《2019年四川省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年四川省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析.pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页（共 20 页） 2019 年四川省高考数学模拟试卷（理科） 一.选择题：本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知 i 为虚数单位，aR，若（ a 2+2a3）+（a+3）i 为纯虚数，则 a 的值为（） A1 B 3 C 3或 1 D3 或 1 2已知集合M= x| x| 2，xR ，N= x| x1| a，aR，若 N? M，则 a 的取值范围 为（） A0a 1 Ba1 Ca1 D0a1 3设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若 cosx=cosy，则 x=y，则下列 判断正确的是（） Apq
2、 为真 Bpq 为假 C p 为真D q 为真 4已知抛物线x 2=2py（p0）经过点（ 2， 2） ，则抛物线的焦点坐标为（ ） A B C D 5小明、小王、小张、小李4 名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站 排尾，则不同的排法共有（）种 A14 B18 C12 D16 6执行如图所示的程序框图，输出P的值为（） A 1 B1 C0 D2019 7设 x，y 满足约束条件，则 的最大值为（） A1024 B256 C8 D4 8已知 O 为 ABC 内一点，且有，记 ABC ， BCO， ACO 的面积 分别为 S1，S2，S3，则 S1：S2： S3等于（） A3：2：
3、1 B3：1： 2 C6：1：2 D6： 2：1 第 2 页（共 20 页） 9若椭圆 和圆为椭圆的半焦距） ，有四个不同 的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（） A B C D 10已知函数 ，若存在x1 ， x 2，当 0x1 x 22 时， f（x1） =f（ x2） ，则 x1f（x2） f（x2）的取值范围为（） ABC D 二、填空题（每题5 分，满分25 分，将答案填在答题纸上） 11若样本数据x1 ，x 2， ，x10的平均数为 8，则数据2x1 1，2x21， ，2x101 的平 均数为 _ 12在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为 128，则展开式中x 5 的系数
4、为_ 13已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 a， P为棱 AA 1的中点，在面 BB1D1D 上任取 一点 E，使得 EP+EA 最小，则最小值为_ 14在平面直角坐标系中，以（0， 1）为圆心且与直线 ax+y+ +1=0（aR） 相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为_ 15已知 a0，f（x）=a 2lnxx2+ax，若不等式 ef（ x） 3e+2 对任意 x 1，e 恒成立， 则实数 a 的取值范围为 _ 三、解答题（本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且= （I）求角
5、A； （）若=（ 0， 1） ，=（cosB，2cos2） ，求 |+ | 的取值范围 17为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况现从某班全体学生中，随机抽取 12 名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90， 86，86，87，88，98，72， 86， 87 根据学校体制标准，成绩不低于76 的为优良 （）从这12 名学生中任选3 人进行测试，求至少有1 人成绩是 “ 优良 ” 的概率； （）从抽取的12 人中随机选取3 人，记 表示测试成绩 “ 优良 ” 的学生人数，求 的分布 列及期望 18如图所示，在三棱锥PABQ 中， PB平面 ABQ ，BA=BP=BQ
6、， D， C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点， AQ=2BD ，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH 第 3 页（共 20 页） （）求证： AB GH； （）求异面直线DP 与 BQ 所成的角； （）求直线AQ 与平面 PDC 所成角的正弦值 19已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，S n=2an4，数列 bn 满足 bn+1 b n=1，其 n 项和为 Tn， 且 T 2 +T 6=32 （）求数列 an， bn 的通项公式； （）若不等式nlog2 （S n+4） bn+3n7 对任意的 n N*恒成立，求实数的取值范围 20已知椭圆C：
