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1、1 实际应用问题 【专题点拨】 实际应用问题是以贴近现实生活中的话题为背景，运用方程与不等式、函数与不等式等 来解决的一类实际生活中的问题，这类问题往往文字信息量大，背景复杂，要求学生具有较 强的阅读、收集信息及建立模型的能力，从而解决问题 【解题策略】 实际应用问题解决的关键是理解题意，从中找出等量关系、不等关系或函数关系，建立 数学模型来解决，当信息量较大，可以借助图表等方式帮助理解 【典例解析】 类型一：方程或不等式的应用题 例题 1： （2016青海西宁 10 分）青海新闻网讯：2016 年 2 月 21 日，西宁市首条绿 道免费公共自行车租赁系统正式启用市政府今年投资了112 万元，
2、建成 40 个公共自行车站 点、配置720 辆公共自行车今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车预 计 2018 年将投资340.5 万元，新建120 个公共自行车站点、配置2205 辆公共自行车 （1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？ （2）请你求出2016 年到 2018 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率 【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用 【 解析】 （1）分别利用投资了112 万元，建成40 个公共自行车站点、配置720 辆公共 自行车以及投资340.5 万元， 新建 120 个公共自行车站点、配置 2205 辆公共自行车进而得出 等
3、式求出答案； （2）利用 2016 年配置 720 辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018 年配置公 共自行车数量，得出等式求出答案 【解答】解： （1）设每个站点造价x 万元，自行车单价为y 万元根据题意可得： 解得： 答：每个站点造价为1 万元，自行车单价为0.1 万元 （2）设 2016 年到 2018 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a 根据题意可得：720（1+a） 2=2205 2 解此方程：（ 1+a） 2= ， 即：，（不符合题意，舍去） 答： 2016 年到 2018 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75% 变式训练1： （2016山东省济宁市3
4、 分）某地2014 年为做好“精准扶贫”，授入资金1280 万元 用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016 年在 2014 年的基础上增加投入资金1600 万 元 （1）从 2014 年到 2016 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在 2016 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500 万元用于优先搬 迁租房奖励，规定前1000 户（含第1000 户）每户每天奖励8 元， 1000 户以后每户每天补助 5 元，按租房400 天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 类型二：方程与函数的应用题 例题 2： （2016 广西南宁）在南宁市地铁
5、1 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工 程需要 150 天， 甲队单独施工30 天后增加乙队， 两队又共同工作了15 天， 共完成总工程的 （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是， 甲队的工作效率是乙队的m倍（1m 2），若两队合作40 天完成剩余的工程，请写出a 关 于 m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？ 【考点】一次函数的应用；分式方程的应用 【 解析】（ 1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，根据题意得方程即可得到结论； （2） 根据题意得 （+） 40=， 即可得到a=60m+60 ，
6、 根据一次函数的性质得到=， 即可得到结论 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天， 根据题意得（ 30+15）+15=， 解得： x=450， 经检验 x=450 是方程的根， 3 答：乙队单独完成这项工程需要450 天； （2）根据题意得（+）40=， a=60m+60 ， 60 0， a随 m的增大增大， 当 m=1时，最大， =， =7.5 倍， 答：乙队的最大工作效率是原来的7.5 倍 【点评】此题考查了一次函数的实际应用分式方程的应用，解题的关键是理解题意， 能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用 变式训练2： （2016浙江省绍兴市8 分）根据卫生防疫
7、部门要求，游泳池必须定期换水，清洗 某 游泳池周五早上8：00 打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳 池需要暂停排水，游泳池的水在11： 30 全部排完游泳池内的水量Q（m 2）和开始排水后的 时间 t （h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？ （2）当 2t 3.5 时，求 Q关于 t 的函数表达式 类型三：方程、不等式和函数的综合应用题 例题 3： （2016湖北随州9分）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某 种商品在第x 天（1x90，且x 为整数）的售价与销售量的相关信息如下已知商品的进
