2019年江苏省连云港市、徐州市高考数学三模试卷含答案解析.pdf

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1、2017 年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷 一、填空题（每题5 分，满分 70 分，江答案填在答题纸上） 1 已知集合 A= 1， 1， 2， B= 0， 1， 2， 7 ， 则集合 AB 中元素的个数为 2设 a，bR，=a+bi（i 为虚数单位），则 b 的值为 3在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 =1 的离心率是 4现有三张识字卡片，分别写有“ 中” 、“ 国” 、“ 梦” 这三个字将这三张卡片随 机排序，则能组成 “ 中国梦 ” 的概率是 5如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 6已知一组数据 3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 7已知实数 x，y 满足，则

2、的取值范围是 8若函数 f（x）=2sin（2x+ ） （0 ）的图象过点（ 0，） ，则函数 f（x） 在 0， 上的单调减区间是 9 在公比为 q且各项均为正数的等比数列 a n 中， Sn为an 的前 n项和 若 a1=， 且 S5=S2+2，则 q 的值为 10如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知 AB=AA1=3，点 P 在棱 CC1上， 则三棱锥 PABA1的体积为 11如图，已知正方形ABCD 的边长为 2，BC 平行于 x 轴，顶点 A，B 和 C 分 别在函数 y1=3logax， y2=2logax 和 y3=logax （a1） 的图象上，则实数 a的值为 12已知

3、对于任意的 x（， 1）（5，+） ，都有 x 22（a2）x+a0， 则实数 a的取值范围是 13在平面直角坐标系xOy 中，圆 C： （x+2） 2+（ym）2=3，若圆 C 存在以 G 为中点的弦 AB，且 AB=2GO，则实数 m 的取值范围是 14已知 ABC 三个内角 A，B，C 的对应边分别为 ，b，c，且 C=，c=2当 取得最大值时，的值为 二、解答题（本大题共6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 15 如图， 在ABC 中， 已知点 D 在边 AB 上， AD=3DB ， cosA=， cosACB=， BC=13 （1）求 cosB的值；

4、（2）求CD的长 16如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上（异于 点 P，C） ，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F （1）求证： ABEF； （2）若平面 PAD平面 ABCD，求证： AEEF 17如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C： + =1 的左、右顶点 分别为 A，B，过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点（点 P 在 x 轴上方） （1）若 QF=2FP，求直线 l 的方程； （2）设直线 AP，BQ 的斜率分别为 k1 ，k 2，是否存在常数 ，使得 k1=k2？若 存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 1

5、8某景区修建一栋复古建筑， 其窗户设计如图所示 圆 O 的圆心与矩形 ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交 （F， G 为其中两个交点）， 图中阴影部分为不透光区域， 其余部分为透光区域 已 知圆的半径为 1m 且，设 EOF= ，透光区域的面积为S （1）求 S 关于 的函数关系式，并求出定义域； （2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大 时，求边 AB 的长度 19已知两个无穷数列 an 和 bn的前 n 项和分别为 Sn ，T n ，a 1=1，S2=4，对任 意的 nN*，都有 3Sn+1=2Sn +S n+2

6、+a n （1）求数列 an 的通项公式； （2）若 bn为等差数列，对任意的nN*，都有 SnTn证明： anbn； （3）若 bn为等比数列， b1=a1，b2=a2，求满足 =ak（kN*）的 n 值 20已知函数 f（x）=+xlnx（m0） ，g（x）=lnx2 （1）当 m=1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）设函数 h（x）=f（x）xg（x），x0若函数y=h（h（x） ）的最 小值是，求 m 的值； （3）若函数f（x） ，g（x）的定义域都是 1，e ，对于函数f（x）的图象上的 任意一点 A，在函数 g（x）的图象上都存在一点B，使得 OAOB，其中 e 是 自然

7、对数的底数， O 为坐标原点，求m 的取值范围 【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题 区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 .A.选修 4-1：几何证明选讲 21如图，圆 O 的弦 AB，MN 交于点 C，且 A 为弧 MN 的中点，点 D 在弧 BM 上，若 ACN=3ADB ，求 ADB 的度数 B.选修 4-2：矩阵与变换 22已知矩阵 A=，若 A=，求矩阵 A 的特征值 C.选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，已知点A（2，） ，点 B 在直线 l：cos+sin =0 （0 2 ）上，