7、 +=1（ab0）的左、右顶点分别为A1， A2，且 | A1A2| =4，上 顶点为 B，若直线BA1与圆 M： （x+1） 2 +y 2= 相切 （）求椭圆C 的标准方程； （）直线l：x=2与 x 轴交于 D，P 是椭圆 C 上异于 A1 、A 2的动点，直线 A1P、A2 P 分 别交直线l 于 E、F 两点，求证：| DE| ?| DF| 为定值 21设函数f（x） =x 2x+t，t0，g（x）=lnx （）若对任意的正实数x，恒有 g（x） x 2 成立，求实数的取值范围； （）对于确定的t，是否存在直线l 与函数 f（x） ，g（x）的图象都相切？若存在，讨论直 线 l 的条数
8、，若不存在，请说明理由 第 4 页（共 20 页） 2019 年四川省高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一.选择题：本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知 i 为虚数单位，aR，若（ a 2+2a3）+（a+3）i 为纯虚数，则 a 的值为（） A1 B 3 C 3或 1 D3 或 1 【考点】 复数的基本概念 【分析】 直接由实部等于0 且虚部不为0 列式求得a 值 【解答】 解：（ a2+2a3）+（a+3）i 为纯虚数， ，解得： a=1 故选： A 2已知集合M= x| x| 2，xR ，N= x|
9、x1| a，aR，若 N? M，则 a 的取值范围 为（） A0a 1 Ba1 Ca1 D0a1 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 分别化简集合M，N，对 a分类讨论，利用集合之间的关系即可得出 【解答】 解：集合M=x| x| 2，xR = 2，2 ，N=x| x 1| a， aR， 当 a 0 时， N=?，满足 N? M 当 a0 时，集合N= 1a，1+a N? M，解得 0a1 综上可得： a 的取值范围为a1 故选： B 3设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若 cosx=cosy，则 x=y，则下列 判断正确的是（） Apq 为真 Bpq 为假 C p
10、为真D q 为真 【考点】 命题的否定 【分析】 根据复合命题的真假关系进行判断即可 【解答】 解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p 是真命题， 当 x=y 时，满足cosx=cosy，但 x=y 不成立，即命题q 是假命题， 故 q 为真，其余都为假命题， 故选： D 4已知抛物线x 2=2py（p0）经过点（ 2， 2） ，则抛物线的焦点坐标为（ ） ABCD 【考点】 抛物线的简单性质 第 5 页（共 20 页） 【分析】 抛物线 x2=2py（p0）经过点（ 2， 2） ，代值计算即可求出 p，能求出焦点坐 标 【解答】 解：抛物线x2=2py（ p0）经过点（ 2，
11、 2） ， 4=4p， p=1， 抛物线的焦点坐标为（0，） ， 故选： C 5小明、小王、小张、小李4 名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站 排尾，则不同的排法共有（）种 A14 B18 C12 D16 【考点】 计数原理的应用 【分析】 小明不站排头， 小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计 数原理可得 【解答】 解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类， 第一类小明在排尾，其余3 人全排，故有A33=6 种， 第二类小明不在排尾，先排小明，有A21种方法，再排小张有A21种方法，剩下的2 人有 A22种排法，故有 222=8 种 根据分类计数原
12、理可得，共有6+8=14 种， 故选： A 6执行如图所示的程序框图，输出P的值为（） A 1 B1 C0 D2019 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的P，i 的值，当i=20192019 时，满足条件，终止循环，输出P 的值 【解答】 解：执行程序框图，有p=0， i=1，P=0+cos = 1， i=2，不满足条件i2019？，有 P=1+cos2 =0， i=3，不满足条件i2019，有 P=0+cos3 =1， ， ， i=2019，不满足条件i2019，有 P=1+cos2019 =0， 第 6 页（共 20 页） i=2019，满足条件i
