2019年四川省高考数学适应性试卷(文科)含答案解析.pdf

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1、第 1 页（共 17 页） 2019 年四川省高考数学适应性试卷（文科） 一、选择题：本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1已知集合M，N 满足 MN= 1，2，3 ，M N= a，则（） Aa=1 Ba=2 Ca=3 DaMN 2若不等式x 2+ax+b0 的解集为（ 1，2） ，则 ab的值为（） A 1 B1 C 2 D2 3复数 z=，则 | z| =（） A1 B C2 D 4若 “ ? x 1，m （ m 1） ，| x| 10” 是假命题，则实数m 的取值范围是（） A （ 1，1）B （ 1，1 C 1， +

2、） D 0，1 5已知=（2，1） ， =（3， ） 若（ 2），则 的值为（） ABC3 D 1 或 3 6执行如图所示的程序框图，输出的结果是（） A 2 BCD3 7已知 、为锐角，若sin =，sin（ + ）=，则 cos2的值为（ ） A B C 或 D 8已知 P，Q，R 是圆 x2+y 22x8=0 上不同三点，它们到直线 l：x+y+7=0 的距离分别 为 x 1 ，x 2 ，x 3，若 x1 ，x 2 ，x 3成等差数列，则公差的最大值为（ ） A1 B2 C3 D4 9设 P 是左、 右顶点分别为A，B 的双曲线 x 2 y 2=1 上的点，若直线 PA 的倾斜角为， 则

3、直线 PB 的倾斜角是（） A B C D 10设 0a1，已知函数f（ x）=，若存在实数 b 使函数 g（x）=f （x） b 有两个零点，则a的取值范围是（） A B C （ 0，1）D 第 2 页（共 17 页） 二、填空题（每题5 分，满分25 分，将答案填在答题纸上） 11若抛物线y=ax 2 的焦点 F 的坐标为（ 0， 1） ，则实数a的值为 _ 12某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则主视图中角的正切值为_ 13若函数f（x） =x+在 1，3 上的最小值为 2，则正数k 的最大值与最小值之和为 _ 14当实数 a 在区间 1，6 随机取值时，函数f（x）=x 2+

4、ax+1 在区间（ 2，+）上是单调 减函数的概率是_ 15已知实数a，b 满足： 5a3b123a， e ba，则 的取值范围为 _ 三、解答题（本大题共6 小题，共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 16为了解学生寒假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果 如下表： 本数 人数 性别 0 1 2 3 4 5 男生0 1 4 3 2 2 女生0 0 1 3 3 1 （I）分别计算男生、女生阅读名著本数的平均值x1 ，x 2和方差 ，； （II ）从阅读 4 本名著的学生中选两名学生在全校交流读后心得，求选出的两名学生恰好是 一男一女的概率 17已知

5、数列 an的前 n 项和 Sn=k?3 nm，且 a 1=3，a3=27 （I）求证：数列an 是等比数列； （II ）若 anbn=log3an+1，求数列 bn 的前 n 项和 Tn 18在斜三棱柱ABC A1B1C1 中，底面 ABC 是正三角形， E 是 AB 中点，A1E平面 ABC （I）证明： BC1平面A1 EC； （II ）若A1AA1B，且 AB=2 ，求三棱锥 B1ACA1的体积 第 3 页（共 17 页） 19如图 ABCD 是平面四边形，ADB= BCD=90 ，AB=4 ，BD=2 （）若 BC=1 ，求 AC 的长； （）若 ACD=30 ，求 tanBDC 的值

6、 20已知圆锥曲线E： （I）求曲线E 的离心率及标准方程； （II ）设M（x0 ，y 0）是曲线 E 上的任意一点，过原点作M： （x x0） 2+（yy 0） 2=8 的 两条切线，分别交曲线E 于点P、Q 若直线 OP，OQ 的斜率存在分别为k1 ，k 2，求证： k1k2 = ； 试问 OP2+OQ 2 是否为定值若是求出这个定值，若不是请说明理由 21设函数f（x） =e x，g（x）=kx+1 （I）求函数y=f（x）（ x+1）的最小值； （II ）证明：当k1 时，存在x00，使对于任意x（ 0，x0）都有 f（x） g（x） ； （III ）若对于任意x（ 0，+） ， |

