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1、2018-2019 学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：（本题满分24 分，共有8道小题，每小题3 分） 1把不等式x+20 的解集在数轴上表示出来，则正确的是（） AB C D 2如图所示图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有（） ABCD 3下列因式分解正确的是（） A2x26x 2x（x6） B a3+ab a （a2b） C x2 y 2（ x+y）（ xy） Dm2 9n2（ m+9n）（ m9n） 4如图，在 ?ABCD 中，点 E、F 分别在边AB 和 CD 上，下列条件不能判定四边形DEBF 一定是平 行四边形的是（） AAECFBDEBFC AD
2、E CBFD AED CFB 5无论 a 取何值时，下列分式一定有意义的是（） ABCD 6如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（） A比原多边形多180B比原多边形多360 C与原多边形相等D比原多边形少180 7下列运算正确的是（） A Ba+1 C + 0 D 8如图，在 ABC 中， BAC90， ABC2C，BE 平分 ABC 交 AC 于 E，ADBE 于 D， 下列结论： ACBEAE； 点 E 在线段 BC 的垂直平分线上； DAE C； BC4AD， 其中正确的个数有（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：（本题满分24 分，共有8道小
3、题，每小题3 分） 9把多项式n（ n2）+m（ 2n）分解因式的结果是 10若分式的值为正数，则x 的取值范围 11 将点 P （ 2， 3） 向右平移3 个单位得到点P1， 点 P2与点 P1关于原点对称， 则 P2的坐标是 12小刚从家到学校的路程为2km，其中一段是lkm 的平路，一段是lkm 的上坡路已知小刚在上 坡、平路和下坡的骑车速度分别为akm/h，2akm/h，3akm/h，则小刚骑车从家到学校比从学校回 家花费的时间多h 13如图，在四边形ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点， BC 15，CD9，EF6， AFE50，则 ADC 的度数为 14某工厂原计
4、划在规定时间内生产12000 个零件，实际每天比原计划多生产100 个零件，结果比 规定时间节省了若设原计划每天生产x 个零件，则根据题意可列方程为 15如图，在ABC中，AB6，将ABC绕点B按逆时针方向旋转30后得到A1BC1，则阴影 部分的面积为 16直线 y x+m 与 y x+5 的交点的横坐标为2，则关于x 的不等式 x+mx+50 的整数解 为 三、作图题（本题满分4 分） 17用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：四边形ABCD 求作：点P，使 PBC PCB，且点 P 到 AD 和 DC 的距离相等 四、解答题：（本题满分68 分，共有7道小题） 18（ 14
5、分）计算题 （1）因式分解： 3a2b6ab2+3b3 （2）解不等式组： （3）先化简，再求值：（1+），其中 a 3 19（ 6 分）如图，已知RtABC 中， ACB90， CACB，D 是 AC 上一点， E 在 BC 的延长 线上，且AEBD，BD 的延长线与AE 交于点 F试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF 与 AE 有何特殊的位置关系，并证明你的结论 20（ 8 分）某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人100 元，车站提出两种车票价格的 优惠方案供学校选择第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方案是师 生都按原价的80%付款该校参加这项活动的教师有
6、5 名，学生有x 名 （1）设购票付款为y 元，请写出y 与 x 的关系式 （2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案？ 21（ 8 分）已知：如图，在四边形ABCD 中，过 A，C 分别作 AD 和 BC 的垂线，交对角线 BD 于 点 E，F，AECF，BE DF （1）求证：四边形ABCD 是平行四边形； （2）若 BC4， CBD45，且 E，F 是 BD 的三等分点，求四边形ABCD 的面积（直接写出 结论即可） 22（ 10 分）随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继 投放市场顺风车行五月份A 型车的销售总利润为4320 元， B 型车
7、的销售总利润为3060 元且 A 型车的销售数量是B 型车的 2 倍，已知销售B 型车比 A 型车每辆可多获利50 元 （1）求每辆A 型车和 B 型车的销售利润； （2）若该车行计划一次购进A、 B 两种型号的自行车共100 台且全部售出，其中B 型车的进货数量 不超过 A 型车的 2 倍，则该车行购进A 型车、 B 型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销 售总利润是多少？ 23（ 10 分）如图，四边形ABCD 是面积为 S的平行四边形，其中ADBC，ABCD （1）如图 ，点 P 为 AD 边上任意一点，则PAB 的面积 S1和 PDC 的面积 S2之和与 ?ABCD 的 面积 S之