8、当线段 AB 最短时，求点 B 的极坐标 D.选修 4-5：不等式选讲 24已知 a，b，c 为正实数，且 a 3+b3+c3=a2b2c2，求证： a+b+c3 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选 修 4-4：坐标系与参数方程 25在平面直角坐标系xOy 中，点 F（1，0） ，直线 x=1 与动直线 y=n 的交点 为 M，线段 MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为 P （）求点 P 的轨迹 的方程； （）过动点 M 作曲线 的两条切线，切点分别为A，B，求证： AMB 的大 小为定值 选修 4-5：不等式选讲 26已知集合 U= 1，2，n

9、（nN *，n2） ，对于集合 U 的两个非空子集 A，B，若 AB=?，则称（ A，B）为集合 U 的一组 “ 互斥子集 ” 记集合 U 的所 有“ 互斥子集 ” 的组数为 f（n） （视（ A，B）与（ B，A）为同一组 “ 互斥子集 ” ） （1）写出 f（2） ，f（3） ，f（4）的值； （2）求 f（n） 2017 年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模 试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每题5 分，满分 70 分，江答案填在答题纸上） 1已知集合 A=1，1，2 ，B=0，1，2，7，则集合 AB 中元素的个数为 5 【考点】 1D：并集及其运算 【分析】 利用并集定义

10、直接求解 【解答】 解：集合 A= 1，1，2，B= 0，1，2，7 ， AB= 1，0，1，2，7 ， 集合 AB 中元素的个数为 5 故答案为： 5 2设 a，bR，=a+bi（i 为虚数单位），则 b 的值为 1 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、复数相等即可得出 【解答】 解： a，bR，=a+bi（i 为虚数单位）， a+bi= =i b=1 故答案为： 1 3在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 =1 的离心率是 【考点】 KC：双曲线的简单性质 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 2、b2 的值，由双曲线的几何性质可得 c 的值，进而由双曲线

11、的离心率公式计算可得答案 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为=1， 则 a2=4，b2=3， 则 c=， 则其离心率 e=； 故答案为： 4现有三张识字卡片，分别写有“ 中” 、“ 国” 、“ 梦” 这三个字将这三张卡片随 机排序，则能组成 “ 中国梦 ” 的概率是 【考点】 CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：n=6，能组成 “ 中国梦 ” 包含的基本事件个数m=1，由此能求出能组成 “ 中国梦 ” 的概率 【解答】 解：现有三张识字卡片，分别写有“ 中” 、“ 国” 、“ 梦” 这三个字 将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：n=

12、6， 能组成 “ 中国梦 ” 包含的基本事件个数m=1， 能组成 “ 中国梦 ” 的概率 p= 故答案为： 5如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为6 【考点】 EF：程序框图 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，即可得出 结论 【解答】 解：分析流程图所示的顺序知： k=2，2 214+10=0， 不满足条件 k 27k+100，执行循环体； k=3，3 221+10=2， 不满足条件 k 27k+100，执行循环体； k=4，4 228+10=2， 不满足条件 k27k+100，执行循环体； k=5，5 235+10=0， 不满足条件 k27k+100，执行循

13、环体； k=6，6 242+10=4， 满足条件 k27k+100，退出循环，输出k=6 故答案为： 6 6已知一组数据 3，6，9，8，4，则该组数据的方差是5.2 【考点】 BC：极差、方差与标准差 【分析】 利用定义求这组数据的平均数和方差即可 【解答】 解：数据 3，6，9，8，4的平均数为： =（3+6+9+8+4）=6， 方差为： s 2= （36） 2+（66）2+（96）2+（86）2+（46）2 = =5.2 故答案为： 5.2 7已知实数 x，y 满足，则的取值范围是， 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点 O（

14、0，0）连线的斜率求解 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图， 的几何意义为可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率， 联立方程组求得 A（3，1） ，B（3，2） ， 又， 的取值范围是 ， 故答案为： ， 8若函数 f（x）=2sin（2x+ ） （0 ）的图象过点（ 0，） ，则函数 f（x） 在 0， 上的单调减区间是， 【或（，）也正确】 【考点】 H2：正弦函数的图象 【分析】 根据函数 f（x）图象过点（ 0，）求出 的值，写出 f（x）解析式， 再根据正弦函数的图象与性质求出f（x）在 0， 上的单调减区间 【解答】 解：函数 f（x）=2sin（2x+ ） （0 ）的图象