7、 f（x） g（x）| x 恒成立，求实数k 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2019 年四川省高考数学适应性试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1已知集合M，N 满足 MN= 1，2，3 ，M N= a，则（） Aa=1 Ba=2 Ca=3 DaMN 【考点】 交集及其运算；并集及其运算 【分析】 根据集合关系进行判断即可 【解答】 解： M N= 1，2，3，M N=a， a=1，或 a=2 或 a=3， 即 aM N， 故选： D 2若不等式x2+ax+b0 的解集

8、为（ 1，2） ，则 ab的值为（） A 1 B1 C 2 D2 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系求出a、b 的值， 再计算 ab 的值 【解答】 解：不等式x2+ax+b0 的解集为（1，2） ， 所以方程x2+ax+b=0 的实数根为 1 和 2， 所以，解得 a= 1，b= 2， 所以 ab=1（ 2）=2 故选： D 3复数 z=，则 | z| =（） A1 B C2 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算性质化简z，从而求出z 的模即可 【解答】 解： z= =i， 则| z| =1， 故选：

9、 A 4若 “ ? x 1，m （ m 1） ，| x| 10” 是假命题，则实数m 的取值范围是（） A （ 1，1）B （ 1，1 C 1， +） D 0，1 【考点】 特称命题 【分析】 由| x| 10，解得 x 1 或 x 1由 “ ? x 1，m （m 1） ， | x| 10， 可得 m1利用 “ ? x 1，m （m 1） ，| x| 10” 是假命题，即可得出 第 5 页（共 17 页） 【解答】 解：由 | x| 10，解得 x1 或 x 1 “ ? x 1，m （m 1） ，| x| 10， m1 “ ? x 1，m （m 1） ，| x| 10” 是假命题， 1m1 故

10、选： B 5已知=（2，1） ， =（3， ） 若（ 2），则 的值为（） A B C3 D 1 或 3 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 求出向量2，利用向量共线列出方程，求解即可 【解答】 解：=（2，1） ，=（3， ） 2=（ 1，2 ） （2）， 可得：3（2 ）= ， = 故选： A 6执行如图所示的程序框图，输出的结果是（） A 2 BC D3 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图，依次计算运行的结果，观察规律可得当a=，k=4 时，满足条件k 4，退出循环，输出a 的值为 【解答】 解：模拟执行程序，可得 a=，k=0 执行循环体， a=3，k=1 不满

11、足条件k100，执行循环体，a=2，k=2 不满足条件k100，执行循环体，a=，k=3 第 6 页（共 17 页） 不满足条件k100，执行循环体，a=，k=4 此时，满足条件k4，退出循环，输出a 的值为 故选： C 7已知 、为锐角，若sin =，sin（ + ）=，则 cos2的值为（） ABC或D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求得cos的值，由题意求得范围 + ，从 而可求 cos（ + ）的值，进而可求cos 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2的值 【解答】 解： 、都是锐角，且sin =， sin（ + ）=， cos =，cos（

12、+ ）=， sin（ + ）=sin cos +cos sin =（2cos +sin ）=， 2cos +sin=， cos =， ， sin（ + ）=， + ， cos（ + ）=， coscos sinsin=， （cos 2sin ）=， cos 2sin =， 解，得 cos =， cos2 =2cos2 1= 故选： A 8已知 P，Q，R 是圆 x2 +y 22x8=0 上不同三点，它们到直线 l：x+ y+7=0 的距离分别 为 x1，x2，x3，若 x1，x2，x3成等差数列，则公差的最大值为（） 第 7 页（共 17 页） A1 B2 C3 D4 【考点】 直线与圆的位置

13、关系 【分析】 求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，继而得出圆上的点到直线的距 离的最大值和最小值，则距离最值的差的一半为最大公差 【解答】 解：圆的圆心为（1，0） ，半径 r=3， 圆心到直线l 的距离 d=4，所以直线l 与圆相离 圆上的点到直线l 的距离的最小值为d r=1，最大值为d+r=7 当 x1=1，x3=7 时，等差数列的公差取得最大值 =3 故选 C 9设 P 是左、 右顶点分别为A，B 的双曲线 x 2 y 2=1 上的点，若直线 PA 的倾斜角为， 则直线 PB 的倾斜角是（） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 P（m，n） ，则 m2

