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1、1 数学思想 数学思想是连接基础知识与解题能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱 题海的有效之路. 中考常用的数学思想有：整体思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中 考复习备考阶段，要注意领会例题中所体现的数学思想，培养用数学思想解题的意识 数形结合思想 例（2015盘锦）图 1 是二次函数y=ax 2+bx+c（a 0）图象的一部分，对称轴是直 线 x=-2 关于下列结论：ab 0； b 2-4ac 0； 9a-3b+c 0； b-4a=0；方程 ax 2+bx=0 的两个根为 x1=0，x2=-4 ，其中正确的结论有（） A B C D 解析： 由图象，可得
2、抛物线开口向下，a0，对称轴为x=- 2 b a =-2， b=4a0，所 以 ab0，错误，正确； 抛物线与x 轴有两个交点，交于-4 ，0 两点，所以b 2-4ac 0，正确； 当 x=-3 时， y0，即 9a-3b+c 0，所以错误. 故正确的有，选B 跟踪训练： 1. （2015宁德）有理数a， b 在数轴上对应点的位置如图2所示，下列各式正确的是（） Aa+b 0 Ba-b 0 Ca?b 0 D a b 0 2. （2015绵阳）图3 是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机 的平面坐标分别为A （-2 ，1）和 B（-2 ，-3） ，那么第一架轰炸机C的平面坐标是 _. 3
3、. （2015黔西南州）如图，点A是反比例函数y= k x 图象上的一个动点，过点A作 AB x 轴， AC y 轴， 垂足分别为B，C，矩形 ABOC 的面积为4，则 k=_. 整体思想 例 1 （2015金华）已知a+b=3,a-b=5 ，则代数式a 2-b2 的值是 . 分析： 将 a 2-b2 分解因式，视a+b 与 a-b 为一个整体，代入计算即可 解： a 2-b2=(a+b)(a-b)=3 5=15. 例 2（2015葫芦岛）如图1，在五边形ABCDE 中， A+B+E=300， DP ，CP分 别平分 EDC ， BCD ，则 P的度数是（） A60 B65 C55 D50 解
4、析： 根据五边形的内角和等于540， A+B+ E=300，可得EDC + BCD=540 -300=240，再根据角平分线的定义可得PDC+ PCD= 1 2 （ EDC +BCD ）=120，所以 P=180-120=60故选A 跟踪训练： 图 1 图 1 图 2 图 3 图 4 2 1. （2015黔东南州）设x1， x2是一元二次方程x 2-2x-3=0 的两根，则 x1 2+x 2 2=（ ） A6 B8 C10 D12 2. （2015牡丹江）抛物线y=ax 2+bx+2 经过点（ -2，3） ，则 3b-6a=_. 3.（2015遂宁） 如图 2，在 ABC中，AC=4 cm，线
5、段 AB的垂直平分线交AC于点 N，BCN的周长是7 cm， 则 BC的长为（） A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm 4. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购买铅笔3 支，练习本7 本，圆珠笔 1 支共需 3.15 元；若购买铅笔4 支，练习本8 本，圆珠笔2 支共需 4.2 元，那么购 买铅笔、练习本、圆珠笔各1 件共需（） A1.2 元 B1.05 元 C 0.95 元 D0.9 元 5. （2015乌鲁木齐）先化简，再求值：（ 2 2 2 a aa + 2 1 44 a aa ） 4a a ，其中 a 满足 a 2-4a-1=0. 方程思想 例 1（2015鄂尔多斯）为
6、响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车. 如图 1，它的 大灯 A射出的光线AB ，AC与地面 MN 的夹角分别为22和 31，AT MN ，垂足为 T，大灯照亮地面的宽度 BC的长为 5 6 m （1）求 BT的长（不考虑其他因素）； （2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s ，从发现危险到电动车完全停下所行驶的 距离叫做最小安全距离. 某人以20km/h 的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是 14 9 m ，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并 说明理由 （参考数据：sin22 3
7、8 ，tan22 2 5 ，sin31 13 25 ，tan31 3 5 ） 分析： （1）在 Rt ACT中，根据正切的定义，设AT=3x， CT=5x，在 RtABT中利用三角函数表示出BT ， 即可列方程求解；（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进 行比较即可 解： （1）由图知 ACT=31 ， ABT=22 . 在 RtACT中， ACT=31 ， tan31 = AT CT 3 5 ， 所以设 AT=3x，CT=5x. 在 RtABT中， ABT=22 ， tan22 = AT BT AT BCCT 2 5 ，即 3 5 5 6 x x 2
8、5 ，解得 x 1 3 . 所以 CT 5 1 3 5 3 ，BT BC+CT 5 6 + 5 3 5 2 m. （ 2） 20km/h 50 9 m/s ， 50 9 0.2 10 9 m ， 10 9 + 14 9 8 3 5 2 ，所以该车大灯的设计不能满足最小安全 距离的要求 图 2 图 1 3 例 2（2015?绵阳）如图2，在等边 ABC内有一点D，AD=5 ，BD=6 ，CD=4 ，将 ABD绕 A点逆时针旋转，使 AB与 AC重合，点D旋转至点E ，则 CDE的正切值为 _. 解析： ABC为等边三角形， AB=AC ， BAC=60 . 根据旋转的性质，可得AD=AE=5 ，
