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1、. . 第 1 讲 角的存在性处理策略 知识必备 一、一线三等角 1.如图 1-1-1， o 90EDACB且 0 45CABCBEACD ，此为 “一线三直角”全等，又称“K 字型”全等 ; 图 1-1-1 图 1-1-2 图 1-1-3 图 1-1-4 2.如图 1-1-2， o 90EDACBCBEACD ，此为“一线三直角” 相似，又称“ K 字型”相似 ; 3.如图 1-1-3， o 90EDACBCBEACD ，此为更一般的“一线 三等角” . 二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义 如图 1-1-4，在AB
2、CRt中， b a Atan，即A的正切值等于A的对边与A的邻 边之比；同理， a b Btan，则1tantanBA，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼 一、基本策略：联想构造 二、构造路线 方式 (一)：构造“一线三等角” 1.45o角 构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如图1-2-1； 图 1-2-1 2.30o角 构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-2； . . D E DEC A A C B B 图 1-2-2 3.tan =k构直角三角形造“ 一线三直角 ” 相似，如图1-2-3； 4. “一线三等角 ” 的应用分三重境界； 一重境： 当一条线上已有三个等角时，只
3、要识别、 证明， 直接应用模型解题，如图 1-2-4 所示的 “ 同侧型一线三等角” 及图 1-2-5 所示的 “ 异侧型一线三等角” ； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6 及图 1-2-7 所示； 方式 （二） ：构造“母子型相似” “ 角处理 ” ，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对 此角结构， 然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“ 母子型相似 ” ，其核心结构如 图 1-2-8 所示 . 方式（三）：整体旋转法（*） DACDEA
4、 DA 2=DC? DE DG2+AG 2=DC? DE 动 动 定 定 定 定 定 定 定 定 定 G A C B B C A A C B D D E 图 1-2-3 图 1-2-4 图 1-2-5 图 1-2-6 图 1-2-7 图 1-2-8 . . 图 1-2-10 图 1-2-11 图 1-2-12 y x 3 3 4 4 A E A E O 前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法， 其核心思想是 “ 图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该 点所在图形的旋转（运动）”. 下面以三个问题说明此法： 问题 1 已知点 A（
5、3，4） ，将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转45o角，求其对应点A 的坐 标. 简析 第一步（“ 整体旋转 ” ） ：如图 1-2-9，作 ABy 轴于点 B，则 AB=3， OB=4，点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转45o得到点 A ，可看成 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转45o得 到 RtOA B ，则 AB =8，OB =4，且 BOB =45o； 第二步（造“一线三直角”） ： 如图 1-2-10, 依托旋转后的RtOA B , 作系列“水平 竖直辅助线” ，构造“一线三直角” ，即 RtOCB Rt B DA； 事实上 ,RtOCB 与 RtB DA都是等腰直角三角形,
