《上海市黄浦区2018-2019学年高二上期末数学试卷含答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市黄浦区2018-2019学年高二上期末数学试卷含答案解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页（共 17 页） 2018-2019 学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内 直接填写结果，每题填对得4 分，否则一律得零分. 1椭圆 x2 +4y 2=100 的长轴长为 _ 2已知直线l 的一个方向向量的坐标是 ，则直线l 的倾斜角为 _ 3已知二元一次方程组的增广矩阵是 ，则此方程组的解是 _ 4行列式 中 3 的代数余子式的值为_ 5已知 ABC 的三个顶点分别为A（1，2） ，B（4，1） ，C（3，6） ，则 AC 边上的中线BM 所在直线的方程为_ 6已知直线l1的方程为 3xy+1=
2、0，直线 l2的方程为2x+y3=0，则两直线l1 与 l 2的夹角 是_ 7用数学归纳法证明“ 1+ + n（nN *，n1）” 时，由 n=k（k 1）不等式 成立，推证n=k+1 时，左边应增加的项数是_ 8执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是 6，则输出 S的值是 _ 9若圆 C 的方程为x2+y22ax1=0，且 A（ 1，2） ， B（ 2，1）两点中的一点在圆 C 的 内部，另一点在圆C 的外部，则a 的取值范围是 _ 10若，且存在，则实数a 的取值范围是_ 第 2 页（共 17 页） 11已知直线l1过点 P（1， 4）且与 x 轴交于 A 点，直线 l2过点 Q（3，
3、1）且与 y 轴交 于 B 点，若 l1 l 2，且 ，则点 M 的轨迹方程为 _ 12如图所示，ABC 是边长为4 的等边三角形，点P是以点 C 为圆心、 3 为半径的圆上 的任意一点，则的取值范围是 _ 二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4 分，否则一律得零分. 13点（ a，b）关于直线x+y=1 的对称点的坐标是（） A （1b，1a）B （1a， 1b） C （ a， b）D （ b， a） 14若位于x 轴上方、且到点 A（ 2，0）和 B（2，0）的距离的平方和为18 的点的轨迹
4、 为曲线 C，点 P 的坐标为（ a，b） ，则 “” 是“ 点 P 在曲线 C 上” 的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D既非充分又非必要条件 15在圆 x2+y22x6y=15 内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和 BD，则 | AC| ?| BD | 的值为（） A B C D 16 对数列 an ， bn， 若对任意的正整数 n， 都有 an+1 ， b n+1 ? an ， b n 且 ， 则称 a1，b1 ， a2，b2 ， 为区间套下列选项中，可以构成区间套的数列是（） A B C D 三、解答题（本大题满分56 分）本大题共有5 题，解
5、答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域内写出必要的步骤. 17已知两直线l1： x+（m+1）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0 （1）当 m 为何值时，直线l1 与 l 2垂直； （2）当 m 为何值时，直线l1与 l2平行 18在直角 ABC 中， C 是直角，顶点A，B 的坐标分别为（ 4，4） ， （2， 4） ，圆 E 是 ABC 的外接圆 （1）求圆 E 的方程； （2）求过点M（4，10）且与圆E 相切的直线的方程 19已知是不平行的两个向量， k 是实数，且 （1）用表示； 第 3 页（共 17 页） （2）若，记，求 f（k）及其最小值 20在数列 an中，且对任意
6、nN *，都有 （1）计算 a2，a3，a4，由此推测 an的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）若，求无穷数列 bn的各项之和与最大项 21已知点P 是曲线上的动点，延长PO（O 是坐标原点）到Q，使得 | OQ| =2| OP| ，点 Q 的轨迹为曲线C2 （1）求曲线C2的方程； （2）若点 F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求 的取值范围； （3）过点 P 且不垂直x 轴的直线l 与曲线 C2交于 M，N 两点，求 QMN 面积的最大值 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年上海市黄浦区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分48 分）本大
