中考数学压轴题(定值问题).pdf

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1、【中考数学压轴题】- 定值问题 一、乘积、比值类型 1 （ 2009株洲） 如图，已知 ABC 为直角三角形，ACB=90 ， AC=BC，点 A、 C 在 x 轴上，点B 坐标为（ 3，m） （m0） ，线段 AB 与 y 轴相交于点D，以 P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D （1）求点 A 的坐标（用m 表示） ； （2）求抛物线的解析式； （3）设点 Q 为抛物线上点P 至点 B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点 E，连结 BQ 并延长 交 AC 于点 F，试证明： FC(ACEC)为定值 解析： （1）由(3,)Bm可知3OC，BCm，又 ABC 为等腰直角三角形， ACB

2、Cm，3OAm，所以点A 的坐标是（3,0m）. 3 分 （2）45ODAOAD 3ODOAm，则点D的坐标是（0,3m） . 又抛物线顶点为(1,0)P，且过点 B、D，所以可设抛物线的解析式为： 2 (1)ya x，得： 2 2 (31) (01)3 am am 解得 1 4 a m 抛物线的解析式为 2 21yxx 7 分 （3）过点Q作QMAC于点M，过点Q作QNBC于点N，设点Q的坐标是 2 ( ,21)x xx， 则 2 (1)QMCNx，3MCQNx. /QMCEPQMPEC QMPM ECPC 即 2 (1)1 2 xx EC ，得2(1)ECx /QNFCBQNBFC QNB

3、N FCBC 即 2 34(1) 4 xx FC ，得 4 1 FC x 又 4AC 444 ()42(1)(22)2(1)8 111 FC ACECxxx xxx 即 FC(ACEC)为定值 8. 12 分 二、定长、定角、定点、定值类型 1 （ 2011?东营）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A、C 的坐标分别为（3，0） ， （0，1） ，点 D 是线段 BC 上的动点（与端点B、C 不重合），过点 D 作直线 y= 1 2 xb 交折线 OAB 于点 E （1）记 ODE 的面积为S，求 S与 b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，且tanDEO= 1 2 若矩形OA

4、BC 关于直线DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1，试探究四边形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面 积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说 明理由 考点 ：一次函数综合题。 分析： （1）要表示出 ODE 的面积， 要分两种情况讨论， 如果点 E 在 OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标） 和高（D 点纵坐标）， 代入三角形面积公式即可；如果点 E 在 AB 边上，这时 ODE 的面积可 y x Q PF E D C B AO 用长方形 OABC 的面积减去 OCD、OAE 、BDE 的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于

5、这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积 是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化 解答： 解： （ 1）四边形OABC 是矩形，点A、C 的坐标分别为（3，0） ， （0，1） ， B（ 3，1） ， 若直线经过点A（ 3，0）时，则b= 3 2 ， 若直线经过点B（ 3，1）时，则b= 5 2 ， 若直线经过点C（0，1）时，则b=1， 若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1b 3 2 ，如图 1， 此时 E（2b，0） ， S= 1 2 OE?CO= 1 2 2b 1=b； 若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即 3 2 b 5 2 ，如图

6、 2 此时 E（ 3， b 3 2 ） ，D（2b2，1） ， S=S 矩（ SOCD+SOAE+SDBE）=3 1 2 （ 2b2） 1+ 1 2 （52b）? （ 5 2 b）+ 1 2 3（b 3 2 ）= 5 2 b b 2， S= ) 2 5 2 3 ( 2 5 2 3 2 21 bbb bb ； （2）如图 3，设 O1A1与 CB 相交于点M，OA 与 C1B1相交于点N，则矩形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积 由题意知， DM NE，DN ME， 四边形 DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，MED= NED ， 又 MDE= N