14、 n 2=1，求得 A，B 的坐标，运用两点的直线的斜率公式，计 算可得 kPA?kPB=1，再由倾斜角与斜率的关系，即可得到所求 【解答】 解：设 P（m，n） ，则 m2 n 2=1， 由题意可得A（ 1，0） ，B（1，0） ， 即有 kPA?kPB= ?=1， 由直线 PA 的倾斜角为，可得 kPA=tan = ， 即有 kPB = ，可得直线PB 的倾斜角是 故选： C 10设 0a1，已知函数f（ x）=，若存在实数b 使函数 g（x）=f （x） b 有两个零点，则a的取值范围是（） A B C （ 0，1）D 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由 g（x）=f （x） b

15、 有两个零点可得f（ x）=b 有两个零点，即y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点，则利用a=时， 8a3=1，可求 a的范围 【解答】 解： g（x）=f（x） b 有两个零点 f（x）=b 有两个零点，即y=f（x）与 y=b 的图象有两个交点， 由于 y=cos x 在（ 0，a递减， y=8x 3 在（ a，1 递增， 第 8 页（共 17 页） a=时， 8a 3=1 存在实数b 使函数 g（ x）=f（x） b 有两个零点， 0a 故选： B 二、填空题（每题5 分，满分25 分，将答案填在答题纸上） 11若抛物线y=ax 2 的焦点 F 的坐标为（ 0， 1） ，则实数a的值

16、为 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值 【解答】 解：抛物线y=ax 2 的标准方程为x2= y， 抛物线y=ax2的焦点坐标为（0， 1） ， =1， a= 故答案为： 12某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则主视图中角的正切值为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为圆锥的一半可得母线长l=3，底面半径r=1，圆锥的 高 h=，利用直角三角形的边角关系即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为圆锥的一半 母线长l=3，底面半径r=1圆锥的高h=2 tan = 故答案为： 第 9

17、 页（共 17 页） 13若函数 f（x）=x+在 1，3 上的最小值为 2，则正数 k 的最大值与最小值之和为10 【考点】 基本不等式 【分析】 运用基本不等式可得f（x） 2，由等号成立的条件可得 1，3 ，继而求 出 k 的最大值与最小值 【解答】 解：由题意得：x0， f（x）=x+2， 函数 f（ x）=x+在 1， 3 上的最小值为2， 当 x=时，函数f（x）取得最小值2， 1， 3 ， k 的最小值为1，最大值为9 正数 k 的最大值与最小值之和为10 故答案为： 10 14当实数 a 在区间 1，6 随机取值时，函数f（x）=x 2+ax+1 在区间（ 2，+）上是单调 减

18、函数的概率是 【考点】 几何概型 【分析】 由题意， 本题属于几何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的区域长度以及满 足条件的a的范围对应的区域长度，利用几何概型概率公式可求 【解答】 解：函数f（x）=x2+ax+1 在区间（ 2，+）上是单调减函数， 2， a4， 1a6， 1a4，长度为3， 1a6，长度为5 函数 f（ x）=x 2+ax+1 在区间（ 2，+）上是单调减函数的概率是 故答案为： 15已知实数a，b 满足： 5a3b123a， e ba，则 的取值范围为 ， 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，则表示与原点的连线的斜率额取值范围 【解答】

19、 解： eba， blna 5a3b123a， 画出如图所示的可行域， 第 10 页（共 17 页） 由， 解得 a=，b=， 即 A（，） ， = 设 b=lna， b =， 当 b=1 时，此时斜线的斜率最大，即为=k=， 综上所述，的取值范围为， 故答案为： ， 三、解答题（本大题共6 小题，共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16为了解学生寒假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果 如下表： 本数 人数 性别 0 1 2 3 4 5 男生0 1 4 3 2 2 女生0 0 1 3 3 1 （I）分别计算男生、女生阅读名著本数的平均值x1，x2

20、和方差，； （II ）从阅读 4 本名著的学生中选两名学生在全校交流读后心得，求选出的两名学生恰好是 一男一女的概率 第 11 页（共 17 页） 【考点】 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生 的概率 【分析】 （）利用公式分别求出男生、女生阅读名著本数的平均数与方差即可；（）利用 列举法计算基本事件数，即可求出对应的概率值 【解答】 解： （）全班有12 个男生 8 个女生， 男生阅读名著本数的平均值x1=3， 女生阅读名著本数的平均值x2=3.5， ， ； （II ）阅读 4 本名著的学生共有5 人，其中两名男生，三名女生， 设两名男生分别为A1，A2