7、题共有12 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内 直接填写结果，每题填对得4 分，否则一律得零分. 1椭圆 x 2 +4y 2=100 的长轴长为 20 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用椭圆的简单性质求解 【解答】 解：椭圆x2 +4y 2=100 化为标准形式，得： =1， a=10，b=5， 椭圆 x 2+4y2=100 的长轴长为 2a=20 故答案为： 20 2已知直线l 的一个方向向量的坐标是 ，则直线l 的倾斜角为 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 设直线 l 的倾斜角为 ， 0， ） ，则 tan =，即可得出 【解答】 解：设直线l 的倾斜角为 ， 0， ） ，则 ta
8、n =， = 故答案为： 3已知二元一次方程组的增广矩阵是 ，则此方程组的解是 【考点】 系数矩阵的逆矩阵解方程组 【分析】 先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得 【解答】 解：由题意，方程组 解之得 故答案为 第 5 页（共 17 页） 4行列式中 3 的代数余子式的值为5 【考点】 三阶矩阵 【分析】 写出行列式的3 的代数余子式，再计算，即可得到结论 【解答】 解：由题意，行列式中 3 的代数余子式为=（ 3+2）= 5 故答案为： 5 5已知 ABC 的三个顶点分别为A（1，2） ，B（4，1） ，C（3，6） ，则 AC 边上的中线 BM 所在直线的方程为3x2y
9、+2=0 【考点】 待定系数法求直线方程 【分析】 由 AC 的中点 M（2，4） ，利用两点式方程能求出AC 边上的中线所在的直线方程 【解答】 解： AC 的中点 M（2，4） ， AC 边上的中线BM 所在的直线方程为： =， 整理，得3x2y+2=0， 故答案为： 3x2y+2=0 6已知直线l1的方程为 3xy+1=0，直线 l2的方程为2x+y3=0，则两直线l1与 l2的夹角 是 【考点】 两直线的夹角与到角问题 【分析】 设直线 l1 与 l 2的夹角的大小为 ，求出直线的斜率，则由题意可得 tan =| | =1，由此求得的值 【解答】 解：设直线l1与 l2的夹角的大小为
10、，则 0， ） ， 由题意可得直线l1的斜率为 3，直线 l2的斜率为 2， tan =| =1，解得 =， 故答案为： 7用数学归纳法证明“ 1+ + n（nN *，n1）” 时，由 n=k（k 1）不等式 成立，推证n=k+1 时，左边应增加的项数是2k 【考点】 数学归纳法 第 6 页（共 17 页） 【分析】 观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1 时增加的项数即可 【解答】 解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为； 由 n=k，末项为到 n=k+1，末项为，应增加的项数为2k 故答案为2k 8执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是 6，则输出 S的值是
11、 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图及已知中p 输入 6，可得：进入循环的条件为n6，即 n=1， 2， ，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S 值 【解答】 解：当 n=1 时， S=0+21= ； 当 n=2 时， S= +2 2= ； 当 n=3 时， S=+23= ； 当 n=4 时， S=+2 4= ； 当 n=5 时， S= +2 5= ； 当 n=6 时，退出循环， 第 7 页（共 17 页） 则输出的 S 为： 故答案为： 9若圆 C 的方程为x 2 +y 22ax1=0，且 A（ 1，2） ， B（ 2，1）两点中的一点在圆 C 的 内部，另一点在圆C 的外
12、部，则a 的取值范围是（ ， 2）（ 1，+） 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】 根据 A，B 与圆的位置关系讨论列出不等式解出 a 【解答】 解： （1）若 A 在圆内部， B 在圆外部，则，解得 a 2 （2）若 B 在圆内部， A 在圆外部，则，解得 a1 综上， a 的取值范围是（， 2）（ 1，+） 故答案为（ ， 2）（ 1，+） 10若，且存在， 则实数 a 的取值范围是1a 2 【考点】 极限及其运算 【分析】 根据得出 11，再根据存在得 出 11，由此求出实数a 的取值范围 【解答】 解：， =， 第 8 页（共 17 页） 11， 解得 4a2； 又存在， 11， 解