8、间的数量关系是 （2）如图 ，设 AC、BD 交于点 P，则 PAB 的面积 S1和 PDC 的面积 S2之和与 ?ABCD 的面积 S之间的数量关系是 （3） 如图 ， 点 P为? ABCD 内任意一点时， 试猜想 PAB的面积 S1和 PDC 的面积 S2之和与 ?ABCD 的面积 S之间的数量关系，并加以证明 （4）如图 ，已知点P 为?ABCD 内任意一点，PAB 的面积为2， PBC 的面积为8，连接 BD， 求 PBD 的面积 24（ 12 分）问题：如图 ，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上， EAF45，试判 断 BE、EF、FD 之间的数量关系 【发现证
9、明】将ABE 绕点 A 逆时针旋转90至 ADG，从而发现EFBE+FD ，请你利用图 证 明上述结论 【类比引申】 如图 ，四边形 ABCD 中， BAD 90，AB AD，B+D180，点 E、F 分别在边BC、CD 上，则当 EAF 与 BAD 满足关系时，仍有EF BE+FD 【探究应用】 如图 ，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD 已知 ABAD80 米，B60， ADC120， BAD150，道路 BC、CD 上分别有景点E、F，且 AE AD，DF （ 40 40）米，现要在E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路EF 的长 2018-2019 学年山东省青岛市市南
10、区八年级（下）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本题满分24 分，共有8道小题，每小题3 分） 1把不等式x+20 的解集在数轴上表示出来，则正确的是（） AB C D 【分析】 先解的不等式，然后在数轴上表示出来 【解答】 解：解不等式x+20，得 x 2 表示在数轴上为： 故选： D 【点评】 本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集把每个不等式的解集在数轴 上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一 段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几 个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“
11、”，“”要用空心圆点表示 2如图所示图形中既是中心对称图形，又能镶嵌整个平面的有（） A B C D 【分析】 根据中心对称图形的概念以及平面镶嵌的定义进行判断即可 【解答】 解： 不是中心对称图形，不合题意； 是中心对称图形，又能镶嵌整个平面，符合题意； 是中心对称图形，又能镶嵌整个平面，符合题意； 是中心对称图形，不能镶嵌整个平面，不合题意 故选： C 【点评】 本题考查的是中心对称图形与平面镶嵌中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后 两部分重合 3下列因式分解正确的是（） A2x26x 2x（x6） B a3+ab a （a2b） C x2y2（ x+y）（ xy） Dm2 9n
12、2（ m+9n）（ m9n） 【分析】 各项分解因式得到结果，即可作出判断 【解答】 解： A、2x2 6x2x（x3），错误； B、 a 3+ab a （a2b），正确； C、 x2 y 2（ x2+y2），错误； D、m2 9n2（ m+3n）（ m3n），错误； 故选： B 【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 4如图，在 ?ABCD 中，点 E、F 分别在边AB 和 CD 上，下列条件不能判定四边形 DEBF 一定是平 行四边形的是（） AAECFBDEBFC ADE CBFD AED CFB 【分析】 根据平行四边形的判断方法一一判断
13、即可； 【解答】 解： A、由 AECF，可以推出DF EB， DFEB，四边形ABCD 是平行四边形； B、由 DEBF，不能推出四边形ABCD 是平行四边形，有可能是等腰梯形； C、由 ADE CBF，可以推出ADE CBF ，推出DFEB，DFEB，四边形ABCD 是平行 四边形； D、由 AED CFB，可以推出ADE CBF，推出DFEB，DFEB，四边形ABCD 是平行 四边形； 故选： B 【点评】 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型 5无论 a 取何值时，下列分式一定有意义的是（） A B C D 【分
14、析】 由分母是否恒不等于0，依次对各选项进行判断 【解答】 解：当 a0 时， a2 0，故 A、 B 中分式无意义； 当 a 1 时， a+1 0，故 C 中分式无意义； 无论 a 取何值时， a2+10， 故选： D 【点评】 解此类问题，只要判断是否存在a 使分式中分母等于0 即可 6如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（） A比原多边形多180B比原多边形多360 C与原多边形相等D比原多边形少180 【分析】 设原多边形的边数为n，则得出的新多边形的边数为n+1，根据多边形内角和公式得出算式 （n+12） 180（ n2） 180，求出即可 【解答】 解：设原多
