2010年江苏高考数学试题(含答案详解.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析 数学试题 参考公式： 锥体的体积公式: V 锥体= 1 3 Sh，其中 S是锥体的底面积，h 是高。 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 置上 . 1、设集合A=-1,1,3 ，B=a+2,a 2+4,A B=3 ，则实数 a=_. 解析 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1. 2、设复数z 满足 z(2-3i)=6+4i （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为 _. 解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与 3+2 i 的模相等，

2、 z 的模为 2。 3、盒子中有大小相同的3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同 的概率是 _ _. 解析 考查古典概型知识。 31 62 p 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标） ，所得数据都在区间5,40 中，其频率 分布直方图如图所示， 则其抽样的100 根中，有_ 根在棉花纤维的长度小于20mm。 解析 考查频率分布直方图的知识。 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4 页，包含填空题（第1 题第14 题） 、解答题（第15 题第20 题）

3、 。本卷满分 160 分，考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前， 请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 100（ 0.001+0.001+0.004） 5=30 5、设函

4、数f(x)=x(e x+ae-x)(x R)是偶函数，则实数a=_ 解析 考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x+ae-x 为奇函数，由g(0)=0，得 a=1。 6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1 124 22 yx 上一点 M，点 M 的横坐标是3，则 M 到 双曲线右焦点的距离是_ 解析 考查双曲线的定义。 4 2 2 MF e d ，d为点 M 到右准线1x的距离，d=2，MF=4 。 7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 _ 解析 考查流程图理解。 24 12223133,输出 25 122263S。 8、 函数 y=x 2(x0) 的图像在点 (a k,ak 2 )

5、处的切线与x 轴交点的横坐标为ak+1,k 为正整数，a1=16， 则 a1+a3+a 5=_ 解析 考查函数的切线方程、数列的通项。 在点 (ak,ak 2)处的切线方程为： 2 2(), kkk yaaxa 当0y时，解得 2 k a x， 所以 1135 ,164121 2 k k a aaaa。 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆4 22 yx上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的 距离为 1，则实数c 的取值范围是 _ 解析 考查圆与直线的位置关系。圆半径为2， 圆心（ 0，0）到直线12x-5y+c=0 的距离小于1， | | 1 13 c ，c的取值范围是（-13，1

6、3） 。 10、定义在区间 2 0,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2的长为 _。 解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为 sinx 的值， 且其中的x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 2 3 。线段 P1P2的长为 2 3 11、已知函数 2 1,0 ( ) 1,0 xx f x x ,则满足不等式 2 (1)(2 )fxfx的 x 的范围是 _。 解析 考查分段函数的单调性。 2 2 12 ( 1, 21) 10 xx

7、 x x 12、设实数x,y 满足 3 2 xy8， 4 y x 2 9，则 4 3 y x 的最大值是。 解析 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 2 2 ()16,81 x y ， 2 11 1 , 8 3xy ， 32 2 42 1 ()2, 27 xx yyxy ， 4 3 y x 的最大值是27。 13、在锐角三角形ABC ， A 、 B、 C 的对边分别为a、b、c，6cos ba C ab ，则 tantan tantan CC AB =_。 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B 和边 a、b

8、 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有： 1 cos 3 C， 2 1cos1 tan 21cos2 CC C ， 2 tan 22 C ， 1 tantan2 tan 2 AB C ， tantan tantan CC AB = 4。 （方法二） 22 6cos6cos ba CabCab ab ， 2222 22223 6, 22 abcc abab ab ab 2 tantansincossinsincossinsin()1sin tantancossinsincossinsincossinsin CCCBABACABC ABCABCABCAB 由正弦定理，得：上式=

9、 222 2 22 1 4 1 1 3cos () 6 62 ccc cC ab ab 14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2 ( S 梯形的周长） 梯形的面积 ,则 S 的最小值是 _。 解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设剪成的 小正 三角形的边长为x，则： 22 2 (3)4(3) (01) 1133 (1)(1) 22 xx Sx x xx （方法一）利用导数求函数最小值。 2 2 4(3) ( ) 1 3 x S x x ， 22 22 4(26) (1)(3)( 2 ) ( ) (1) 3 xxxx S x x