13、得 1a3； 综上，实数a 的取值范围是1a 2 故答案为： 1a2 11已知直线l1过点 P（1， 4）且与 x 轴交于 A 点，直线 l2过点 Q（3， 1）且与 y 轴交 于 B 点，若 l1l2，且，则点 M 的轨迹方程为9x+6y+1=0 【考点】 轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义 【分析】 先设 M（ x，y） ，可讨论l1是否存在斜率： （1）不存在斜率时，可求出A（1，0） ， B（0， 1） ，从而由可以求出x=，即点 M（） ， （ 2）存在斜 率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1 ，l 2的方程，从而可以求出 ，这样根据便可用 k 分别表示出x，y，这样消去
14、k 便可得出关于x，y 的方程， 并验证点是否满足该方程，从而便得出点M 的 轨迹方程 【解答】 解：设 M（x，y） ， （1）若 l1不存在斜率，则： l1垂直 x 轴， l2垂直 y 轴； A（1，0） ，B（0， 1） ； 由得， （x 1，y）=2（ x， 1y） ； ； ； 即； （2）若 l1斜率为 k，l2斜率为 ，则： l1：y4=k（x1） ，令 y=0，x=； ； 第 9 页（共 17 页） l2：，令 x=0，y=； ； 由得，； ； 消去 k 并整理得： 9x+6y+1=0； 点满足方程9x+6y+1=0； 综（ 1） （2）知，点M 的轨迹方程为9x+6y+1=0
15、故答案为： 9x+6y+1=0 12如图所示，ABC 是边长为 4 的等边三角形，点P是以点 C 为圆心、 3 为半径的圆上 的任意一点，则的取值范围是 20，4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 首先建立平面直角坐标系：以C 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，这样便可建 立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B 点的坐标，并根据题意设P（ 3cos ，3sin ） ，从 而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根 据 1cos 1 便可求出的取值范围 【解答】 解：如图，以C 为坐标原点，以平行于AB 的直线为 x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则： ；
16、 点 P 是以点 C 为圆心、 3 为半径的圆上的任意一点； 设 P（3cos ， 3sin ） ； ； ； 1cos 1； 20 12cos 84； 的取值范围为 20，4 故答案为： 20，4 第 10 页（共 17 页） 二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4 分，否则一律得零分. 13点（ a，b）关于直线x+y=1 的对称点的坐标是（） A （1b，1a）B （1a， 1b） C （ a， b）D （ b， a） 【考点】 与直线关于点、直线对称的直线方程 【分析】 设出对称点的坐标列
17、出方程组求解即可 【解答】 解：点（ a，b）关于直线x+y=1 对称的点为（x， y） ， 则，解得：， 故选： A 14若位于x 轴上方、且到点A（ 2，0）和 B（2，0）的距离的平方和为18 的点的轨迹 为曲线 C，点 P 的坐标为（ a，b） ，则 “” 是“ 点 P 在曲线 C 上” 的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D既非充分又非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由题意可得：（a+2）2 +b 2+（a2）2 +b 2=18，化为 a2 +b 2 =5， （b 0） 即可判断出结 论 【解答】 解：由题意可得： （a+2）
18、 2 +b 2+（a2）2 +b 2=18，化为 a2 +b 2=5， （ b0） “ 点 P在曲线 C 上” ? “” ，反之也成立 “” 是“ 点 P在曲线 C 上” 的充要条件 故选： C 15在圆 x2+y22x6y=15 内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和 BD，则 | AC| ?| BD | 的值为（） A B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 第 11 页（共 17 页） 【分析】 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E 最长的弦为直径AC，最短的弦为过E 与直径 AC 垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求 出 ME 的长度，