15、边形的边数为n，则得出的新多边形的边数为n+1， 即（ n+12） 180（ n2） 180 180， 即新多边形的内角和比原多边形的内角和多180， 故选： A 【点评】 本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键 7下列运算正确的是（） A Ba+1 C + 0 D 【分析】 根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】 解：（ A）原式，故 A 错误； （B）原式 a+，故 B 错误； （D）原式，故 D 错误； 故选： C 【点评】 本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型 8如图，在 ABC 中， BAC90， ABC2C，B
16、E 平分 ABC 交 AC 于 E，ADBE 于 D， 下列结论： ACBEAE； 点 E 在线段 BC 的垂直平分线上； DAE C； BC4AD， 其中正确的个数有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【分析】 根据角平分线的定义可得1 2，然后求出 2 C，再根据等角对等边可得BECE， 结合图形ACCEAE，即可得到 正确；根据等腰三角形三线合一的性质即可得到点E 在线段 BC 的垂直平分线上，从而得到 正确；根据直角三角形的性质分别得到 DAE 和 C 的度数， 从而得到 正确；根据含30的直角三角形的性质可得AB 和 BC，AD 的关系，进一步得到BC 和 AD 的关系，从而得到
17、 正确 【解答】 解：如图， BE 平分 ABC， 1 2， ABC2C， 2 C， BECE， ACCEAE， ACBEAE，故 正确； BECE， 点 E 在线段 BC 的垂直平分线上，故 正确； 1 2 C， C 130， AEB90 30 60， DAE 90 60 30， DAE C，故 正确； 在 RtBAC 中， C30， BC2AB， 在 RtBDA 中， 1 30， AB2AD， BC4AD，故 正确； 综上所述，正确的结论有 故选： D 【点评】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，利用 含 30的直角三角形的性质是解题的关键 二、填空
18、题：（本题满分24 分，共有8道小题，每小题3 分） 9把多项式n（ n2）+m（ 2n）分解因式的结果是（n2）（ nm） 【分析】 直接提取公因式（n2），进而分解因式得出答案 【解答】 解： n（n 2）+m（2 n） n（n2） m（ n2） （ n2）（ nm） 故答案为：（ n2）（ nm） 【点评】 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 10若分式的值为正数，则x 的取值范围x7 【分析】 由题意得分式0，根据负负得正，得7x0，解得： x7 【解答】 解：由题意得： 0， 60， 7x0， x7 故答案为： x7 【点评】 题目考查了分式的基本运算和不等
19、式的运算题目整体较为简单，学生需要注意运算的正 确性即可 11 将点 P （ 2， 3） 向右平移3 个单位得到点 P1， 点 P2与点 P1关于原点对称， 则 P2的坐标是（ 1， 3） 【分析】 首先根据点P（ 2，3）向右平移3 个单位得到点P1，可得点P1的坐标是（ 1，3），然后 根据点 P2与点 P1关于原点对称，求出P2的坐标是多少即可 【解答】 解：点P（ 2，3）向右平移3 个单位得到点P1， 点 P1的坐标是（ 1， 3）； 点 P2与点 P1关于原点对称， P 2的坐标是（ 1， 3） 故答案为：（1， 3） 【点评】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，以及坐标与图形
20、变化问题平移，要熟练掌握 12小刚从家到学校的路程为2km，其中一段是 lkm 的平路，一段是lkm 的上坡路已知小刚在上 坡、平路和下坡的骑车速度分别为akm/h，2akm/h，3akm/h，则小刚骑车从家到学校比从学校回 家花费的时间多 h 【分析】 根据题意， 可以用代数式表示出小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多多少小时 【解答】 解：由题意可得， 小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多： h， 故答案为： 【点评】 本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式 13如图，在四边形ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点， BC 15，CD9，E
21、F6， AFE50，则 ADC 的度数为140 【分析】 连接 BD，根据三角形中位线定理得到EFBD，BD2EF12，根据勾股定理的逆定理得 到 BDC90，计算即可 【解答】 解：连接BD， E、F 分别是边AB、 AD 的中点， EFBD，BD2EF12， ADB AFE50， BD 2+CD2225，BC2225， BD2+CD 2BC2， BDC 90， ADC ADB+BDC 140， 故答案为： 140 【点评】 本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并 且等于第三边的一半 14某工厂原计划在规定时间内生产12000 个零件，实际每天比原计划