10、22 2222 4(26) (1)(3)( 2 )42(31)(3) (1)(1)33 xxxxxx xx 1 ( )0,01, 3 S xxx， 当 1 (0, 3 x时，( )0,S x递减；当 1 ,1) 3 x时，( )0,S x递增； 故当 1 3 x时， S 的最小值是 32 3 3 。 （方法二）利用函数的方法求最小值。 令 11 1 3,(2,3),(,) 3 2 xt t t ，则： 2 2 2 441 86 6833 1 t S tt tt 故当 131 , 83 x t 时， S 的最小值是 32 3 3 。 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分，请在答题卡指定区域

11、内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15、 （本小题满分14 分） 在平面直角坐标系xOy 中，点 A( 1,2)、B(2,3)、C( 2, 1)。 (1)求以线段AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 t 满足 (OCtAB)OC=0，求 t 的值。 解析 本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14 分。 （1） （方法一） 由题设知(3,5),( 1,1)ABAC，则 (2,6),(4,4).ABACABAC 所以| 2 10,| 42.ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10。 （方法二） 设该平

12、行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则 : E 为 B、C 的中点， E（0，1） 又 E（0， 1）为 A、D 的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=4 2、AD=2 10； （2）由题设知：OC=(2,1)，(32 ,5)ABtOCtt。 由(OCtAB)OC=0，得：(32 ,5) ( 2, 1)0tt， 从而511,t所以 11 5 t。 或者： 2 ABOCtOC，(3,5),AB 2 11 5 | AB OC t OC 16、 （本小题满分14 分） 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD ，PD=DC=BC=1 ，AB=2 ， A

13、BDC， BCD=90 0。 (1)求证： PC BC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14 分。 （1）证明：因为PD平面 ABCD ，BC平面 ABCD ，所以 PDBC。 由 BCD=90 0，得 CDBC， 又 PDDC=D ，PD、DC平面 PCD， 所以 BC平面 PCD。 因为 PC平面 PCD，故 PCBC。 （2） （方法一）分别取AB 、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则： 易证 DE CB， DE平面 PBC，点 D、 E 到平面 PB

14、C 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于E 到平面 PBC 的距离的2 倍。 由（ 1）知： BC平面 PCD，所以平面PBC平面 PCD 于 PC， 因为 PD=DC ，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC 于 F。 易知 DF= 2 2 ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。 （方法二）体积法：连结AC 。设点 A 到平面 PBC 的距离为h。 因为 AB DC， BCD=90 0，所以 ABC=900。 从而 AB=2 ，BC=1 ，得ABC的面积1 ABC S。 由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积 11 33 ABC VSP

15、D。 因为 PD平面 ABCD ，DC平面 ABCD ，所以 PDDC。 又 PD=DC=1 ，所以 22 2PCPDDC。 由 PCBC，BC=1 ，得PBC的面积 2 2 PBC S。 由 A PBCPABC VV， 11 33 PBC ShV，得2h， 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。 17、 （本小题满分14 分） 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度 H( 单位： m） ， 如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度 h=4m， 仰角 ABE=， ADE=。 (1)该小组已经测得一组、的值， tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认

16、为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位： m） ，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为125m，试问 d 为多少时，-最大？ 解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1）tan tan HH AD AD ，同理： tan H AB， tan h BD。 AD AB=DB ，故得 tantantan HHh ，解得： tan4 1.24 124 tantan1.241.20 h H 。 因此，算出的电视塔的高度H 是 124m。 （2）由题设知dAB，得tan,tan HHhHh dADDBd ， 2 tantan tan() () 1tantan(

17、) 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd () 2() H Hh dH Hh d ，（当且仅当()125 121 55 5dH Hh时， 取等号） 故当55 5d时，tan()最大。 因为0 2 ，则0 2 ，所以当55 5d时，-最大。 故所求的d是555m。 18、 （本小题满分16 分） 在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆1 59 22 yx 的左、右顶点为A、B，右焦点为 F。设过点T（mt,）的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M),( 11 yx、),( 22 yxN，其中 m0,0,0 21 yy。 （1）设动点P 满足4 22 PBPF,求点 P