19、根据垂径定理得到E 为 BD 的中点，在直角三角形BME 中，根据勾股定理 求出 BE，则 BD=2BE ，即可求出AC 与 BD 的乘积 【解答】 解：把圆的方程化为标准方程得：（x1） 2+（y3）2=25， 则圆心坐标为（1，3） ，半径为5， 根据题意画出图象，如图所示： 由图象可知： 过点 E 最长的弦为直径AC，最短的弦为过E 与直径 AC 垂直的弦， 则 AC=10 ， MB=5 ，ME=， 所以 BD=2BE=2=4 ， 所以 | AC | ?| BD | =10?4=40 故选： C 16 对数列 an ， bn， 若对任意的正整数 n， 都有 an+1， bn+1 ? an
20、， bn 且， 则称 a1，b1 ， a2，b2 ， 为区间套下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A B CD 【考点】 数列的极限 【分析】 对于 A，运用数列的极限，即可判断；对于B，运用 n=1 时，两区间的关系，即可 判断； 对于 C，运用 n=1 时，判断两区间的关系，即可得到结论； 对于 D，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论 【解答】 解：对于 A， （b n a n ）= =21=10，故不构成区 间套； 对于 B，当 n=1 时， a1，b1 =， ， a2，b2 =， ，显然不满足 a2，b2 ? a1，b1 ， 故不构成区间套； 对于 C，当
21、n=1 时， a1，b1 =， ， a2，b2 =， ，显然不满足 a2，b2 ? a1，b1 ， 故不构成区间套 第 12 页（共 17 页） 对于 D，由 1（）n1（） n+11+（ ）n +1 1+（ ）n，满足 an+1 ，b n+1 ? an ，b n ； 又 （b n a n） = 1（）n 1+（） n =11=0，故构成区间套 故选： D 三、解答题（本大题满分56 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域内写出必要的步骤. 17已知两直线l1： x+（m+1）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0 （1）当 m 为何值时，直线l1与 l2垂直； （
22、2）当 m 为何值时，直线l1 与 l 2平行 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是A1A2+B1B2=0，可得 1m+（ 1+m）?2=0，由此 求得解得m 的值 （2）由两直线平行的充要条件是=，由此求得解得m 的值 【解答】 解： （1）两条直线l1：x+（1+m）y+m2=0，l2：mx+2y+8=0，由两直线垂直的 充要条件可得A1A2 +B 1B2=0， 即 1m+（1+m）?2=0，解得 m= （2）由两直线平行的充要条件可得=， 即=， 解得： m=1 18在直角 ABC 中， C 是直角，顶点A，
23、B 的坐标分别为（4，4） ， （2， 4） ，圆 E 是 ABC 的外接圆 （1）求圆 E 的方程； （2）求过点M（4，10）且与圆E 相切的直线的方程 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论 （2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： （1）在直角 ABC 中， C 是直角，顶点A，B 的坐标分别为（4，4） ， （2， 4） ， AB 是直径，则AB 的中点（ 1，0） ，即圆心E（ 1，0） ， 半径 R=| BE| =5， 则圆 E 的方程为（ x+1） 2 +y 2=25 （2）（ 4+1） 2
24、+102=12525， 第 13 页（共 17 页） 点 M 在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4（ 1）=5此时满足直 线和圆相切， 当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y10=k（x4） ， 即 kxy+104k=0 ， 则圆心到直线的距离d=5， 即| 2k| =，平方得44k+k2=1+k 2， 即 4k=3， 则 k=，此时切线方程为3x4y+28=0， 综上求过点M（4，10）且与圆E 相切的直线的方程为3x4y+28=0 或 x=4 19已知是不平行的两个向量， k 是实数，且 （1）用表示； （2）若，记，求 f（k）及其最小值 【考点】 平