15、过点（ 0，） ， f（0）=2sin =， sin =； 又0 ， =， f（x）=2sin（2x+） ； 令+2k 2x+2k ，kZ， +2k 2x+2k ，kZ， 解得+k x+k ，kZ； 令 k=0，得函数 f（x）在 0， 上的单调减区间是 ， 故答案为： ， 【或（，）也正确】 9 在公比为 q且各项均为正数的等比数列 a n 中， Sn为an 的前 n项和 若 a1=， 且 S5=S2+2，则 q 的值为 【考点】 89：等比数列的前 n 项和 【分析】 由 a1= ，且 S5=S2+2，q0可得 a3 +a 4 +a 5=（1+q+q 2）=2，代入 化简解出即可得出 【解

16、答】 解： a1= ，且 S5=S2+2，q0 a3+a4+a5=（1+q+q2）=2， q2+q1=0， 解得 q= 故答案为： 10如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知 AB=AA1=3，点 P 在棱 CC1上， 则三棱锥 PABA1的体积为 【考点】 LF：棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】点 P 到平面 ABA1的距离即为 ABC 的高， 由此能求出三棱锥PABA1 的体积 【解答】 解：在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=AA 1=3，点 P在棱 CC1上， 点 P 到平面 ABA1的距离即为 ABC 的高，即为 h=， =， 三棱锥 PABA1的体积为： V= = 故答案为

17、： 11如图，已知正方形ABCD 的边长为 2，BC 平行于 x 轴，顶点 A，B 和 C 分 别在函数 y1=3logax，y2=2logax 和 y3=logax（a1）的图象上，则实数a 的值为 【考点】 4N：对数函数的图象与性质 【分析】 设 B（x，2logax） ，利用 BC 平行于 x 轴得出 C（x2，2logax） ，利用 AB 垂直于 x 轴 得出 A（x，3logax） ，则正方形 ABCD 的边长从横纵两个角度表示 为 logax=x 2x=2，求出 x，再求 a 即可 【解答】解： 设B（x，2logax） ， BC平行于x轴， C（x，2logax） 即logax

18、=2logax， x=x 2， 正方形 ABCD 边长=| BC| =x 2x=2，解得 x=2 由已知， AB 垂直于 x 轴， A（x，3logax） ，正方形 ABCD 边长=| AB| =3logax 2logax=logax=2，即 loga2=2，a=， 故答案为： 12已知对于任意的 x（， 1）（5，+） ，都有 x 22（a2）x+a0， 则实数 a的取值范围是（1，5 【考点】 3W：二次函数的性质 【分析】 对进行讨论，利用二次函数的性质列不等式解出 【解答】 解： =4（a2）24a=4a 220a+16=4（a1） （a4） （1）若0，即 1a4 时，x22（a2）

19、x+a0在 R 上恒成立，符合题意； （2）若 =0，即 a=1或 a=4 时，方程 x 22（a2）x+a0 的解为 xa2， 显然当 a=1时，不符合题意，当a=4时，符合题意； （3）当 0，即 a1 或 a4 时，x 22（a2）x+a0 在（，1）（5， +）恒成立， ，解得 3a5， 又 a1 或 a4，4a5 综上， a的范围是（ 1，5 故答案为（ 1，5 13在平面直角坐标系xOy 中，圆 C： （x+2） 2+（ym）2=3，若圆 C 存在以 G 为中点的弦 AB，且 AB=2GO，则实数 m 的取值范围是? 【考点】 J9：直线与圆的位置关系 【分析】 求出G的轨迹方程，

20、得两圆公共弦，由题意，圆心（ 2，m）到直线 的距离 d= ，即可求出实数 m 的取值范围 【解答】 解：设 G（x，y） ，则 AB=2GO， 2=2， 化简可得 x 2 +y 2+2xmy+ m2+ =0， 两圆方程相减可得2xmy+m 2+ =0 由题意，圆心（ 2，m）到直线的距离 d=，无解， 故答案为 ? 14已知 ABC 三个内角 A，B，C 的对应边分别为 ，b，c，且 C=，c=2当 取得最大值时，的值为 2+ 【考点】 9V：向量在几何中的应用 【分析】 根据正弦定理用 A 表示出 b，代入=2bcosA，根据三角恒等变换 化简得出当取最大值时 A 的值，再计算 sinA，