18、的轨迹； （2）设 3 1 ,2 21 xx，求点 T 的坐标； （3）设9t,求证：直线MN 必过 x 轴上的一定点（其坐 标与 m 无关）。 解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分16 分。 （1）设点 P（ x，y） ，则： F（ 2，0） 、B（ 3，0） 、 A（ -3，0） 。 由4 22 PBPF，得 2222 (2)(3)4,xyxy化简得 9 2 x。 故所求点 P 的轨迹为直线 9 2 x。 （2） 将 3 1 , 2 21 xx分别代入椭圆方程，以及0,0 21 yy得：M（2，5 3 ） 、 N

19、（ 1 3 ， 20 9 ） 直线 MTA 方程为： 03 5 23 0 3 yx ，即 1 1 3 yx， 直线 NTB 方程为： 03 201 03 93 yx ，即 55 62 yx。 联立方程组，解得： 7 10 3 x y ， 所以点 T 的坐标为 10 (7,) 3 。 （3）点 T 的坐标为(9,)m 直线 MTA 方程为： 03 093 yx m ，即(3) 12 m yx， 直线 NTB 方程为： 03 093 yx m ，即(3) 6 m yx。 分别与椭圆1 59 22 yx 联立方程组，同时考虑到 12 3,3xx， 解得： 2 22 3(80)40 (,) 8080

20、mm M mm 、 2 22 3(20)20 (,) 2020 mm N mm 。 （方法一） 当 12 xx时，直线 MN 方程为： 2 22 22 22 22 203(20) 2020 4020 3(80)3(20) 8020 8020 mm yx mm mm mm mm mm 令0y，解得：1x。此时必过点D（ 1，0） ； 当 12 xx时，直线MN 方程为：1x，与 x 轴交点为D（1，0） 。 所以直线MN 必过 x 轴上的一定点D（1，0） 。 （方法二）若 12 xx，则由 22 22 2403360 8020 mm mm 及 0m ，得2 10m， 此时直线 MN 的方程为

21、1x ，过点 D（1，0） 。 若 12 xx，则2 10m，直线 MD 的斜率 2 22 2 40 10 80 240340 1 80 MD m m m k mm m ， 直线 ND 的斜率 2 22 2 20 10 20 36040 1 20 ND m m m k mm m ，得 MDND kk，所以直线MN 过 D 点。 因此，直线MN 必过x轴上的点（ 1，0） 。 19、 （本小题满分16 分） 设各项均为正数的数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 312 2aaa，数列 n S是公差为d 的等差数列。 （1）求数列 n a的通项公式（用dn,表示） ； （2）设c为实数， 对

22、满足nmknm且3的任意正整数knm,，不等式 knm cSSS 都成立。求证：c的最大值为 2 9 。 解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分 析及论证的能力。满分16 分。 （1）由题意知： 0d ， 11 (1)(1) n SSndand 21323213 233()aaaaSSSS， 222 111 3()(2 ) ,adaad 化简，得： 22 1111 20,aaddad ad 22 (1), nn Sdndnd Sn d， 当2n时， 22222 1 (1)(21) nnn aSSn dndnd，适合1n情形。 故所求 2 (21) n a

23、nd （2） （方法一） 222222222 mnk SScSm dn dc k dmnc k， 22 2 mn c k 恒成立。 又nmknm且3， 22 2222 2 9 2()()9 2 mn mnmnk k ， 故 9 2 c，即c的最大值为 2 9 。 （方法二）由 1 ad及 1 (1) n Sand，得0d， 22 n Sn d。 于是，对满足题设的knm,，mn，有 2 222222 ()99 () 222 mnk mn SSmnddd kS。 所以c的最大值 max 9 2 c。 另一方面， 任取实数 9 2 a。设k为偶数， 令 33 1,1 22 mknk，则knm,符合