22、多生产100 个零件，结果比 规 定 时 间 节 省 了 若 设 原 计 划 每 天 生 产x个 零 件 ， 则 根 据 题 意 可 列 方 程 为 【分析】 设原计划每天生产的零件个数为x 个，则实际每天生产（x+100）个零件，根据题意可得等 量关系列出方程即可 【解答】 解：设原计划每天生产的零件个数为x 个，由题意得 ， 故答案为：， 【点评】 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关 系，再设出未知数，列出方程 15如图，在 ABC 中， AB 6，将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转30后得到 A1BC1，则阴影 部分的面积为9 【分析】 根
23、据旋转的性质得到BC A1BC1 ，A 1BAB6，所以 A1BA 是等腰三角形， 依据 A1BA 30得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S 阴影SA1BA+SA1BC1SABCSA1BA，最终得 到阴影部分的面积 【解答】 解：在 ABC中，AB6，将ABC绕点B按逆时针方向旋转30后得到A1BC1， ABC A1BC1， A1BAB6， A1BA 是等腰三角形， A1BA30， S A1BA 639， 又 S 阴影 S A1BA+SA1BC1 S ABC， SA1BC1 S ABC， S 阴影 S A1BA9 故答案为： 9 【点评】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对
24、应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；旋转前、后的图形全等运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题 的关键 16直线 y x+m 与 yx+5 的交点的横坐标为2，则关于 x 的不等式 x+mx+50 的整数解为 3， 4 【分析】 满足不等式 x+mx+50 就是直线 y x+m 位于直线yx+5 的上方且位于x 轴的上方 的图象，据此求得自变量的取值范围即可求得整数解 【解答】 解：直线y x+m 与 yx+5 的交点的横坐标为 2， 关于 x 的不等式 x+m x+5 的解集为x 2， yx+50 时， x 5， x+50 的解集是x 5， x+mx+5 0 的解集是 5x
25、2， 整数解为 3， 4 故答案为 3， 4 【点评】 本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，关键是根据不等式x+m x+30 就是直线 y x+m 位于直线 yx+3 的上方且位于x 轴的上方的图象来分析 三、作图题（本题满分4 分） 17用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：四边形ABCD 求作：点P，使 PBC PCB，且点 P 到 AD 和 DC 的距离相等 【分析】 由 PBC PCB 知点 P 在线段 BC 中垂线上，由点P 到 AD 和 DC 的距离相等知点 P 也 在 ADC 平分线上，据此作图可得 【解答】 解：如图所示，点P 即为所求 【点
26、评】 本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线和角平分线的尺规作图及其 性质 四、解答题：（本题满分68 分，共有7道小题） 18（ 14 分）计算题 （1）因式分解：3a2b6ab2+3b3 （2）解不等式组： （3）先化简，再求值：（1+），其中 a 3 【分析】 （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行分解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （3）先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可 【解答】 解：（ 1）3a2b6ab2+3b3 3b（ a22ab+b2） 3b（ ab）2； （2） 解不等式 得： x 3， 解不
27、等式 得： x2， 不等式组的解集为3x2； （3）（ 1+） ? ? a+2， 当 a 3 时，原式 3+2 1 【点评】 本题考查了分式的混合运算和求值、解一元一次不等式组和因式分解，能灵活运用各个方 法分解因式是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键，能正 确根据分式的运算法则进行化简是解（3）的关键 19（ 6 分）如图，已知RtABC 中， ACB90， CACB，D 是 AC 上一点， E 在 BC 的延长 线上，且AEBD，BD 的延长线与AE 交于点 F试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF 与 AE 有何特殊的位置关系，并证明你的结论 【分析】