7、ED， MED= MDE ， MD=ME ， 平行四边形DNEM 为菱形 过点 D 作 DH OA ，垂足为H， 由题易知，= 1 2 ，DH=1 ， HE=2 ， 设菱形 DNEM 的边长为a， 则在 RtDHN 中，由勾股定理知：a2=（2a） 2+12， a= 5 4 ， S四边形DNEM=NE?DH= 5 4 矩形 OA1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 5 4 2 （ 2011? 遵义）如图，梯形ABCD 中， ADBC，BC=20cm，AD=10cm，现有两个动点P、Q 分别从 B、D 两点同时出发，点P 以每秒 2cm 的速度沿BC 向终点 C 移

8、动，点Q 以每秒 1cm 的速度沿 DA 向终点 A 移动，线段PQ 与 BD 相交于点E，过 E 作 EF BC 交 CD 于点 F，射线 QF 交 BC 的延长线于点H，设动点P、Q 移动的时间为t（单位：秒，0 t10） （1）当 t 为何值时，四边形PCDQ 为平行四边形？ （2）在 P、 Q 移动的过程中，线段PH 的长是否发生改变？ 如果不变，求出线段PH 的长；如果改变，请说明理由 考点 ：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。 分析： （1）如果四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ=CP，根据 P、Q 两点的运动速度，结合运动时 间 t，求出 DQ、CP 的长度表达式

9、，解方程即可； （2）PH 的长度不变，根据P、Q 两点的速度比，即可推出QD： BP=1：2，根据平行线的性质推出 三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20 解答： 解： （ 1） ADBC，BC=20cm， AD=10cm，点 P、Q 分别从 B、D 两点同时出发，点P 以每 秒 2cm 的速度沿BC 向终点 C 移动，点Q 以每秒 1cm 的速度沿DA 向终点 A 移动， DQ=t，PC=202t， 若四边形PCDQ 为平行四边形，则DQ=PC， 202t=t，解得： t= 20 3 ； （2）线段 PH 的长不变， ADBH，P、Q 两点的速度比为2：1， QD：BP=1：2， QE

10、：EP=ED ：BE=1：2， EFBH， ED： DB=EF：BC=1：3， BC=20， EF= 20 3 ， EF PH ： QE QP = 1 3 ， PH=20cm 点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求 得 DQ 和 PC 的长度表达式，推出DQ 和 PC 的长度比为1：2 3 （ 2011?广州）已知关于x 的二次函数y=ax 2bxc（a0）的图象经过点 C（0，1） ，且与 x 轴交 于不同的两点A、B，点 A 的坐标是（ 1，0） （1）求 c 的值； （2）求 a的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线y=1 交于 C

11、、D 两点，设A、 B、C、D 四点构成的四边形的对角线相 交于点 P，记 PCD 的面积为S1，P AB 的面积为S 2，当 0a1 时，求证： S1S2为常数，并求出 该常数 考点 ：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定 系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与 x 轴的交点；相似三角形的判定与性质。 专题 ：计算题。 分析： （1）把 C（0，1）代入抛物线即可求出c； （2）把 A（1，0）代入得到0=a b1，推出 b=1 a，求出方程ax2bx1=0，的 b24ac 的值即可； （3）设

12、A（a，0） ，B（b，0） ，由根与系数的关系得：ab= a a1 ， ab= a 1 ，求出 AB= a a1 ，把 y=1 代入抛物线得到方程ax2（ 1a）x 1=1，求出方程的解， 进一步求出CD 过 P 作 MN CD 于 M， 交 x 轴于 N，根据 CPD BPA，得出=，求出 PN、PM 的长，根据三角形的面积公式即 可求出 S1S2的值即可 解答： （1）解：把 C（0，1）代入抛物线得：1=00c，解得： c=1， 答： c 的值是 1 （2）解：把A（1，0）代入得： 0=ab1， b=1 a，ax2bx1=0， b 24ac=（ 1a）24a=a22a10， a1且