21、sinB 得出答案 【解答】 解： C=，B=A， 由正弦定理得=， b= sin（A）=2cosA+ sinA， =bccosA=2bcosA=4cos 2A+ sin2A =2+2cos2A+sin2A =（sin2A+cos2A）+2 =sin（2A+）+2， A+B=，0A ， 当 2A+=即 A=时，取得最大值， 此时， B= sinA=sin=sin（ ）= =， sinB=sin（ ）= = = =2+ 故答案为 2+ 二、解答题（本大题共6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 15 如图， 在ABC 中， 已知点 D 在边 AB 上， AD=3DB

22、 ， cosA=， cosACB=， BC=13 （1）求 cosB的值； （2）求 CD 的长 【考点】 HT：三角形中的几何计算 【分析】 （1）在 ABC 中，求出 sinA= ，sinACB= 可得 cosB=cos（A+ACB）=sinAsinACBcosAcosB； （2）在 ABC 中，由正弦定理得， AB=sinACB 在BCD 中，由余弦定理得， CD= 【解答】 解： （1）在ABC 中，cosA=，A（0， ） ， 所以 sinA= 同理可得， sinACB= 所以 cosB=cos （A+ACB） =cos（A+ACB） =sinAsinACBcosAcosACB =；

23、 （2）在 ABC 中，由正弦定理得， AB=sinACB= 又 AD=3DB ，所以 DB= 在BCD 中，由余弦定理得， CD= =9 16如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上（异于 点 P，C） ，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F （1）求证： ABEF； （2）若平面 PAD平面 ABCD，求证： AEEF 【考点】LZ：平面与平面垂直的性质 【分析】 （1）推导出 ABCD，从而 AB平面 PDC，由此能证明 ABEF （2）推导出 ABAD，从而 AB平面 PAD，进而 ABAF，由 ABEF，能证 明 AFEF 【解答】 证明： （1

24、）因为 ABCD 是矩形，所以 ABCD 又因为 AB?平面 PDC，CD? 平面 PDC， 所以 AB平面 PDC 又因为 AB? 平面 ABEF，平面 ABEF平面 PDC=EF， 所以 ABEF （2）因为 ABCD是矩形，所以ABAD 又因为平面 PAD平面 ABCD ，平面 PAD平面 ABCD=AD ， AB? 平面 ABCD ，所以 AB平面 PAD 又 AF? 平面 PAD，所以 ABAF 又由（ 1）知 ABEF，所以 AFEF 17如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C： + =1 的左、右顶点 分别为 A，B，过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点

25、（点 P 在 x 轴上方） （1）若 QF=2FP，求直线 l 的方程； （2）设直线 AP，BQ 的斜率分别为 k1，k2，是否存在常数 ，使得 k1=k2？若 存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 KL：直线与椭圆的位置关系 【分析】 （1）由椭圆方程求出a，b，c，可得 F 的坐标，设 P（x1 ，y 1） ，Q（x2， y2） ，直线 l 的方程为 x=my+1，代入椭圆方程，求得P，Q 的纵坐标，再由向量 共线的坐标表示，可得m 的方程，解方程可得m，进而得到直线l 的方程； （2）运用韦达定理可得y1+y2，y1y2，my1y2，由 A（2，0） ，B（2，0） ，P（

26、x1， y1） ，Q（x2，y2） ，x1=my1+1，x2=my2+1， 运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数 的值，即可判断存在 【解答】 解： （1）因为 a 2=4，b2=3，所以 c= =1， 所以 F 的坐标为（ 1，0） ， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，直线 l 的方程为 x=my+1， 代入椭圆方程+=1，得（ 4+3m 2 ）y 2+6my9=0， 则 y1= ，y 2= 若 QF=2FP，即=2， 则+2?=0， 解得 m=， 故直线 l 的方程为x2y=0 （2）由（ 1）知， y1 +y 2 = ，y 1y2 = ， 所以 my1y2=（y1+y2）