25、面向量数量积的运算 【分析】（1）=k+=k（）+， （2）利用（ 1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值 【解答】 解： （1）=k+=k（）+=（ 1k） +k （2）=2= 1| 2=（ 1k） +k 2=4（1k）2 +k 22k（1 k）=7k 210k+4=7（k ） 2+ f（k）= f（k）的最小值为= 20在数列 an中， ，且对任意nN *，都有 （1）计算 a2，a3，a4，由此推测 an的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）若，求无穷数列 b n的各项之和与最大项 【考点】 数学归纳法；数列的函数特性 第 14 页（共 17 页） 【分析】 （1）由，且对任意 n
26、N *， 都有 可得 a2= =， a3= ， a 4=由此推测 an的通项公式， an=再利用数学归纳法证明即 可得出 （2），可得 bn= +9 ，利用等比数 列的前 n 项和公式可得：无穷数列bn 的各项之和Tn 【解答】 解： （1），且对任意nN*，都有 a 2= = ，a 3= = ，a 4= = 由此推测 an的通项公式，an= 下面利用数学归纳法证明： 当 n=1 时， a1=成立； 假设当 n=kN *时， a k= 则 n=k+1 时， ak+1= =， 因此当 n=k+1 时也成立， 综上： ? n N*，an= 成立 （2）， bn=（ 2） n =+9， 无穷数列 b
27、n的各项之和Tn= + =+ 第 15 页（共 17 页） 当 n=2k（kN *）时， T n=+ ，T n单调递减，因此当 n=2 时，取 得最大值 T2= 当 n=2k1（kN * ）时，Tn= ，T n单调递增， 且 Tn 0 综上可得： Tn的最大项为T2= 21已知点P 是曲线 上的动点，延长PO（O 是坐标原点）到Q，使得 | OQ| =2| OP| ，点 Q 的轨迹为曲线C2 （1）求曲线C2的方程； （2）若点 F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围； （3）过点 P 且不垂直x 轴的直线l 与曲线 C2交于 M，N 两点，求 QMN 面积的最大值 【考点】 双曲
28、线的简单性质 【分析】 （1） 设 Q （x， y） ， P （x ， y ） ， 由=2， 可得 （ x， y） =2 （x， y ） ， 可得， 代入曲线 C1的方程可得曲线C2的方程 （2）设 P（2cos ，sin ） ，则 Q（ 4cos ，2sin ） 利用数量积运算性质可得： =6，利用二次函数与三角函数的值域即可得出 （3）设 P（2cos ，sin ） ，则 Q（ 4cos ，2sin ） 设经过点P 的直线方程为：ysin =k （x2cos ） ，M（x1 ， y 1） ， N（x2 ， y 2） 与椭圆方程联立化为： （1+4k 2 ） x 28k （sin 2kcos
29、 ） x+4（sin 2kcos ）216=0，可得 | MN| = ，点 Q 到直 线l的距离 d可得SQMN= d|MN| ，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得 出 【解答】 解： （1）设 Q（x， y） ，P（x， y ） ，=2，（ x，y）=2（x ，y ） ，可得 ，代入+（y） 2=1，可得 +=1， 曲线 C2的方程为+=1 （2）F1（，0） ， F2（， 0） 设 P（2cos ，sin ） ，则 Q（ 4cos ， 2sin ） 第 16 页（共 17 页） 则=（2cos +，sin ）?（ 4cos ， 2sin ）=（2cos +） （ 4cos ）+s
30、in （ 2sin ）=6 ， cos 1，1 ， （3）设 P（2cos ，sin ） ，则 Q（ 4cos ， 2sin ） 设经过点 P 的直线方程为：ysin =k（x2cos ） ，M（ x1 ， y 1） ，N（x2 ， y 2） 联立， 化为： （ 1+4k2 ） x 28k （sin 2kcos ） x+4 （sin 2kcos ） 216=0， x 1 +x 2= ，x 1x2=， | MN | = =， 点 Q 到直线 l 的距离 d= = SQMN= d| MN | =6| sin 2kcos | 令| sin 2kcos | =| sin | ， 则 SQMN=6| sin | ，令 | sin | =t 1，1 ， S QMN=6t =f（t） ，令 | sin | =t 1，1 ， 则 f 2（t）=36t4+144t2=36（t22）2+144， 当且仅当t2=1 时， f（t）取得最大值6 第 17 页（共 17 页） 2019 年 10 月 1 日