9、 DAE= BAC=60 ， CE=BD=6. ADE为等边三角形 . DE=AD=5. 如图 3，过点 E作 EH CD于 H，设 DH=x ，则 CH=4-x. 在 RtDHE中， EH 2=52 -x 2，在 RtCHE中， EH2=62- （4-x ）2. 5 2-x2=62- （4-x ）2，解得 x=5 8 . EH= 2 25 5 - 8 = 15 7 8 . 在 RtDHE中， tan HDE=EH DH =37. 跟踪训练： 1. （2015遵义）如果单项式-xy b+1 与 1 2 x a-2 y 3 是同类项，那么（a-b ） 2015=_. 2.（2015莱芜） 一个多
10、边形除一个内角外其余内角的和为1510，则这个多边形对角线的条数是（） A27 B35 C 44 D54 3. 如图 4，矩形 ABCD中， AB=8 ，AD=6 ，将矩形ABCD绕点 B 按顺时针方向旋转后得到矩形A BC D . 若 边 AB交线段 CD于 H，且 BH=DH ，则 DH的值是（） A 7 4 B8- 2 3 C 25 4 D6 2 4.（2015 柳州）如图 5，矩形 EFGH 内接 于 ABC ，且边FG 落在BC 上. 若 BC=3， AD=2 ，EF=2 3 EH ，那么 EH的长为 _. 转化思想 例 1（2015?资阳）如图1，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计
11、）的高为12 cm，底面周长为10 cm， 在容器内壁离容器底部3 cm 的点 B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点 A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（） 图 2 图 4 图 5 图 3 4 A13 cm B 2 61cm C 61 cm D2 34 cm 分析： 将容器侧面展开，作点A关于 EF的对称点A，根据两点之间线段最短，可知A B的长度即为所 求 解： 将容器侧面展开，作点A关于 EF的对称点 A，连接A B，则 A B即为最短距离 . AB= 22 A DBD= 22 512=13（cm） 故选 A 例 2（2015?沈阳）如图3，四边形 AB
12、CD 是 O的内接四边形，ABC=2 D，连接 OA ，OB ， OC ，AC ，OB与 AC相交于点 E （1）求 OCA 的度数； （2）若 COB=3 AOB ，OC=23，求图中阴影部分面积（结果保留和根号） . 分析： （1）由内接四边形的性质得ABC+ D=180，结合 ABC=2 D，可得 D=60， AOC=2 D=120，于是 OCA的度数易得；（2） 首先根据 COB=3 AOB可得 AOB=30 ， 从而 COB 为直角，然后利用S阴影=S扇形 OBC-S OEC求解 解： （1）四边形ABCD 是 O的内接四边形， ABC+ D=180. ABC=2 D， D+2D=1
13、80，解得 D=60. AOC=2 D=120. OA=OC ， OAC= OCA=30 . （2） COB=3 AOB ， AOC= AOB+3 AOB=120 ，解得 AOB=30 . COB= AOC-AOB=90 . 在 RtOCE 中， OC=2 3，OE=OC ?tan OCE=23?tan30 =2. S OEC= 1 2 OE ?OC= 1 2 223=23，S扇形 OBC= 2 90(23) 360 =3. S阴影=S扇形 OBC-SOEC=3-2 3 评注 ：在求不规则的阴影部分的面积时常转化为几个规则几何图形的面积和或差. 跟踪训练： 1. （2015?安顺）如图4，在
14、?ABCD中， AD=2 ，AB=4 ， A=30，以点A 为圆心， AD的长为半径画弧交AB 于点 E，连接 CE ，则阴影部分的面积是_（结果保留 ） 2. （2015?金华）图5，图 6 为同一长方体房间的示意图，图7 为该长方体的表面展开图. 图 1 图 2 图 3 图 4 5 （1）蜘蛛在顶点A 处 . 苍蝇在顶点B处时，试在图5 中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线； 苍蝇在 顶点 C处时，图6 中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线AGC和 往墙面 BB CC爬行的最近路线AHC ，试通过计算判断哪条路线更近. （2）在图 7 中，半径为10 dm
15、 的 M与 DC相切，圆心M到边 C C的距离为15 dm，蜘蛛 P在线段 AB 上，苍蝇Q在 M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线. 若 PQ与 M相切，试求PQ的长度的范围. 函数思想 例 1（2015?黔南州）为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米 / 时） 是车流密度x（辆 / 千米）的函数，当桥上的车流密度达到220 辆/ 千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 千米 / 时；当车流密度为20 辆 / 千米时，车流速度为80 千米 / 时研究表明：当20x220 时，车流速度 v 是车流密度x 的一次函数 （1）求彩虹桥上车流密度为100 辆/ 千米时的车流速
16、度； （2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40 千米 / 时且小于60 千米 / 时，应控制彩虹桥上的车 流密度在什么范围内？ （3）当车流量（辆 / 时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度车流密度当 20x220 时，求彩虹桥上车流量y 的最大值 . 解析：（ 1）设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v=kx+b. 由题意，得 2080 2200 kb kb ， ， 解得 2 5 88. k b ， 所以当 20 x220 时， v=- 2 5 x+88. 当 x=100 时， v=- 2 5 100+88=48（千米 / 时） . （2）由题意，得