21、，三名女生分别为B1，B2，B3， 从这 5 人中任选两人的选法有： A1 A2 ，A 1 B1 ，A 1 B2 ，A 1 B3 ，A 2 B1， A2 B2，A2 B3，B1 B2，B1 B3，B2 B3共 10 种， 其中一男一女的选法有： A1 B1，A1 B2，A1 B3，A2 B1，A2 B2，A2 B3共 6 种， 所以从这5 人中选出的两人是一男一女的概率为 17已知数列 an的前 n 项和 Sn=k?3nm，且 a1=3，a3=27 （I）求证：数列an 是等比数列； （II ）若 anbn=log3an+1，求数列 bn 的前 n 项和 T n 【考点】 数列的求和；等比关系

22、的确定 【分析】（I）利用递推关系与等比数列的定义即可证明 （II ）利用 “ 错位相减法 ” 、等比数列的求和公式即可得出 【解答】 （I）证明：，S1=a1=3km=3，a3=S3S2=18k=27 ，解得 则当 n 2时， 又 a 1=3， ? nN *， 则为常数，故由等比数列的定义可知，数列 a n 是等比数列 （II ）解： anbn=log3an+1， 则， 第 12 页（共 17 页） ， 则， 即（nN * ） 18在斜三棱柱ABC A1B1C1 中，底面 ABC 是正三角形， E 是 AB 中点，A1E平面 ABC （I）证明： BC1平面A1 EC； （II ）若A1AA

23、1B，且 AB=2 ，求三棱锥 B1ACA1的体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】（）根据线面平行的判定定理进行证明即可 （）根据三棱锥的体积公式求出相应的底面积和高即可 【解答】 解： （I）证明：设AC1与 A1C 交于 F 点，连接EF， E，F 分别是线段A B，AC1的中点， EFBC1，又 EF? 平面 A1EC，BC 1?平面 A1EC 故 BC1平面 A1EC （II ）由已知易得BB1平面 ACA1 点 B 到平面 ACA 1的距离等于点 B1到平面 ACA 1的距离 则三棱锥 B1 ACA1的体积等于三棱锥BACA1的体积 而三棱锥 BAC

24、A 1的体积又等于三棱锥 A1ABC 的体积， 由已知易得正三角形ABC 的面积为， A 1E平面 ABC ，且易得 A1E=1， 三棱锥 A 1 A BC 的体积 故三棱锥 B1 ACA1的体积为 第 13 页（共 17 页） 19如图 ABCD 是平面四边形，ADB= BCD=90 ，AB=4 ，BD=2 （）若 BC=1 ，求 AC 的长； （）若 ACD=30 ，求 tanBDC 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】（I）设 ABD= ， CBD= 在 RtABD 中， cos =，可得 在 RtCBD 中， cos =，可得 在 ABC 中，利用余弦定理即可得出 （II ）设

25、 BDC= ，在 ACD 中，由正弦定理可得：=，化为 AC=cos 同理在 ABC 中，利用正弦定理可得：AC=cos（60 ） ，化简解出 即可得出 【解答】 解： （I）设 ABD= ， CBD= 在 RtABD 中， cos =， = 在 RtCBD 中， cos =， = + = 在 ABC 中， AC 2= =21 AC= （II ）设 BDC= ，在 ACD 中，=，化为 AC=cos 第 14 页（共 17 页） 在 ABC 中，=，化为： AC=cos（60 ） ， cos cos（ 60 ） ，化为： 3cos =2cos（ 60 ） ， 3cos =cos +sin ，

26、tan = 20已知圆锥曲线E： （I）求曲线E 的离心率及标准方程； （II ）设M（x0 ，y 0）是曲线 E 上的任意一点，过原点作M： （x x0） 2+（yy 0） 2=8 的 两条切线，分别交曲线E 于点P、Q 若直线 OP，OQ的斜率存在分别为k1，k2，求证： k1k2= ； 试问 OP2+OQ 2 是否为定值若是求出这个定值，若不是请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （I） 由椭圆定义可知， 曲线 E 是以和为焦点，长轴长为 的椭圆，即可得出 （II ） ） 若过原点与M 相切的直线斜率存在设为k，则切线方程为y=kx ，可得 ，整理得由题设可知k1 ，k 2是以