28、结论： BFAE只要证明RtBCDRtACE（HL）即可解决问题； 【解答】 解：结论： BFAE 理由：在RtBCD 和 Rt ACE 中， ， RtBCDRtACE（HL）， CBD CAE， E+CAE90， CBD +E90， BFE90， BFAE 【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是准确寻 找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 20（ 8 分）某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人100 元，车站提出两种车票价格的 优惠方案供学校选择第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方案是师 生都按原价的80%付款该校参
29、加这项活动的教师有5 名，学生有x 名 （1）设购票付款为y 元，请写出y 与 x 的关系式 （2）请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案？ 【分析】 （1）根据题意可以得到y 与 x 的函数关系式； （2）根据（ 1）中的函数解析式，令它们相等，求出相应的x 的值，即可解答本题 【解答】 解：（ 1）由题意可得， 第一种方案中：y5 100+100x78% 78x+500， 第二种方案中：y100（x+5） 80%80x+400； （2）令 78x+50080x+400， 解得， x50， 当学生人数少于50 人时，按方案二购买， 当学生人数为50 人时，两种方案一样， 当学生人数超
30、过50 人时，按方案一购买 【点评】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用 一次函数的性质解答 21（ 8 分）已知：如图，在四边形ABCD 中，过 A，C 分别作 AD 和 BC 的垂线，交对角线 BD 于 点 E，F，AECF，BE DF （1）求证：四边形ABCD 是平行四边形； （2）若 BC4， CBD45，且 E，F 是 BD 的三等分点，求四边形ABCD 的面积（直接写出 结论即可） 【分析】 （1）根据垂直的定义得到DAE BCF 90，根据全等三角形的性质得到AD BC， ADE CBF ，于是得到结论； （2）过 C 作 CHBD
31、于 H，推出 CBF 是等腰直角三角形，解直角三角形得到BFBC4， CH BC2，于是得到结论 【解答】 （1）证明： AEAD，CFBC， DAE BCF90， BEDF ， BE+EFDF+EF， 即 BFDE ， 在 RtADE 与 RtCBF 中， RtADERtCBF（ HL）， ADBC， ADE CBF， ADBC， 四边形ABCD 是平行四边形； （2）解：过C 作 CHBD 于 H， CBD 45， CBF 是等腰直角三角形， BFBC4， CHBC2， E，F是 BD的三等分点， BD6， 四边形ABCD 的面积 BD?CH24 【点评】 本题考查了平行四边形的判定和性质
32、，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定 和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键 22（ 10 分）随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继 投放市场顺风车行五月份A 型车的销售总利润为4320 元， B 型车的销售总利润为3060 元且 A 型车的销售数量是B 型车的 2 倍，已知销售 B 型车比 A 型车每辆可多获利50 元 （1）求每辆A 型车和 B 型车的销售利润； （2）若该车行计划一次购进A、 B 两种型号的自行车共100 台且全部售出，其中B 型车的进货数量 不超过 A 型车的 2 倍，则该车行购进A 型车、 B 型车各多少
33、辆，才能使销售总利润最大？最大销 售总利润是多少？ 【分析】 （1）设每台A 型车的利润为x 元，则每台B 型车的利润为（x+50）元，然后根据销售A 型车数量是销售B 型车的 2 倍列出方程，然后求解即可； （2）设购进 A 型车 a 台，这 100 台车的销售总利润为y 元根据总利润等于两种车的利润之和列式 整理即可得解； 根据 B 型车的进货量不超过A 型车的 2 倍列不等式求出a的取值范围， 然后根据 一次函数的增减性求出利润的最大值即可 【解答】 解：（ 1）设每台A 型车的利润为x 元，则每台B 型车的利润为（x+50）元， 根据题意得2， 解得 x120 经检验， x120 是原
34、方程的解， 则 x+50170 答：每辆A 型车的利润为120 元，每辆B 型车的利润为170 元 （2）设购进 A型车a台，这100辆车的销售总利润为y元， 据题意得， y120a+170（100a），即 y 50a+17000， 100a2a， 解得 a 33， y 50a+17000， y 随 a 的增大而减小， a 为正整数， 当 a 34 时， y 取最大值，此时y 5034+1700015300 即商店购进34 台 A 型车和 66 台 B 型车，才能使销售总利润最大，最大利润是15300 元 【点评】 本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，
35、 准确找出等量关系列出方程是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练 掌握 23（ 10 分）如图，四边形ABCD 是面积为 S的平行四边形，其中ADBC，ABCD （1）如图 ，点 P 为 AD 边上任意一点，则PAB 的面积 S1和 PDC 的面积 S2之和与 ?ABCD 的 面积 S之间的数量关系是S1+S2S （2）如图 ，设 AC、BD 交于点 P，则 PAB 的面积 S1和 PDC 的面积 S2之和与 ?ABCD 的面积 S之间的数量关系是S1+S2 S （3） 如图 ， 点P为?ABCD内任意一点时， 试猜想 PAB的面积S1和PDC的面积S2之和与 ?ABCD