13、2019，输出 P 的值为 0 故选： C 7设 x，y 满足约束条件，则 的最大值为（） A1024 B256 C8 D4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【解答】 解：由 z=2 2xy，令 u=2x y， 作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线y=2xu 由图象可知当直线y=2xu 过点 A 时，直线y=2xu 的截距最小，此时u 最大， 由，解得，即 A（5，2） 代入目标函数u=2x y， 得 u=252=8， 目标函数z=22x y，的最大值是 28=256 故选： B 8已知 O 为 ABC
14、内一点，且有，记 ABC ， BCO， ACO 的面积 分别为 S1，S2，S3，则 S1：S2： S3等于（ ） A3：2：1 B3：1： 2 C6：1：2 D6： 2：1 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 第 7 页（共 20 页） 【分析】 如图所示，延长OB 到点 E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形 OAFE 则 +2 =+=，由于 +2 +3 =，可得=3又=2，可 得=2于是=，得到 SABC=2SAOB同理可得：SABC=3SAOC， SABC=6SBOC即可得出 【解答】 解：如图所示， 延长 OB 到点 E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE 则 +2 =
15、+=， +2+3 = ， =3 又=2，可得=2 于是=， SABC=2SAOB 同理可得： SABC=3SAOC，SABC=6SBOC ABC ， BOC， ACO 的面积比 =6：1：2 故选： C 9若椭圆 和圆为椭圆的半焦距） ，有四个不同 的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（） AB CD 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 由题设知，由，得 2cb，再平方，4c2b2， ；由 ，得 b+2c2a，综上所述， 【解答】 解：椭圆和圆为椭圆的半焦距）的 中心都在原点， 且它们有四个交点， 圆的半径， 第 8 页（共 20 页） 由，得 2cb，再平方， 4c2 b 2， 在椭圆
16、中， a2=b2 +c 25c2， ； 由，得 b+2c2a， 再平方， b 2 +4c 2+4bc4a2， 3c 2+4bc3a2， 4bc3b2， 4c3b， 16c29b2， 16c29a29c2， 9a225c2， ， 综上所述， 故选 A 10已知函数 ，若存在x1 ， x 2，当 0x1 x 22 时， f（x1） =f（ x2） ，则 x1f（x2） f（x2）的取值范围为（） ABC D 【考点】 分段函数的应用 【分析】 先作出函数图象然后根据图象，根据f（x1）=f （x2） ，确定 x1的取值范围然后再 根据 x1f（x2） f（x2） ，转化为求在x1的取值范围即可 【
17、解答】 解：作出函数的图象： 存在 x1，x2，当 0x1 x22 时， f（x1）=f（x2） 0x1 ， x+在 0，）上的最小值为； 2x 1 在，2）的最小值为， 第 9 页（共 20 页） x1+，x1， x 1 f（x1）=x1+ ， f（x1）=f（x2） x1f（x2） f（x2）=x1f（x1） f（x1）2 =（ x1+）=x12 x1， 设 y=x12x1 =（ x1） 2 ， （ x 1 ） ， 则对应抛物线的对称轴为x=， 当 x=时， y=， 当 x=时， y=， 即 x 1f（x2） f（x2）的取值范围为 ，） 故选： B 二、填空题（每题5 分，满分25 分，
18、将答案填在答题纸上） 11若样本数据x1 ，x 2， ，x10的平均数为 8，则数据2x1 1，2x21， ，2x101 的平 均数为15 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 根据平均数与方差的公式即可求出数据2x11，2x21， ，2x101 的平均数 【解答】 解：样本数据x1，x2， ，x10的平均数是10， = （x 1 +x 2+ +x10）=8； 数据 2x11，2x21， ，2x101 的平均数是： = （2x11） +（2x21）+ +（2x101） =2 （ x 1 +x 2+ +x10） 1=281=15 第 10 页（共 20 页） 故答案为： 15 12在二项式的