27、 上关于 k 的一元二次方程的两个实根，利用根与系数的关系即可得出 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 当直线 O P，OQ 的斜率存在时，由 易得， ，利用两点之间的距离、根与系数的关系即可得出当直线O P，OQ 的斜率 不存在时直接验证即可得出 【解答】 解： （I）由椭圆定义可知，曲线E 是以和为焦点，长轴 长为的椭圆， 设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a、b、c ，则， 第 15 页（共 17 页） 椭圆的离心率，E 的标准方程为 （II ） 证明：若过原点与M 相切的直线斜率存在设为 k， 则切线方程为y=kx ， 整理得 由题设可知k1，k2是以上关于k 的一元二次方

28、程的两个实根， ，即 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 当直线O P，OQ 的斜率存在时， 由 易得， 而= = = 当直线O P 或 OQ 的斜率不存在时，圆M 与 y 轴相切，且圆M 也与 x 轴相切P，Q 是椭 圆 E 的两个顶点，O P2+OQ2=a2 +b 2=36 综上所述： O P2+OQ2为定值 36 21设函数f（x） =ex，g（x）=kx+1 （I）求函数y=f（x）（ x+1）的最小值； （II ）证明：当k1 时，存在x00，使对于任意x（ 0，x0）都有 f（x） g（x） ； （III ）若对于任意x（ 0，+） ， | f（x） g（x）| x 恒成立，

29、求实数k 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出 函数的最小值即可； （）设h（x） =f（x） g（x） ，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论； （） 当 k1 时，求出h（x）的单调区间，得到函数的最小值，证出结论成立； 当 k1 时，问题等价于f（x） g（x） x，设 （x）=e x（ k+1）x1（x0） ， 根据函数的单调性证明即可 【解答】 解： （I）由已知y=e xx1， y=ex1， 设 y0 得 x0，设 y0 得 x0， 第 16 页（共 1

30、7 页） 函数 y=exx1 在（ ，0）上递减，在（ 0，+）上递增， 则当 x=0 时， y 有最小值为0 证明： （II）设 h（x）=f（x） g（x） ，即 h（x）=exkx1， h（x）=exk，设 h（x）=0，得 x=lnk （k1） ， k1，当 x（ 0，lnk）时， h（x） 0， 即 h（x）在（ 0，lnk）上单调递减， 而 h（0）=0，且 h（x）是 R 上的连续函数， h（x） 0 在（ 0，lnk）上恒成立， 即 f（x） g（x）在（ 0， lnk）上恒成立， 取 0 x0lnk，则对任意x（ 0，x0）都有 f（x） g（x） 解： （III ）由（ I

31、）知 e xx+1 即有 ex1 x， 当 x 0时有 lnxx1（仅当 x=1 时取 “ =” ） （*） 当 k1 时，设 h（x）=f（x） g（x） =ex（ kx +1） （x0） ， h（x）=exk 令 h（x） 0 得 x lnk，令 h（x） 0 得 0xlnk， h（x）在（ 0，lnk）上递减，在（lnk，+）上递增， h（x）min=h（ lnk）=k klnk 1， 由（ *）式知得 kklnk 10， 又 =k33klnk 1k33k（k1） 1 =k33k 2+3k1=（k1）30， 函数 y=h（x）在（ lnk， 3lnk）上有唯一零点设为xk， 此时 h（

32、xk）=0，显然 h（xk） xk， 即| f（x） g（x）| x 对任意 x（ 0，+）不能恒成立， 当 k1 时，对任意数x（ 0， +） ， f（x） g（x）=e x（ kx+1）=ex（ x+1）（ k1）x（ k1）x0， | f（x） g（x）| x 等价于 f（x） g（x） x， 即 ex（ k+1）x 10， 设 （x）=ex（ k+1）x1（ x0） ， 则 （x） =ex（ k+1） ， 若 k0，则 k+1 1， ex（ k+1） 0， 则 （x）在（ 0，+）上递增， 注意到 （0）=0， （x） （0） =0， 即| f（x） g（x）| x 对任意 x（ 0，+）恒成立， 若 0k1，令 （x） 0 得 xln（k+1） ， 令 （x） 0，得 0 xln（k+1） ， （x）在（ 0，ln（k+1） ）上递减，在（ln（k+1） ，+）上递增， 当 x（ 0，ln（ k+1） ）时， （x） （0） =0， 即| f（x） g（x）| x 对于任意x（ 0，ln（k+1） ）不成立， 则| f（x） g（x）| x 对任意 x（ 0，+）不能恒成立， 综合 可得，满足条件的k 的取值范围为（，0 第 17 页（共 17 页） 2019 年 9 月 8 日