17、2 8840 5 2 8860 5 x x ， ， 解得 70x120. 所以应控制彩虹桥上的车流密度在70x120 范围内 . （3）当 20x220 时， y=vx=（- 2 5 x+88） x=- 2 5 （ x-110 ） 2+4840. 所以当 x=110 时， y 最大，为4840. 所以当车流密度是110 辆/ 千米，车流量y 取得最大值，为每小时4840 辆 例 2（2015丽水）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每 次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为 6 x（米），与桌面的高度为y
18、（米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据： t （秒）0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 x（米）0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 y（米）0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 （1）当 t 为何值时，乒乓球达到最大高度？ （2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？ （3）乒乓球落在桌面上弹起后，y 与 x 满足 y=a（x-3) 2+k. 用含 a 的代数式表示k； 如图 1，球网高度为0.14 米，球桌长（ 1.4 2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直 线扣杀到点A，求 a 的值 .
19、分析： （1）由表格中数据可直接得出. （2）判断出 y 是 x 的二次函数，设顶点式，求出y 关于 x 的解析式， y=0 时的 x 值即为所求 . （3）由（ 2）可得乒乓球落在桌面时的坐标，代入y=a(x-3) 2+k 即可得结果 . 由题意，易得扣杀路线在直线y= 10 1 x 上，将 y= 10 1 x 代入 y=a(x-3) 2+k，得 20ax2-(120a+2)x+175a=0 ， 由于球弹起后，恰好有唯一的击球点，所以方程根的判别式等于0，求出此时 的 a，符合题意的即为所求. 解：如图 2，以点 A为原点， 桌面中线为x 轴，乒乓球水平运动方向为正方向， 建立平面直角坐标系
20、. （1）由表格中数据，可得当t=0.4秒时，乒乓球达到最大高度. （2）由表格中数据，可判断y 是 x 的二次函数，且顶点为（1， 0.45 ） ，所以 可设 y=a(x-1) 2+0.45. 将（ 0，0.25 ）代入，得0.25=a(0-1) 2 +0.45 ， a=-0.2. 所以二次函数的解析式为y=-0.2(x-1) 2+0.45. 当 y=0 时， -0.2(x-1) 2+0.45=0 ，解得 x 1=0.25 ，x2=-0.5 （舍去） . 所以乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5 米. （3）由（ 2）得乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5 ， 0）. 将（ 2.5 ，0
21、）代入 y=a(x-3) 2+k，得 0=a(2.5-3)2+k，化简，得 k=- 4 1 a. 图 1 图 2 7 由题意，可知扣杀路线在直线y= 10 1 x 上，由得y=a(x-3) 2- 4 1 a. 令 a(x-3) 2- 4 1 a= 10 1 x，整理，得20ax 2 -(120a+2)+175a=0. 当?=(120a+2) 2 -4 20a175a=0 时，符合题意，解得 12 635635 , 1010 aa. 当 635 10 a时，求得 35 2 x，不合题意，舍去； 当 635 10 a时，求得 35 2 x，符合题意 . 所以当 635 10 a时，可以将球沿直线扣
22、杀到点A. 跟踪训练： 1. （2015自贡）小刚以400米 / 分的速度匀速骑车5 分钟，在原地休息了6 分钟，然后以500 米/ 分的速 度骑回出发地. 下列函数图象能表达这一过程的是（） A B C D 2. （2015沈阳）如图3，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小 水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足图 4 中的图象，则至少需要_ s 能把小水杯注满. 3. （2015衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人 服药后血液中药物浓度y（微克 / 毫升）与
23、服药时间x（小时）之间的函数关系如图56 所示（当4x10 时， y 与 x 成反比例） （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与 x 之间的函数关系式； （2）问血液中药物浓度不低于4 微克 / 毫升的持续时间为多少小时？ 5. （2015济宁）小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购 进甲乙两种服装，甲种每件进价80 元，售价120 元，乙种每件进价60 元，售价 90 元计划购进两种服 装共 100 件，其中甲种服装不少于65 件 （1）若购进这100 件服装的费用不得超过7500 元，则甲种服装最多购进多少件？ （2）在（ 1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0a20）元的价格进行促销活动，乙种服 装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？ 图 5 图 3 图 4 O