27、 ， 由 A（2，0） ，B（2，0） ，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，x1=my1+1，x2=my2+1， 所以=?=， 故存在常数 = ，使得 k1=k2 18某景区修建一栋复古建筑， 其窗户设计如图所示 圆 O 的圆心与矩形 ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交 （F， G 为其中两个交点）， 图中阴影部分为不透光区域， 其余部分为透光区域 已 知圆的半径为 1m 且，设 EOF= ，透光区域的面积为S （1）求 S 关于 的函数关系式，并求出定义域； （2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大 时，求边

28、AB 的长度 【考点】 HN：在实际问题中建立三角函数模型 【分析】 （1）过点 O 作 OHFG 于 H，写出透光面积S 关于 的解析式 S，并 求出 的取值范围； （2）计算透光区域与矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单 调性， 求出比值最大时对应边AB 的长度 【解答】 解： （1）过点 O 作 OHFG 于 H， OFH=EOF= ； 又 OH=OFsin =sin ， FH=OFcos =cos， S=4SOFH+4S阴影 OEF=2sin cos+4=sin2 +2 ； ，sin ， ，） ； S关于 的函数关系式为 S=sin2 +2 ， ，） ； （2）由 S矩形

29、=AD?AB=22sin =4sin ， =+， 设f（）=+，） ， 则 f （ ）= sin + = = =； ，sin2 ， sin2 0， f （ ）0， f（ ）在 ，）上是单调减函数； 当 =时 f（ ）取得最大值为 +， 此时 AB=2sin=1 （m） ； S关于 的函数为 S=sin2 +2 ， ，） ；所求 AB 的长度为 1m 19已知两个无穷数列 an 和 bn的前 n 项和分别为 Sn ，T n ，a 1=1，S2=4，对任 意的 nN * ，都有 3Sn+1=2Sn+Sn+2+an （1）求数列 an 的通项公式； （2）若 bn为等差数列，对任意的nN *，都有

30、S nTn证明： anbn； （3）若 bn为等比数列， b1=a1，b2=a2，求满足 =ak（kN*）的 n 值 【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式 【分析】 （1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求； （2）方法一、设数列 bn的公差为 d，求出 Sn，Tn由恒成立思想可得 b11， 求出 anbn，判断符号即可得证； 方法二、运用反证法证明， 设bn的公差为 d，假设存在自然数 n02，使得 a b ，推理可得 d2，作差 TnSn，推出大于 0，即可得证； （3）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得Sn ，T n，化简，推出 小于 3，结合等差数列

31、的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值 【解答】 解： （1）由 3Sn+1=2Sn+Sn+2+an，得 2（Sn+1Sn）=Sn+2Sn+1+an， 即 2an+1=an+2+an，所以 an+2an+1=an+1an 由 a1=1，S2=4，可知 a2 =3 所以数列 an 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列 故an 的通项公式为 an=1+2（n1）=2n1，nN* （2）证法一：设数列 bn的公差为 d， 则 Tn=nb1+ n（n1）d， 由（1）知， Sn=n（1+2n1）=n2 因为 SnTn，所以 n2nb1+n（n1）d， 即（2d）n+d2b10 恒成立， 所以，即

32、， 又由 S1T1，得 b11， 所以 anbn=2n1b1（n1）d=（2d）n+d1b12d+d1b 1=1b1 0 所以anbn，得证 证法二：设 bn的公差为 d，假设存在自然数 n02，使得 a b ， 则 a1+2（n01）b1+（n01）d，即 a 1 b 1（n01） （d2） ， 因为 a1b1，所以 d2 所以 TnSn=nb1+ n（n1）dn2 =（ d1）n2+（b1d）n， 因为d10，所以存在 NN*，当 nN时，TnSn0 恒成立 这与“ 对任意的 nN*，都有 SnTn” 矛盾！ 所以 anbn，得证 （3）由（1）知，Sn=n 2因为 bn 为等比数列， 且

33、 b1=1，b2 =3， 所以 bn是以 1 为首项， 3为公比的等比数列 所以 bn=3n 1 ，T n= （3 n1） 则=3， 因为 nN* ，所以 6n22n+20，所以 3 而 ak=2k1，所以=1，即 3n 1n2+n1=0（*） 当 n=1，2 时， （*）式成立； 当 n2 时，设 f（n）=3n 1 n 2+n1， 则 f（n+1）f（n）=3n（n+1） 2+n（3n1 n 2+n1）=2（3n1n）0， 所以 0=f（2）f（3）f（n）， 故满足条件的 n 的值为 1 和 2 20已知函数 f（x）=+xlnx（m0） ，g（x）=lnx2 （1）当 m=1 时，求函