24、条件， 且 22222222 331 ()(1)(1) (94) 222 mn SSmnddkkdk。 于是，只要 22 942kak，即当 2 29 k a 时， 22 1 2 2 mnk SSdakaS。 所以满足条件的 9 2 c，从而 max 9 2 c。 因此c的最大值为 9 2 。 20、 （本小题满分16 分） 设)(xf是定义在区间), 1(上的函数，其导函数为)( xf。如果存在实数a和函数 )(xh，其中)(xh对任意的),1 (x都有)(xh0，使得)1)()( 2 axxxhxf，则称 函数)(xf具有性质)(aP。 (1)设函数)(xf 2 ln(1) 1 b xx

25、x ，其中b为实数。 (i) 求证：函数)(xf具有性质)(bP； (ii) 求函数)(xf的单调区间。 (2)已知函数)(xg具有性质)2(P。给定 1212 ,(1,),x xxx设m为实数， 21 )1(xmmx， 21 )1 (mxxm，且1, 1， 若|)()(gg|0， 所以对任意的), 1(x都有( )0gx，( )g x在(1,)上递增。 又 1212 ,(21)()xxmxx。 当 1 ,1 2 mm时，且 112212 (1)(1),(1)(1)xmxm xxm xmx， 综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1） 。 （方法二） 由题设知，( )g x的导函数 2 (

26、 )( )(21)gxh xxx，其中函数( )0h x对于任 意的), 1(x都成立。所以，当1x时， 2 ( )( )(1)0gxh xx，从而( )g x在区间 ), 1(上单调递增。 当(0,1)m时，有 12111 (1)(1)mxm xmxm xx， 12222 (1)(1)mxm xmxm xx，得 12 (,)x x，同理可得 12 (,)xx，所以 由( )g x的单调性知()g、()g 12 ( (),()g xg x， 从而有 |)()(gg|)()( 21 xgxg|，符合题设。 当0m时， 12222 (1)(1)mxm xmxm xx， 12111 (1)(1)m

27、xmxm xmxx， 于 是 由1,1及( )g x的 单 调 性 知 12 ()()()( )gg xg xg，所以 |)()(gg|)()( 21 xgxg|，与题设不符。 当1m时，同理可得 12 ,xx，进而得 |)()(gg|)()( 21 xgxg|，与题设 不符。 因此综合、得所求的m的取值范围是（0，1） 。 数学（附加题） 21.选做题 本题包括A、B、C、D 四小题， 请 选 定其中 两题，并在相应的 答题 区域内作答。 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A 选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分10 分） AB 是圆 O 的直径，

28、 D 为圆 O 上一点，过D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点C，若 DA=DC ，求证： AB=2BC 。 解析 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证 能力。 （方法一）证明：连结OD，则： ODDC， 又 OA=OD ，DA=DC ，所以 DAO= ODA= DCO， DOC= DAO+ ODA=2 DCO， 所以 DCO=30 0， DOC=600， 所以 OC=2OD，即 OB=BC=OD=OA ，所以 AB=2BC 。 （方法二）证明：连结OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径，所以ADB=90 0，AB=2 OB 。 因为 DC 是圆 O 的切线，所以CDO=90

29、 0。 又因为 DA=DC ，所以 DAC= DCA ， 于是 ADB CDO，从而 AB=CO 。 即 2OB=OB+BC ，得 OB=BC 。 故 AB=2BC 。 B 选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分10 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0) ，B(-2,0) ， C(-2,1)。设k 为非零实数，矩阵 M= 10 0k ,N= 01 10 ，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1， A1B1C1的面积是 ABC 面积的 2 倍，求 k 的值。 解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分 10 分。 解：

30、由题设得 0010 011010 kk MN B O C A D 由 002200 10001022 kk ，可知 A1（0，0） 、B1（ 0，-2） 、C1（k，-2） 。 计算得 ABC 面积的面积是1， A1B1C1的面积是|k，则由题设知：|2 12k。 所以 k 的值为 2 或 -2。 C 选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10 分） 在极坐标系中，已知圆=2cos与直线 3cos+4sin+a=0 相切，求实数a的值。 解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10 分。 解： 2 2 cos，圆 =2cos的普通方程为： 2222 2 ,(