19、展开式中，所有二项式系数之和为 128，则展开式中x 5 的系数 为35 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式求得x5的 系数 【解答】 解：由题意可得2n=128，n=7， =， 它的通项公式为Tr+1= ?x 214r，令 214r=5，求得 r=4， 故展开式中x 5 的系数为=35， 故答案为： 35 13已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 a， P为棱 AA1的中点，在面BB1D1D 上任取 一点 E，使得 EP+EA 最小，则最小值为a 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 由图形可知AC平面 BB1D1D，
20、且 A 到平面 BB1D1D 的距离与C 到平面 BB1D1D 的距离相等，故EA=EC ，所以 EC 就是 EP+EP 的最小值； 【解答】 解：连接 AC 交 BD 于 N，连接 EN， EC， 则 ACBD ， BB1平面 ABCD ， BB 1 AC， AC 平面 BB1D1D， AC EN， AEN CEN， EA=EC ， 连接 EC， 线段 EC 的长就是EP+EA 的最小值 在 RtEAC 中， AC=a，EA= a， EC= = a 故答案为：a 第 11 页（共 20 页） 14在平面直角坐标系中，以（0， 1）为圆心且与直线ax+y+1=0（aR） 相切的所有圆中，最大圆
21、面积与最小圆面积的差为2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 圆半径 r=，a=1时， rmin= =1，a=1 时， rmax=，由此 能求出最大圆面积与最小圆面积的差 【解答】 解：圆以（ 0， 1）为圆心且与直线ax+y+1=0（ aR）相切， 圆半径r=， a=1 时， rmin= =1，最小圆面积Smin= 12= ， a=1 时， rmax=，最大圆面积Smax=3 ， 最大圆面积与最小圆面积的差为：3 =2 故答案为： 2 15已知 a0，f（x）=a2lnxx2+ax，若不等式 ef（ x） 3e+2 对任意 x 1，e 恒成立， 则实数 a 的取值范围为e+1， 【考点】
22、 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 利用导数可求得f（ x）的单调区间，由f（1）=1+ae 可得 ae+1，从而可判断 f（x）在 1，e上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于3e+2 可得答案 【解答】 解： f （x）=2x+a=， x0，又 a0， x（ 0，a）时 f（x） 0，f（x）递增； x（ a，+）时， f（ x） 0，f（x）递减 又 f（1）=1+a e， ae+1， f（x）在 1，e 上是增函数， 最大值为f（e） =a2e2+ae3e+2， 第 12 页（共 20 页） 解得： a， 又 ae+1，而 e+1， a的取值集合是e+1， ， 故答案为：
23、 e+1， 三、解答题（本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 = （I）求角 A； （）若=（ 0， 1） ，=（cosB，2cos2） ，求 |+ | 的取值范围 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】（I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA； （II ）求出+的坐标，计算 |+| 2，根据 B 的范围解出 | +| 的范围 【解答】解： （I） =， ， 整理得 cosA= A= （II ） 2cos2 =1+cosC=1cos （ B+） =1cosB+sinB， = （co
24、sB， 1cosB+ sinB） =（cosB，cosB+sinB） ， （） 2=cos2 B+（cosB+sinB） 2= +sin2B=1 +cos（2B+） 0B，2B+ 1cos （2B+），（）2 |+ | 17为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况现从某班全体学生中，随机抽取 12 名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90， 86，86，87，88，98，72， 86， 87 根据学校体制标准，成绩不低于76 的为优良 （）从这12 名学生中任选3 人进行测试，求至少有1 人成绩是 “ 优良 ” 的概率； （）从抽取的12 人中随机选取3 人，记 表示测
25、试成绩 “ 优良 ” 的学生人数，求 的分布 列及期望 第 13 页（共 20 页） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型 随机变量及其分布列 【分析】（） 12 名学生中成绩是“ 优良 ” 的学生人数为9 人，至少有1人成绩是 “ 优良 ” 的对 立事件是抽到的两人的成绩都不是“ 优良 ” ，由此能求出至少有1 人成绩是 “ 优良 ” 的概率 （）由已知得 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列 和 E 【解答】 解： （）随机抽取12 名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90， 86， 86，87