34、数 f（x）的单调区间； （2）设函数 h（x）=f（x）xg（x），x0若函数y=h（h（x） ）的最 小值是，求 m 的值； （3）若函数f（x） ，g（x）的定义域都是 1，e ，对于函数f（x）的图象上的 任意一点 A，在函数 g（x）的图象上都存在一点B，使得 OAOB，其中 e 是 自然对数的底数， O 为坐标原点，求m 的取值范围 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调 性 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即 可； （2）求出 h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出 h（x）的最小

35、值，从而求出m的值即可； （3）根据 OA 和 OB 的关系，问题转化为 x 2lnxmx2 （elnx）在 1，e 上恒成立，设 p（x）=x2lnx，根据函数的单调性求出 mp（1）=，设 q （x）=x 2 （elnx） ，根据函数的单调性求出mq（1） ，从而求出 m 的范围即可 【解答】 解： （1）当 m=1 时，f（x）=+xlnx，f （x）=+lnx+1， 因为 f （x）在（ 0，+）上单调增，且 f （1）=0， 所以当 x1 时，f （x）0；当 0x1 时，f （x）0， 所以函数 f（x）的单调增区间是（ 1，+） （2）h（x）=+2x，则 h （x）=，令 h

36、（x）=0，得 x=， 当 0x时，h （x）0，函数 h（x）在（ 0，）上单调减； 当 x时，h （x）0，函数 h（x）在（，+）上单调增 所以 h（x）min=h（）=2m， 当（2m1），即 m时，函数 y=h（h（x） ）的最小值 h（2m）= +2（21）1 =， 即 17m26+9=0，解得 =1 或=（舍） ，所以 m=1； 当 0 （2 1），即m时， 函数 y=h（h（x） ）的最小值 h（）=（21）=，解得=（舍） ， 综上所述， m 的值为 1 （3）由题意知， KOA= +lnx，KOB= ， 考虑函数 y=，因为 y=在 1，e 上恒成立， 所以函数 y= 在1

37、，e 上单调增，故 KOB 2， ， 所以 KOA ，e ，即+lnxe 在 1，e 上恒成立， 即 x 2lnxmx2（elnx）在 1，e 上恒成立， 设 p（x）=x2lnx，则 p （x）=2lnx0 在 1，e 上恒成立， 所以 p（x）在 1，e 上单调减，所以 mp（1）=， 设 q（x）=x2（elnx） ， 则 q （x）=x（2e12lnx）x（2e12lne）0 在 1，e 上恒成立， 所以 q（x）在 1，e 上单调增，所以 mq（1）=e， 综上所述， m 的取值范围为 ，e 【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题 区域内作答，若多做

38、，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 .A.选修 4-1：几何证明选讲 21如图，圆 O 的弦 AB，MN 交于点 C，且 A 为弧 MN 的中点，点 D 在弧 BM 上，若 ACN=3ADB ，求 ADB 的度数 【考点】 NB：弦切角 【分析】 连结 AN，DN利用圆周角定理，结合 ACN=3ADB，求ADB 的 度数 【解答】 解：连结 AN，DN 因为 A 为弧 MN 的中点，所以 ANM= ADN 而NAB=NDB， 所以 ANM +NAB= ADN +NDB， 即BCN=ADB 又因为 ACN=3ADB ， 所以 ACN+BCN=3ADB +ADB=1

39、80 ， 故ADB=45 B.选修 4-2：矩阵与变换 22已知矩阵 A=，若 A=，求矩阵 A 的特征值 【考点】 OV：特征值与特征向量的计算 【分析】 利用矩阵的乘法，求出a，d，利用矩阵 A 的特征多项式为0，求出矩 阵 A 的特征值 【解答】 解：因为 A=， 所以，解得 a=2，d=1 所以矩阵 A 的特征多项式为f（ ）=（ 2） （ 1）6=（ 4） （ +1） ， 令 f（ ）=0，解得矩阵 A 的特征值为 =4 或1 C.选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，已知点A（2，） ，点 B 在直线 l：cos+sin =0（0 2 ）上，当线段 AB 最短时，求点