31、1)1xyxxy， 直线 3cos +4sin+a=0 的普通方程为：340xya， 又圆与直线相切，所以 22 |3 14 0| 1, 34 a 解得：2a，或8a。 D 选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分10 分） 设 a、b 是非负实数，求证： 3322 ()abab ab 。 解析 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10 分。 （方法一）证明： 332222 ()()()abab abaaabbbba 55 ()()() abab 2432234 () ()() ()() ()()()() abaabababb 因为实数a、b 0， 2432234 ()0,

32、()() ()() ()()()() 0abaabababb 所以上式 0。即有 3322 ()abab ab。 （方法二）证明：由a、 b 是非负实数，作差得 332222 ()()()abab abaaabbbba 55 ()()() abab 当ab时，ab，从而 55 ()()ab ，得 55 ()()() 0abab ； 当ab时，ab，从而 55 ()()ab，得 55 ()()() 0abab； 所以 3322 ()abab ab。 必做题 第 22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分。请在 答题卡指定 区域 内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22、

33、（本小题满分10 分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等 品率为 90%，二等品率为10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润4 万元，若是二 等品则亏损1 万元；生产1 件乙产品，若是一等品则获得利润6 万元，若是二等品则亏损2 万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记 X（单位： 万元） 为生产 1 件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列； （2）求生产4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率。 解析 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10 分。 解： （1）由题设知， X 的可能取值为10，5，2

34、， -3，且 P（X=10 ）=0.80.9=0.72，P（X=5）=0.20.9=0.18 ， P（X=2 ）=0.80.1=0.08，P（X=-3 ） =0.20.1=0.02。 由此得 X 的分布列为： X 10 5 2 -3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 （2）设生产的4 件甲产品中一等品有n件，则二等品有 4n件。 由题设知4(4)10nn，解得 14 5 n， 又nN，得3n，或4n。 所求概率为 334 4 0.80.20.80.8192PC 答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率为0.8192。 23、（本小题满分10 分） 已知 ABC 的三边

35、长都是有理数。 （1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA 是有理数。 解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分10 分。 （方法一）（ 1）证明：设三边长分别为, ,a b c， 222 cos 2 bca A bc ，, ,a b c是有理数， 222 bca是有理数，分母2bc为正有理数， 又有理数集对于除法的具有封闭性， 222 2 bca bc 必为有理数，cosA 是有理数。 （2）当1n时，显然cosA 是有理数； 当2n时， 2 cos22cos1AA，因为 cosA 是有理数，cos2

36、A也是有理数； 假设当(2)nk k时，结论成立，即coskA、cos(1)kA均是有理数。 当1nk时，cos(1)coscossinsinkAkAAkAA， 1 cos(1)coscoscos()cos() 2 kAkAAkAAkAA， 11 cos(1)coscoscos(1)cos(1) 22 kAkAAkAkA， 解得：cos(1)2coscoscos(1)kAkAAkA cosA，coskA，cos(1)kA均是有理数，2coscoscos(1)kAAkA是有理数， cos(1)kA是有理数。 即当1nk时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数n，cosnA 是有理数。 （方法二）

37、证明： （1）由 AB 、BC、 AC 为有理数及余弦定理知 222 cos 2 ABACBC A AB AC 是有理数。 （2）用数学归纳法证明cosnA 和sinsinAnA都是有理数。 当1n时，由（ 1）知cosA是有理数，从而有 2 sinsin1cosAAA也是有理数。 假设当(1)nk k时，coskA和sinsinAkA都是有理数。 当1nk时，由cos(1)coscossinsinkAAkAAkA， sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin ) cos(sinsin) cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA， 及和归纳假设，知cos(1)kA和sinsin(1)AkA都是有理数。 即当1nk时，结论成立。 综合、可知，对任意正整数n， cosnA 是有理数。