26、，88， 98，72，86，87， 根据学校体制标准，成绩不低于76 的为优良， 12 名学生中成绩是“ 优良 ” 的学生人数为9 人， 从这 12 名学生中任选3 人进行测试，基本事件总数n=220， 至少有 1 人成绩是 “ 优良 ” 的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“ 优良 ” ， 至少有1 人成绩是 “ 优良 ” 的概率： p=1= （）由已知得 的可能取值为0，1，2， 3， P（ =0）=， P（ =1）=， P（ =2）=， P（ =3）=， 有的分布列为： 0 1 2 3 P E = 18如图所示，在三棱锥PABQ 中， PB平面 ABQ ，BA=BP=BQ ， D， C，E
27、，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点， AQ=2BD ，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH （）求证： AB GH； （）求异面直线DP 与 BQ 所成的角； （）求直线AQ 与平面 PDC 所成角的正弦值 第 14 页（共 20 页） 【考点】 直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角 【分析】（I）根据中位线及平行公理可得CDEF，于是 CD平面 EFQ，利用线面平行的 性质得出 CDGH，从而 GHAB ； （II ）由 AQ=2BD 可得 AB BQ，以 B 为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标， 计算，的夹角得出异面直线DP 与 BQ 所成的
28、角； （III ）求出和平面 PDC 的法向量，则直线AQ 与平面 PDC 所成角的正弦值为| cos | 【解答】 证明： （I） CD 是 ABQ 的中位线， EF 是 PAB 的中位线， CDAB ，EFAB ， CDEF，又 EF? 平面 EFQ，CD?平面 EFQ， CD平面 EFQ， 又 CD? 平面 PCD，平面 PCD 平面 EFQ=GH ， GHCD，又 CDAB ， GHAB （II ） D 是 AQ 的中点， AQ=2BD ， AB BQ PB平面 ABQ ， BA，BP， BQ 两两垂直 以 B 为原点以BA，BQ，BP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图： 设 BA=BP
29、=BQ=1 ，则 B（0，0，0） ，P（0， 0，1） ， D（，0） ，Q（0，1，0） =（，1） ，=（0，1，0） =，| =， | =1， cos= 异面直线DP 与 BQ 所成的角为arccos （III ）设 BA=BP=BQ=1 ，则 A（1， 0，0） ，Q（0，1，0） ，P（0，0，1） ， D（，0） ， C（0，0） =（ 1，1，0） ，=（，0， 0） ，=（0，1） 设平面 CDP 的一个法向量为=（x，y， z） ，则，=0， 第 15 页（共 20 页） ，令 z=1，得=（ 0，2，1） =2，| | = ，| | = ， cos = =， 直线 AQ
30、与平面 PDC 所成角的正弦值为 19已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，S n=2an4，数列 bn 满足 bn+1 b n=1，其 n 项和为 Tn， 且 T2+T6=32 （）求数列 an， bn 的通项公式； （）若不等式nlog2 （S n+4） bn+3n7 对任意的 n N*恒成立，求实数的取值范围 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推关系即可得出 （） Sn=24n4不等式nlog2（Sn+4） bn+3n7，化为： ，利用单 调性求出的最小值即可得出 【解答】 解： （I） Sn=2an4， n=1 时，
31、 a1=2a14，解得 a1=4；当 n2 时， an=SnSn1=2an4（ 2an14） ，化为： an=2an1 数列 an 是等比数列，首项为4，公比为2， an=42n 1=2n+1 数列 bn 满足 bn+1bn=1， 数列 bn 是等差数列，公差为 1 T2+T6=32， 2b1+1+6b1+1=32，解得 b1=2 b n=2+（n1）=n+1 （） Sn=22n+14 不等式nlog2 （S n+4） bn+3n7，化为： ， 第 16 页（共 20 页） =（n+1）+323=3， 当 n=2 时，取得最小值 3， 实数 的取值范围是 3 20已知椭圆C： + =1（ab0