6、于是有OC=B C=22, B D=A D= 23 2 ,故点A的坐标为 722 (,) 22 ； 问题2 已知点(4,6)A, 将点A绕原点O顺时针方向旋转a角, 其中tana= 1 2 , 求其对应 点A 的坐标 . 简析 第一步（“整体旋转”） ： 如图 1-2-11, 作 ABy 轴于点B,则 AB=4, OB=6, 将 Rt OAB 绕原点 O 顺时针方向旋转a角得到 RtOA B, 则A B=4,OB=6, 且tanBOB =tana= 1 2 ； 图 1-2-9 . . 图 1-2-13 图 1-2-14 第二步（造“一线三直角”） ： 如图 1-2-12, 依托旋转后的RtOA
7、 B , 作系列“水平 竖直辅助线” ，构造“一线三直角” ，即 RtOCB RtB DA ， 于是有B C= 56 5 ,OC= 512 5 ,A D= 54 5 ,B D= 58 5 ,故点A的坐标为 55 (,) 55 148 . 问题 3 已知点( , )A a b, 将点A绕原点O顺时针方向旋转a角, 求其对应点A 的坐标 . 简析 不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题： 第一步（“整体旋转” ） ： 如图 1-2-13, 作 ABy 轴于点 B,则 AB=a, OB=b, 将 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转a角得到 RtOA B , 则A B=a,OB=b, 且BOB=a
8、； 第二步（造“一线三直角”） ： 如图 1-2-14, 依托旋转后的RtOA B , 作系列“水平 竖直辅助线” ，构造“一线三直角” ，即 RtOCB Rt B DA， 于是有B C= sinba,OC=cosba,A D=sinaa,B D=cosaa, 故点A 的坐标为(,)cossincossinaaba baaa. 例 1( 2017?日照 ) 如图 1-3-1 ，在平面直角坐标系中，经过点 A的双曲线同时经过 点 B，且点 A在点 B的左侧，点A的横坐标为，AOB= OBA=45 ，则k 的值为 _。 x y 图1-3-1 B A Ox y 2 t t2 图1-3-2 D C B
9、 A O 简析 由题可知， OAB为等腰直角三角形； 如图 1-3-2 ，构造“一线三直角”结构，即Rt OAD RtABC ； 设OD=AC=t ，则A(， t) ， B(，) ，从而有t=()() ，解得 ； 因此有。 反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K字型”全等。 例 2 如图 1-3-3 ，已知反比例函数的图像经过点A(3，4) ，在该图像上找一点P， 使 POA=45 ，则点P的坐标为 _。 . . x y 图1-3-3 P A Ox y 3 4 3 4 图1-3-4 D C P B A O 简析 1（构造“一线三直角”）：如图 1-3-4 ，作 AB OA交 OP于点
10、 B，则 OAB为等腰直角 三角形； 再造“一线三直角”结构，即Rt OAD RtABC ，由A(3,4) ，可得 OD=AC=4 ，AD=BC=3 ，则 B(7,1) ，故直线 OP的解析式为，且反比例函数的解析式为，联立得，解 得（负值舍去） ，故点 P的坐标为 (，) 。 简析 2（构造“一线三等角”）：如图 1-3-5 ，分别过点A、P作 y 轴的垂线，垂足依次为点 D、E，再在 y 轴上分别找点B、C，使 BD=AD ，CE=PE ，则 ABO= PCO= 45； 由POA=45 ，易证 ABO OCP ， 则， 即 AB ?CP= BO?OC； 由 A(3， 4) ， 可得， BO
11、=BD+OD=7 ， k=12 ， 再 设 点P(t，) ， 则CP=， OC=CE-OE=PE-OE=， 从 而 有， 解 得 ，故点 P的坐标为 () 。 45 0 是一个神奇美妙、 让人浮想联翩的角。 依托 45 0 角，自然联想到构造等腰直角三角形。 然后依托等腰直角三角形，再造“一线三直角”，这是处理45 0 角的基本策略之一。 如图 1-3-6 ，若 C=45 0，一般有四种方式构造直角三角形， 但建议将已知点作为直角顶 点，相对而言会更简单。这也体现出了“以不变应万变”的解题策略。 解法 1，从头到尾几乎口算，不需要设元，原因在于构造等腰直角三角形时。将已知点 A作为直角顶点，否