8、4 价为 30 元/ 件，设该商品的售价为y（单位：元 /件） ，每天的销售量为p（单位：件），每天 的销售利润为w（单位：元） 时间 x（天）1 30 60 90 每天销售量p （件） 198 140 80 20 （1）求出 w与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润； （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600 元？请直接写出结 果 【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用 【 解析】 （1）当 0x50 时，设商品的售价y 与时间 x 的函数关系式为y=kx+b，由点 的坐标利用待定系数法即可求出此时y 关于 x 的
9、函数关系式，根据图形可得出当50x90 时， y=90再结合给定表格，设每天的销售量p 与时间 x 的函数关系式为p=mx+n ，套入数据 利用待定系数法即可求出p 关于 x 的函数关系式， 根据销售利润=单件利润销售数量即可得 出 w关于 x 的函数关系式； （2）根据 w关于 x 的函数关系式，分段考虑其最值问题当0x50 时，结合二次函 数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50x90 时，根据一次函数的性质即可求出 在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论； （3）令 w5600，可得出关于x 的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得 出 x 的取值范围，由此即可得
10、出结论 【解答】 解： （1）当 0x50 时，设商品的售价y 与时间 x 的函数关系式为y=kx+b（k、 b 为常数且k0） ， y=kx+b 经过点（ 0，40） 、 （50，90） ， 5 ，解得：， 售价 y 与时间 x 的函数关系式为y=x+40； 当 50x90 时， y=90 售价 y 与时间 x 的函数关系式为y= 由书记可知每天的销售量p 与时间 x 成一次函数关系， 设每天的销售量p 与时间 x 的函数关系式为p=mx+n（m 、 n 为常数，且m 0） ， p=mx+n过点（ 60，80） 、 （30，140） ， ，解得：， p= 2x+200（0x90，且x 为整数
11、）， 当 0x50 时， w=（y30）?p=（ x+4030） （ 2x+200）=2x 2+180x+2000； 当 50x90 时， w=（9030） （ 2x+200）=120x+12000 综上所示，每天的销售利润w与时间 x 的函数关系式是 w= （2）当 0x50 时， w= 2x 2+180x+2000=2（ x45）2+6050， a= 20 且 0x50， 当 x=45 时， w取最大值，最大值为6050 元 当 50x90 时， w=120x+12000， k= 120 0，w随 x 增大而减小， 当 x=50 时， w取最大值，最大值为6000 元 6050 6000，
12、 当 x=45 时， w最大，最大值为6050 元 即销售第45 天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050 元 （3）当 0x50 时，令 w=2x 2+180x+2000 5600，即 2x 2+180x36000， 解得： 30x50， 50 30+1=21（天） ； 当 50x90 时，令 w= 120x+120005 600，即 120x+64000， 6 解得： 50x53， x为整数， 50x53， 53 50=3（天） 综上可知： 21+3=24（天） ， 故该商品在销售过程中，共有24 天每天的销售利润不低于5600 元 变式训练3： （2016湖北武汉 10 分）某公
13、司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年 产销x件已知产销两种产品的有关信息如下表： 产 品 每件售价 （万元） 每件成本 （万元） 每年其他费用 （万元） 每年最大产销量 （件） 甲6 a20 200 乙20 10 400.05x 2 80 其中a为常数，且3a5 （1） 若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的 函数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由 类型四：一次函数与反比例函数的综合应用题 例题 4： （2016青海西宁2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例
14、函数y=的 图象交于A ， B两点，且与x 轴交于点C，点 A的坐标为（ 2， 1） （1）求 m及 k 的值； （2）求点 C的坐标，并结合图象写出不等式组0x+m 的解集 7 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【 解析】 （1）把点 A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=，分别求得m及 k 的 值； （2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x 的值，从而得出点C坐标，根据图象即可 得出不等式组0x+m 的解集 【解答】解： （1）由题意可得：点A （2，1）在函数y=x+m的图象上， 2+m=1即 m= 1， A（ 2，1）在反比例函数的图象上， ， k=2； （2）一次函数解析式为y=x 1，令 y=0，得 x=1， 点 C的坐标是（ 1，0） ， 由图象可知不等式组0x+m 的解集为1x2 变式训练4： （2016重庆市B卷 10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函 数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x 轴交于点 C，与 y 轴交于点D，点 B的坐标 是（ m ， 4），连接AO ，AO=5 ，sin AOC= （1）求反比例函数的解析式； （2）连接 OB ，求 AOB的面积