32、）的左、右顶点分别为A1 ， A 2，且 | A1A2| =4，上 顶点为 B，若直线BA1与圆 M： （x+1） 2+y2= 相切 （）求椭圆C 的标准方程； （）直线l：x=2与 x 轴交于 D，P 是椭圆 C 上异于 A1、A2的动点，直线A1P、A2P 分 别交直线l 于 E、F 两点，求证：| DE| ?| DF| 为定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】（）由条件可得到A1（ 2，0） ，B（0，b） ，从而可以写出直线BA1的方程，这 样即可得出圆心（1，0）到该直线的距离为，从而可以求出b，这便可得出 椭圆 C 的标准方程为； （） 可设 P（x1 ，y 1） ，从而有 ，可
33、写出直线A1P的方程为 ， 从而可以求出该直线和直线x=的交点 E 的坐标，同理可得到点F 的坐标，这样即可得 出| DE| ，| DF| ，然后可求得 | DE| ?| DF| =3，即得出 | DE| ?| DF| 为定值 【解答】 解： （）由题意得A1（ 2，0） ，B（0，b） ； 直线 BA 1的方程为 ； 圆心（ 1，0）到直线BA 1的距离为 ； 解得 b2 =3； 椭圆 C 的标准方程为； （）证明：设P（x1， y1） ，则，； 第 17 页（共 20 页） 直线 A1P 的方程为 ； ； 同理得，； ； | DE| ?| DF| 为定值 21设函数f（x） =x 2x+t
34、，t0，g（x）=lnx （）若对任意的正实数x，恒有 g（x） x 2 成立，求实数的取值范围； （）对于确定的t，是否存在直线l 与函数 f（x） ，g（x）的图象都相切？若存在，讨论直 线 l 的条数，若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】（1）由题意可得lnxx20 恒成立，讨论当 0 时， h（x）=lnx x 2递增，无 最大值；当 0 时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想 解不等式即可得到所求范围； （2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数 F（x）=lnx+（ t+1） ，利用
35、导数求出函数F（x）的最小值，再分类讨论，得到方 程组的解得个数，继而得到切线的条数 【解答】 解： （1）对任意的正实数x，恒有 g（x） x2成立， 即为 lnxx 2 0 恒成立， 当 0 时， h（x）=lnx x 2递增，无最大值； 当 0 时， h （x）=2? x 21， 当 x时， h （x） 0，h（x）递减； 当 0x时， h （x） 0，h（x）递增 即有 x= 时， h（x）取得最大值，且为ln， 由ln0，可得 ， 第 18 页（共 20 页） 综上可得，实数的取值范围是 ，+） ； （2）记直线l 分别切 f（x） ，g（ x）的图象于点（x1 ，x 12 x 1+
36、t） ， （x2，lnx2） ， 由 f（x）=2x1，得 l 的方程为y（ x12 x 1+t）=（2x11） （ xx1） ，即 y=（ 2x11）x x12+t 由 g （x）=，得 l 的方程为ylnx2= （xx2） ，即 y= ?x+lnx2 1 所以（*） 消去 x1得 lnx2+（ t+1）=0 （* ） 令 F（ x）=ln x+（ t+1） ， 则 F （x）= =，x0 由 F（x）=0，解得 x=1 当 0x1 时， F（x） 0，当 x1 时， F（x） 0， 所以 F（x）在（ 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 从而 F（x）min=F（1）=t 当 t
37、=0 时，方程（ * ）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解， 即存在唯一一条满足题意的直线； 当 t0 时， F（1） 0，由于 F（et+1） ln（et+1）（ t+1）=0， 故方程（ * ）在（ 1，+）上存在唯一解； 令 k（x）=lnx+1（ x1） ，由于 k （ x）=0， 故 k （x）在（ 0， 1 上单调递减， 故当 0 x1 时， k （x） k （1）=0，即 lnx1， 从而 lnx+（ t+1）（） 2t 所以 F（）（+） 2 t= +0， 又 01， 故方程（ * ）在（ 0，1）上存在唯一解 所以当 t0 时，方程（ * ）有两个不同的正数解，方程组（* ）有两组解即存在两条满足 题意的直线 第 19 页（共 20 页） 综上，当t=0 时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1； 当 t0 时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为 2 第 20 页（共 20 页） 2019 年 9 月 9 日