13、a0， 答： a 的取值范围是a1且 a0； （3）证明： 0 a1， B 在 A 的右边， 设 A（ a，0） ， B（b，0） ， ax 2（ 1a）x 1=0，由根与系数的关系得： a b= a a1 ，ab= a 1 ， AB=ba=abab4)( 2 = a a1 ， 把 y=1 代入抛物线得：ax 2（ 1a）x1=1， 解得： x1=0，x2= a a1 ， CD= a a1 ， 过 P 作 MNCD 于 M，交 X 轴于 N，则 MN X 轴， CDAB， CPD BPA， =，=，PN= 2 1a ，PM= 2 1a ， S1S2= ? a a1 ? 2 1a ?=1， 即不

14、论 a 为何只， S1 S 2的值都是常数 答：这个常数是1 点评： 本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一 次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征， 二次函数与x 轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是 一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中 4 （ 2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax 2(a0)的 性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、 B 两点，请解答以下问

15、题： （1）若测得OA=OB=22（如图 1） ，求 a 的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2 所示位置时， 过 B 作 BFx 轴于点 F， 测得 OF =1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标 ； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、 B 的连线段总经 过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标 解： （1） 设线段 AB与y轴的交点为C，由抛 物线的对称性可得C为AB中点， OA=OB=22，90AOB， 2ACOCBC， B(2，2) 将B(2，2)代入抛物线y=ax2(a0)得， 1 2 a . FE y x B A

16、 O （ 2）解法 一： 过点A作AEx轴于点E， 点B的横坐标为1， B (1， 1 2 )， 1 2 BF. 又90AOB，易知AOEOBF，又90AEOOFB， AEOOFB， 1 2 1 2 AEOF OEBF 2AEOE5 分 设点A（m， 21 2 m） （0m） ，则OEm， 2 1 2 AEm ， 21 2 2 mm 4m，即点A的横坐标为4. 6 分 解法 二： 过点A作AEx轴于点E， 点B的横坐标为 1，B (1， 1 2 )，4 分 1 tan2 1 2 OF OBF BF 90AOB，易知AOEOBF， tantan2 AE AOEOBF OE ，2AEOE5 分 设

17、点A（-m， 21 2 m） （0m） ，则OEm， 21 2 AEm， 21 2 2 mm 4m，即点A的横坐标为4. 6 分 （ 3）解法 一： 设A（m， 2 1 2 m） （0m） ，B（n， 21 2 n） （0n） ， 设直线AB的解析式为：ykxb，则 2 2 1 (1) 2 1 (2) 2 mkbm nkbn ，7 分 (1)(2)nm得， 22 11 ()()() 22 mn bm nmnmn mn ， 1 2 bmn 又易知AEOOFB， AEOE OFBF ， 2 2 0.5 0.5 mm nn ，4mn9 分 1 42 2 b . 由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（

18、0，2） 10 分 解法 二： 设A（m， 21 2 m ） （ 0m ） ，B（n， 21 2 n ） （ 0n ） ， 直线AB与y轴的交点为C，根据 0AOBAOEB FAOCBOCABFE SSSSSS 梯形 ，可得 2222 111111111 ()() 222222222 nmmnmmnnOC mOC n， 化简，得 1 2 OCmn. 8 分 又易知 AEOOFB， AEOE OFBF ， 2 2 0.5 0.5 mm nn ， 4mn 9 分 2OC为固定值 . 故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,2）10 分 说明：mn的值也可以通过以下方法求得. 由前可知， 2241 4

19、OAmm ， 2241 4 OBnn ， 2222211 ()() 22 ABmnmn ， 由 222 OAOBAB，得： 242422221111 ()()()() 4422 mmnnmnmn ， 化简，得 4mn . 5 （ 2011?河北）如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点 O 出发，沿x 轴向右以毎秒1 个单位长的 速度运动 t 秒（t 0） ，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 O 和点 P，已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A （1， 0） ，B （1， 5） ， D （4，0） （1）求 c，b （用含 t 的代数式表示） ： （2）当 4t5 时，设抛物线分别与线段AB，C

