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1、2018-2019 学年湖南省五市十校教研教改共同体高一12 月联考数学试题（解析 版） 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 . 1.设集合，则 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 对集合 A,B 取交集即可得到答案. 【详解】，, 则， 故选： B. 【点睛】本题考查集合的交集运算 . 2.下列函数与函数的图像相同的是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据两个函数的定义域相同，对应关系相同，这两个函数是同一函数，进行判断即可 【详解】对于A，= x 与 y
2、=x（xR）的对应关系不同，不是同一函数； 对于 B，y=x（x0 ）与 y=x（xR）的定义域不同，不是同一函数； 对于 C,=x（ x0）与 y=x（xR）的定义域不同，不是同一函数 对于 D，y=lne x=x（xR） ，与 y=x（xR）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 故选： D 【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关 系是否也相同，是基础题 3.下列结论正确的是 A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 水平放置的三角形的直观图是三角形 D. 水平放置的菱形的直观图是菱形 【答案】 C
3、 【解析】 【分析】 根据直观图的几何特征，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案 【详解】对于A，相等的角在直观图中不一定相等，如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角 三角形，故错误； 对于 B，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误； 对于 C，三角形的直观图仍然是三角形，正确 对于 D，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故错误 综上，正确的命题是C, 故选： C 【点睛】本题主要考查斜二测画法，要求熟练掌握斜二测画法的规则：平行性质不变， 和 x 轴平行的线段长 度不变，平行于y轴的线段长度减半 4.已知函数，则 A. B. C.
4、D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 由分段函数，可得f （ -1 ）= ，再求 f（ ） ，计算即可得到所求值. 【详解】由函数 得 f （ -1 ）=， f（ f（-1） ）=f（ ） = - = 故选： A 【点睛】本题考查分段函数的运用：求函数值，注意找准对应的函数关系式，考查运算能力，属于基础题 5.函数的值域是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 将指数 x 2+2x 看作整体，求出指数范围，再结合指数函数性质解决 【详解】令t=，则 t-1，则, t-1 函数为减函数，故当t-1, 00 时可知函数g(x)单调递增，由，可得， 故选： A. 【点睛】本题考
5、查构造函数问题，考查利用函数的单调性比较大小 . 8.点 从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周， 两点连线的距离与点走过的路程的 函数关系如图所示，则点所走的图形可能是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对 选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离与点走过的路程的函数图像应该关于对称，由图可知 不满足题意故排除选项B， 故选： C 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认
6、真分析函数图象 的特点考查学生分析问题的能力 9.将一个长方体截去一个棱锥后的三视图如图所示，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积比为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 还原三视图后，由棱锥体积公式及长方体体积公式进行计算，即可求出截去三棱锥体积与剩下的几何体体 积，进而得到答案 【详解】如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c， 即 SAa，SBb， SCc 由长方体，得SA，SB，SC两两垂直， 所以 VASBC SA?SSBC abc abc， 于是 VSABCVASBC abc 故剩下几何体的体积Vabc abc abc， 因此， VSABC： V1：5 故选：
