 （II ）f（x）=ex12ax 由（ I）知 e x 1+x，当且仅当 x=0 时等号成立故f （x） x2ax=（ 12a）x， 从而当 12a 0，即时

29、， f（x） 0（x 0） ，而 f（0）=0， 于是当 x 0 时， f（x） 0 由 e x1+x（x 0）可得 ex1x（x 0） 从而当时， f （x） e x1+2a（ex1） =ex（ex1） （ex 2a） ， 故当 x （0，ln2a）时， f（x） 0，而 f（0）=0，于是当x （0，ln2a）时， f（ x） 0 综合得 a 的取值范围为 【点评】 本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题， 考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力 22 （10 分）如图：已知圆上的弧，过 C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点， 证明： （）

30、 ACE= BCD （） BC2=BE?CD 【考点】 圆的切线的判定定理的证明；弦切角 【专题】 证明题 【分析】（I）先根据题中条件：“” ，得 BCD= ABC 再根据EC 是圆的切线，得 到 ACE= ABC ，从而即可得出结论 （II ）欲证 BC 2=BE x CD 即证 故只须证明 BDC ECB 即可 【解答】 解： （）因为， 所以 BCD= ABC 又因为 EC 与圆相切于点C， 故 ACE= ABC 所以 ACE= BCD （5 分） （）因为 ECB= CDB ， EBC= BCD ， 所以 BDCECB， 故 即 BC 2=BE CD （10 分） 【点评】 本题主要

31、考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、 三角形相似等基础知识， 考查运化归与转化思想属于基础题 23 （10 分）已知直线C1 （ t 为参数），C2（为参数）， （）当 =时，求 C1与 C2的交点坐标； （）过坐标原点O 做 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA 中点，当变化时，求P 点的轨迹 的参数方程，并指出它是什么曲线 【考点】 简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆 的参数方程 【专题】 综合题；压轴题 【分析】 （I）先消去参数将曲线C1与 C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点 坐标即可， （II ）设 P（x，y） ，利用中点坐

32、标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由 普通方程即可看出其是什么类型的曲线 【解答】解： （）当 =时，C1的普通方程为， C2的普通方程为x2+y 2=1 联立方程组， 解得 C1与 C2的交点为（ 1， 0） （） C1的普通方程为xsin ycos sin =0 则 OA 的方程为xcos +ysin =0 ， 联立 可得 x=sin 2 ，y=cos sin ； A 点坐标为（ sin 2 ， cos sin ） ， 故当 变化时， P 点轨迹的参数方程为：， P点轨迹的普通方程 故 P 点轨迹是圆心为，半径为的圆 【点评】 本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通

33、方程的互化，利用参数方程研 究轨迹问题的能力 24 （10 分）设函数f（x）=|2x4|+1 （）画出函数y=f（x）的图象： （）若不等式f（x） ax 的解集非空，求a 的取值范围 【考点】 绝对值不等式的解法；函数的图象；其他不等式的解法 【专题】 计算题；作图题；压轴题 【分析】（I）先讨论 x 的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函 数的图象即可； （II ）根据函数y=f（x）与函数 y=ax 的图象可知先寻找满足f（x） ax 的零界情况，从而 求出 a 的范围 【解答】 解： （）由于f（x）=， 函数 y=f（ x）的图象如图所示 （）由函数y=f （x）与函数y=ax 的图象可知，极小值在点（2，1） 当且仅当a 2 或 x 时，函数y=f（x）与函数y=ax 的图象有交点 故不等式f（x） ax 的解集非空时， a 的取值范围为（， 2） ，+） 【点评】 本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的 数学思想，属于基础题