20、D 交于点 M，N 在点 P 的运动过程中，你认为AMP 的大小是否会变化？若变化， 说明理由；若不变，求出AMP 的值； 求MPN 的面积 S与 t 的函数关系式，并求t 为何值时，要S= 21 8 ； （3）在矩形ABCD 的内部（不含边界） ，把横、纵坐标都是整数的点称为 “好点 ”若抛物线将这些“好点 ”分成数量相等的两部分，请直接写 出 t 的取值范围 考点 ：二次函数综合题。 分析： （1）由抛物线y=x2+bx+c 经过点 O 和点 P，将点 O 与 P 的坐标代入方程即可求得 c，b； （2）当 x=1 时， y=1t，求得 M 的坐标，则可求得 AMP 的度数， 由 S=S四

21、边形AMNPS P AM=SDPN+S梯形 NDAMSPAM，即可求得关于 t 的二次函数，列方程即可求得t 的值； （3）根据图形，即可直接求得答案 解答： 解： （ 1）把 x=0，y=0 代入 y=x2+bx+c，得 c=0， 再把 x=t， y=0 代入 y=x2+bx，得 t2+bt=0， t0， b=t； （2）不变 如图 6，当 x=1 时， y=1t，故 M（1，1t） ， tanAMP=1， AMP=45 ； S=S四边形 AMNPSPAM=SDPN+S 梯形NDAM SP AM= 1 2 （t4） （4t 16）+ 1 2 （4t16）+（t1） 3 1 2 （t1） （t

22、1）= 3 2 t 215 2 t+6 解 3 2 t 215 2 t+6= 21 8 ，得： t1= 1 2 ，t2= 9 2 ， 4t 5， t1= 1 2 舍去， t= 9 2 （3） 7 2 t 11 3 点评： 此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识此题综合性很强，难度 适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用 三、倒数和类型 1 （ 2011? 莆田）已知菱形ABCD 边长为 1ADC =60 ，等边 AEF 两边分别交边DC、CB 于点 E、 F。 （1）特殊发现：如图1，若点E、F 分别是边DC、CB 的中点求证：菱形ABCD 对角线 AC、BD 交

23、点 O 即为等边 AEF 的外心； （2）若点 E、 F 始终分别在边DC、CB 上移动记等边AEF 的外心为点P 猜想验证：如图2猜想 AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明； 拓展运用：如图3，当 AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点 M，交边 DC 的延长线于点N，试判断 1 DM 1 DN 是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。 25解：（ 1）证明：如图I，分别连接OE、OF 四边形ABCD 是菱形 AC BD，BD 平分 ADCAO=DC=BC COD=COB=AOD=90 ADO= 1 2 ADC= 1 2 60 =30 又 E、F 分别为 D

24、C、CB 中点 OE= 1 2 CD，OF= 1 2 BC，AO= 1 2 AD OE=OF=OA 点 O 即为 AEF 的外心。 （ 2）猜想：外心P 一定落在直线DB 上。 证明：如图2，分别连接PE、P A，过点 P 分别作 PI CD 于 I，P JAD 于 J A B C D E F O 图 1 PIE=PJD=90 ， ADC=60 IPJ=360 - PIE-PJD-JDI =120 点 P 是等边 AEF 的外心，EPA=120 ，PE=PA， IPJ=EPA， IPE=JPA PIE PJA， PI=PJ 点 P 在 ADC 的平分线上，即点P 落在直线DB 上。 1 DM 1 DN 为定值 2. 当 AEDC 时 AEF 面积最小， 此时点 E、F 分别为 DC、CB 中点 连接 BD、 AC 交于点 P，由（ 1） 可得点 P 即为 AEF 的外心 来自 中国学考频道 解法一：如图3设 MN 交 BC 于点 G 设 DM =x，DN=y(x0 yO) ，则CN=y1 BCDA GBP MDP BG=DM=x CG=1x BCDA， GBP NDM CN DN = CG DM ， y1 y = 1x x xy=2xy 1 x 1 y =2，即 1 DM 1 DN =2 A B C D E F P 图 3 G N A B C D 图 2 E F I J P