7、C 【点睛】本题考查棱柱的体积公式及棱锥的体积公式和三视图的还原问题. 10.是我们熟悉的无理数，在用二分法求的近似值的过程中，可以构造函数，我们知道 ，所以，要使的近似值满足精确度为0.1 ，则对区间至少二等分的次数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足0.1 ，即可得出结论 【详解】设对区间（1，2）至少二等分n 次，此时区间长为1，第 1 次二等分后区间长为，第 2 次二等分 后区间长为， 第 3 次二等分后区间长为， 则第 n 次二等分后区间长为， 依题意得0.1， 即 2n10n4 ， 即 n=4 为
8、所求 故选： B 【点睛】本题考查了二分法求方程的近似解，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根 据其中两个量求得另一个 11.如图，在边长为2 的正方形中， 分别为，的中点，为的中点，沿，将正 方形折起，使，重合于点，在构成的三棱锥中，下列结论错误 的是 A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】 D 【解析】 【分析】 利用翻折前后长度和角度的变化，对逐个选项进行检验，即可得到答案. 【详解】对选项 A，翻折前，ABBE，AD DF，故翻折后，OAOE，OAOF，又OEOFO，OA 平面 EOF故正确； 对选
9、项 B, 因为 OA平面 EOF，,故正确 对选项 C,连接 OH， AH， 则 OHA 为 AH 与平面 EOF 所成的角，OEOF1， H 是 EF 的中点，OEOF， OH EF,又 OA2， tanOHA2，故正确； 对选项 D,取 AF 的中点 P，连接 OP，HP，则 PHAE， OHP 为异面直线OH 和求 AE 所成角， OE OF1，OA2， OP AF，PH AE，OH EF， cosOHP，故错误 故选：D 【点睛】本题考查立体图形的翻折问题，要注意翻折前后哪些量发生了变化，哪些量没 有发生变化，同时考查了线面垂直的判定定理，线面角，线线角的求法等. 12.中国古代名词“
10、刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，九章算术 注曰：“倍上袤， 下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高乘之，皆六而一”其计算方法是：将上底面 的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底 面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一. 已知一个“刍童”的下底面是周长为18 的 矩形，上底面矩形的长为3，宽为 2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为 A. B. C. 39 D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据定义列“刍童”的体积函数关系式，再根据二次函数性质求最值. 【详解】设下底面的长宽
11、分别为，有 则“刍童”的体积为, 当时，“刍童”的体积取最大值，选 D. 【点睛】研究二次函数最值问题,一般通过对称轴与定义区间位置关系,确定单调性 ,进而确定最值取法. 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若幂函数的图像过点，则的解析式为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 设幂函数y=f （x）的解析式，将点代入解析式即可求得结果. 【详解】设幂函数y=f （x）=x （ R） ，其图象过点， 解得= f （ x）的解析式是y= 故答案为： 【点睛】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，是基础题 14.表面积为24 的正方体的外接球的体积为_ 【答
12、案】 【解析】 【分析】 由表面积求出正方体的棱长、体对角线的长度，即得到正方体外接球的直径，求出半径即可得外接球的体 积 【详解】正方体的表面积为24，正方体的棱长为2，体对角线的长度为2， 外接球的直径为2，半径为 所以外接球的体积为， 故答案为： 【点睛】本题考查球的正方体的外接球问题，解答的关键是利用球的直径就是正方体的对角线 15.已知，是两个不同平面，是平面及 外的两条不同直线， 给出以下四个论断： ； ； ； . 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为_ 【答案】 （或 ） 【解析】 略 16.设函数，则满足的 的取值范围是 _ 【答案】 【解析
13、】 【分析】 对, 两种情况分别进行求解，再取并集，可求出不等式的解集 【详解】函数，要满足， 只需或， 即 e-2x或， 解得， 则的解集为， 故答案为 : 【点睛】本题考查了分段函数、不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，关键是根据分段函数所划 分的区间，进行分类讨论，求解不等式. 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（1）求值：； （2） 若，用，表示. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】 （1）利用指数和对数的运算法则即可得出 （2）利用指对互化公式和对数的运算法则即可得出 【详解】（1）原式 （2）， 【点睛】