36、 的面积 S之间的数量关系，并加以证明 （4）如图 ，已知点P 为?ABCD 内任意一点，PAB 的面积为2， PBC 的面积为8，连接 BD， 求 PBD 的面积 【分析】 （1）根据平行四边形的性质可知：SPBCS平行四边形 ABCD，即可解决问题； （2）理由平行四边形的性质可知：SABP S ADP S DPC S BCP，即可解决问题； （3） 结论：S1+S2S 如图 中，作 PE AB 于 E， 延长 EP 交 CD 于 F 根据 S1+S 2 ?AB?PE+ ?CD?PFAB?EFS； （4）设 PAD 的面积为x， PDC 的面积为y，则 2+y8+x，推出 yx6，可得 P
37、BD 的面积 2+y（ 2+x） yx6； 【解答】 解：（ 1）如图 中， ADBC，ABCD 四边形ABCD 是平行四边形， ADBC， S PBC S， S ABP+SDCP S， S1+S2S 故答案为S1+S2S （2）如图 中，四边形ABCD 是平行四边形， PAPC，BPDP， SABPSADPSDPC SBCP， S1+S2S 故答案为S1+S2S （3）结论： S1+S2S 理由：如图 中，作 PE AB 于 E，延长 EP 交 CD 于 F ABCD， PEAB， PFCD， S1+S2?AB?PE+?CD?PFAB?EFS （4）设 PAD 的面积为x， PDC 的面积为
38、y， 则 2+y 8+x， yx 6， PBD 的面积 2+y（ 2+x） yx6， 【点评】 本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等高模型等正整数，解题的关键是灵 活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 24（ 12 分）问题：如图 ，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上， EAF45，试判 断 BE、EF、FD 之间的数量关系 【发现证明】将ABE 绕点 A 逆时针旋转90至 ADG，从而发现EFBE+FD ，请你利用图 证 明上述结论 【类比引申】 如图 ，四边形 ABCD 中， BAD 90，AB AD，B+D180，点 E、F 分别在边BC、CD 上，
39、则当 EAF 与 BAD 满足BAD2EAF关系时，仍有EFBE+FD 【探究应用】 如图 ，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD 已知 ABAD80 米，B60， ADC120， BAD150，道路 BC、CD 上分别有景点E、F，且 AE AD，DF （ 40 40）米，现要在E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路EF 的长 【分析】 【发现证明】根据旋转的性质可以得到ADG ABE，则GFBE+DF ，只要再证明 AFG AFE 即可； 【类比引申】延长CB 至 M，使 BMDF ，连接 AM，证 ADF ABM，证 FAE MAE，即可 得出答案； 【探究应用】 利用等边
40、三角形的判定与性质得到ABE 是等边三角形， 则 BEAB80 米把 ABE 绕点 A 逆时针旋转150至 ADG，只要再证明BAD2EAF 即可得出EFBE+FD 【解答】 【发现证明】证明：如图（1）， ADG ABE， AGAE， DAG BAE， DGBE， 又 EAF45，即 DAF +BAE EAF45， GAF FAE， 在 GAF 和 FAE 中， ， AFG AFE（SAS ） GFEF 又 DGBE， GFBE+DF ， BE+DF EF； 【类比引申】BAD 2EAF 理由如下：如图（2），延长CB 至 M，使 BMDF ，连接 AM， ABC+D180， ABC+ AB
41、M180， D ABM， 在 ABM 和 ADF 中， ， ABM ADF （ SAS ）， AFAM， DAF BAM， BAD 2EAF， DAF +BAE EAF， EAB+BAM EAM EAF， 在 FAE 和 MAE 中， ， FAE MAE（SAS ）， EFEMBE+BM BE+DF， 即 EFBE+DF 故答案是： BAD2EAF； 【探究应用】如图（3），把 ABE 绕点 A 逆时针旋转150至 ADG，连接 AF，过 A 作 AH GD， 垂足为 H， BAD 150， DAE90， BAE60 又 B60， ABE 是等边三角形， BEAB80 米 根据旋转的性质得到：
42、ADG B60， 又 ADF 120， GDF 180，即点G 在 CD 的延长线上 易得， ADG ABE， AGAE， DAG BAE， DGBE， 又 AH8040，HF HD +DF 40+40（1） 40， 故 HAF 45， DAF HAF HAD 45 30 15 从而 EAF EAD DAF 90 15 75 又 BAD150 275 2EAF 根据上述推论有：EFBE+DF 80+40（1） 40（+1）（米）， 即这条道路EF 的长为 40（+1） 【点评】 本题考查的是四边形综合题，掌握、旋转变换的性质、全等三角形的判定定理和性质定理 是解题的关键，正确画出图形，证明BAD 2EAF 的关键环节