40、B 的极坐标 【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程 【分析】点 A （2，） 的直角坐标为（0， 2） ， 直线 l 的直角坐标方程为x+y=0 AB 最短时，点 B 为直线 xy+2=0 与直线 l 的交点，求出交点，进而得出 【解答】 解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 则点 A（2，）的直角坐标为（ 0，2） ，直线 l 的直角坐标方程为x+y=0 AB 最短时，点 B 为直线 xy+2=0 与直线 l 的交点， 联立，得，所以点 B 的直角坐标为（ 1，1） 所以点 B 的极坐标为 D.选修 4-5：不等式选讲 24已知 a，b，c 为正实数，且 a 3 +b

41、3 +c 3=a2b2c2，求证： a+b+c3 【考点】 R6：不等式的证明 【分析】 利用基本不等式的性质进行证明 【解答】 证明： a 3 +b 3 +c 3=a2b2c2 ，a 3 +b 3 +c 33abc， a 2b2c23abc，abc3， a+b+c33 当且仅当 a=b=c=时，取 “=” 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选 修 4-4：坐标系与参数方程 25在平面直角坐标系xOy 中，点 F（1，0） ，直线 x=1 与动直线 y=n 的交点 为 M，线段 MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为 P （）求点 P 的轨迹 的方程；

42、 （）过动点 M 作曲线 的两条切线，切点分别为A，B，求证： AMB 的大 小为定值 【考点】 K8：抛物线的简单性质 【分析】 （）连接 PF，运用中垂线的性质可得 | MP| =| PF| ，再由抛物线的定义 可得点 P 的轨迹方程； （）求得 M（1，n） ，过点 M 的切线斜率存在，设为k，则切线方程为： y n=k（x+1） ，联立抛物线的方程，消去y，运用相切的条件：判别式为0，再由 韦达定理，结合两直线垂直的条件：斜率之积为1，即可得证 【解答】 解： （）据题意， MP直线 x=1， | MP| 为点 P 到直线 x=1 的距离， 连接 PF，P 为线段 MF 的中垂线与直线

43、 y=n 的交点， | MP| =| PF| ， P点的轨迹是抛物线，焦点为F（1，0） ，准线为直线 x=1， 曲线 的方程为 y2=4x； （）证明：据题意， M（1，n） ，过点 M 的切线斜率存在，设为 k， 则切线方程为： yn=k（x+1） ， 联立抛物线方程 可得 ky 24y+4k+4n=0， 由直线和抛物线相切， 可得 =164k（4k+4n）=0， 即 k 2+kn1=0， （*） =n2+40，方程（ *）存在两个不等实根，设为 k1 ，k 2， k 1=kAM ，k 2=kBM， 由方程（*）可知，kAM?kBM=k1?k2=1， 切线 AM BM， AMB=90 ，结

44、论得证 选修 4-5：不等式选讲 26已知集合 U= 1，2，n （nN *，n2） ，对于集合 U 的两个非空子集 A，B，若 AB=?，则称（ A，B）为集合 U 的一组 “ 互斥子集 ” 记集合 U 的所 有“ 互斥子集 ” 的组数为 f（n） （视（ A，B）与（ B，A）为同一组 “ 互斥子集 ” ） （1）写出 f（2） ，f（3） ，f（4）的值； （2）求 f（n） 【考点】1H：交、并、补集的混合运算 【分析】 （1）直接由 “ 互斥子集 ” 的概念求得 f（2） ，f（3） ，f（4）的值； （2）由题意，任意一个元素只能在集合A，B，C=CU（AB）之一中，求出这 n 个元素在集合 A，B，C 中的个数，再求出A、B 分别为空集的种数，则f（n） 可求 【解答】 解： （1）f（2）=1，f（3）=6，f（4）=25； （2）任意一个元素只能在集合A，B，C=CU（AB）之一中， 则这 n 个元素在集合 A，B，C 中，共有 3n种； 其中 A 为空集的种数为2 n，B 为空集的种数为 2n， A，B 均为非空子集的种数为3 n 2 n+1+1， 又（A，B）与（ B，A）为一组 “ 互斥子集 ” ， f（n）= 2017年 5 月 24日