14、本题考查指数和对数运算法则、指对互化公式的应用，属于基础题 18.如图，在圆锥中，是其底面圆的直径，点在底面圆周上运动（不与，重合） ，为的中点 . （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）证明 OD BC，利用线面平行的判定定理即可得到证明 （2）证明 ACOD，ACPO，推出 AC平面 POD，利用面面垂直的判定定理即可得到证明 【详解】证明： （1）为的中点，圆心为的中点， 平面，平面， 平面. （2），是的中点，. 底面，底面， ，平面， 平面， 平面， 平面平面. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及面面垂直判定
15、定理的应用，考查空间 想象能力 19.已知函数，其中且. （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值是2，求的值； （3）求使成立的的取值范围 . 【答案】（1）（2）（3）时满足题意的的取值范围是;时满足题意的的取 值范围是 【解析】 【分析】 （1）根据对数函数的性质，真数大于0，可得函数定义域； （2）利用对数的运算法则将进行化简， 转为复合函数求最值问题； （3）不等式f（x） g（x） ，即 loga（x+2） loga（4x） ，利用对数的性质及运算，对底数a 进行讨论， 可得答案 【详解】（1）要使的表达式有意义， 则有： 函数的定义域是 （2）令， 则 设，则， 函数的最大值
16、是2. 即，的最大值是2. 且， （3）由即 ：若，则, ：若，则有：, 时满足题意的的取值范围是 时满足题意的的取值范围是. 【点睛】本题考查对数函数图象和性质的应用，属于基础题 20.如图，四棱锥中，平面，. （1）证明：； （2）若四面体的体积为，求四棱锥的侧面积 . 【答案】（1）见解析（ 2） 【解析】 【分析】 （1）由已知平面可得由，由勾股定理可得，从而得到线面垂直，由线面垂直的 性质定理可得线线垂直； （2）利用体积求出AB2，然后求解EB, 利用三角形和梯形面积公式即可求得四棱锥EABCD 的侧面积 【详解】（1）证明：在中， ，即： 平面，平面， ，平面， 平面， （2）解
17、由（ 1）知平面 ， ， ，平面， 平面，又平面， 又在直角梯形中， 在直角三角形中， 四棱锥的侧面积为 【点睛】 本题考查直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查锥体的体积以及侧面积的求法，考查空间 想象能力以及计算能力 21.小萌大学毕业后，家里给了她10 万元，她想办一个“萌萌”加工厂，根据市场调研，她得出了一组毛利 润 （单位：万元）与投入成本（单位：万元）的数据如下： 投入成本0.5 1 2 3 4 5 6 毛利润1.06 1.25 2 3.25 5 7.25 9.98 为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型，中选一个进行预测. （1）根据投入成本2 万元和 4 万元
18、的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你根据给定数据选出一 个较好的函数模型进行预测（不必说明理由），并预测她投入8 万元时的毛利润； （2）若小萌准备最少投入2 万元开办加工厂，请预测加工厂毛利润率的最大值，并说明理由. （） 【答案】（1）17 万元（2） 【解析】 【分析】 (1)利用给出的数据把给出的两个模型进行计算分别验证，即可找出一个比较适合的模型；(2)根据题意写出 毛利润率的表达式，利用函数的单调性即可求得函数的最值. 【详解】（1）先求第一个模型的解析式， 由已知数据可得，解得， ， 同理可求得 选择作为较好的模型， 当万元时，万元 . （2）由已知， 设，则， ， ，在
19、上是增函数， 当万元时，. 【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，并会利用所建的函数单调性求 函数的最值 . 22.已知函数在区间上的值域为. （1）求的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有 3 个零点，求实数的值 . 【答案】（1）1 （2）（3）-1 【解析】 【分析】 （1）由二次函数图像性质可得的最大值必是在区间端点处取得，将端点值代入计算a 值检验即可； （2） 令，将 y=转为关于 t 的函数 h(t)，并求函数h(t)的最小值，由可得 m的取值范围 .（3）令 ，将转为关于t 的二次函数，将二次函数对应的二次方程分解因式，求得或， 结合函数有三个零点即可得到的取值 . 【详解】（1）依题意，的最大值必然是在区间的端点处取得， 所以：或，解得：， 经检验，符合题意 . （2）令，则原不等式可化为：恒成立 ,令 h(t)=, 因为， 则， 的取值范围是 （3）令，则可化为： 解方程可得：或 又依题意：有 3 个不同的零点， ， 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值问题，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造 函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力