12、则需要设元求解，很是麻烦。 解法 2，将 y 轴看成所谓“一线” 。利用一个45 0 角，再补两个“45 0”角，构造“一线 x y 图1-3-5C E P B D A O . . 三等角”，设出坐标，巧妙解题，这是角的存在性问题另一种重要处理策略。 如图 1-3-7 ，已知抛物线 27 2 yxxc与x轴交于 A、B两点，且经过点0 2C，、 7 3 2 D ，点 P是直线 CD上方抛物线上一动点，当 0 =45PCD时，求点P的坐标。 策略一： 45 0 构等腰直角三角形造“一线三直角”. 简析：易求抛物线的解析式为 27 2 2 yxx，直线 CD的解析式为 1 2 2 yx 如图 1-
13、3-8 ，过点 D作 DQ CQ ，交 CP的延长线于点Q ，过点 D作平行于y 轴 的直线， 并分别过点C、Q向该直线上作垂线，垂足依次为点E、F，则 CDQ 为等腰直角三角形， CED DFQ ，DF=CE=3,QF=DE=, 故 Q点坐标为 3 13 22 ， 利 用C、 Q 两 点 ， 可 以 求 出 直 线CP 的 解 析 式32yx， 在 与 抛 物 线 联 立 得 2 32 7 2 2 yx yxx ，解得 =0 2 x y （舍去），或 1 = 2 7 2 x y ，因此点P坐标为 1 7 2 2 ， 类似的，也可以过点P作垂线等。但不推荐，否则直角顶点未知。需要设元求解，而简
14、 析 1 直角顶点 D已知，故而顺风顺雨。 理论上，在直线CD上任取一个已知点，将之做为等腰直角三角形的直角顶点，都可顺 利解决，如图1-3-9 所示，可自行探究。 对比例 2，还可以发现，双曲线与抛物线都是“幌子”，借助 45 0 角的处理策略，他们仅 仅起到最后联立解方程组求交点的作用。练就“慧眼”，便可以“识珠” ，很多题目的命制套 路就是如此 . 图 1-3-7 图 1-3-9 图 1-3-8 . . 策略二：一个45补两个45造“一线三等角” 如图 1310，过点P、D 向轴上做垂线，补出两个45角，构出“一线三等角”结 构，即 ?PCE ?CDF，则有 DF CE CF PE ，即
15、 PE DF=CE CF ； 由题可设 P(t，-t+ 2 7 t+2),易得 PE=2t，DF=32,CE=-t+ 2 7 t+2 +t-2=-t2+ 2 9 t,CF=2-( 2 7 -3)= 2 3 ,因此有2t32= 2 3 (-t2+ 2 9 t)，解得 t= 2 1 （t=0 舍去） ， 故点坐标为（ 2 1 ， 2 7 ） 因本题数据的特殊性，最后可以看出，点P、D 的纵坐标相等，故过点P、D 向 y 轴做 垂线，垂足重合，即图中的G 点，其实巧合与否，对解题并无影响； 此外，所谓“一线” ，也可以做成“水平线，甚至于“斜线”，可自行探究，一般选择 现有的“一线”比较合适。 策略
16、三：一个45再补一个45造“母子型相似” 如图 1-3-11，过点 D 作 y 轴的平行线交CP的延长线于点Q， 交 x 轴于点G，再作CE QG 于点E，构造等腰RT?CEF ，则 F=45,EF=CE=3,DE= 2 3 由 PCD=45 ，可得 ?QCD?QFC ，易证 QC2=QDQF； 设 QD=t， 则 QC 2=QE2+CE 2=(t+ 2 3 )2+9， 故有 (t+ 2 3 )2+9=t (t+ 2 9 )， 解得 t= 2 15 ，故点的坐标为(3,11) 再利用 C、Q 两点，可求出直线的解析式为y=3x+2，与抛物线 联立得 y=3x=2、y=-x2+ 2 7 x+2解
17、得 x=0、 y=2，（舍去） 或 x= 2 1 、 y= 2 7 ， 故点坐标为（ 2 1 ， 2 7 ） 。 “母子型相似”与“一线三等角”是极其重要的基本相似形，上述解法都将是将其视 为“工具”，结合这些基本图形的结构特征，缺啥补啥，巧妙构造，顺利求解. 策略四： 45 “整体旋转” +“矩形大法” 第一步（“整体旋转” ） ：如图1-3-12，过两点作相应“水 平竖直辅助线” ，构造 RT?CDE ，再将 RT?CDE绕点 C逆时 针旋转 45至 RT?CDE，则 CE =CE=3,D E=DE= 2 3 ，且 ECE =45 第二步（“矩形大法” ） ：如图 1-3-13，依托旋转后
18、的RtCD E ，作系列“水平竖直 . . 辅助线”，构造矩形CGHK ，则 RtCGE RtE HD ， 事 实 上 ， Rt CGE 与Rt E HD 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 于 是 有CG=E G= 2 23 ， D H=E H= 4 23 ，则 D K= 2 23 - 4 23 = 4 23 ，OK=OC+CK=2+ 4 29 ，故点 D 的坐标为 （ 4 23 ， 2+ 4 29 ） ，下略 . 图 1-3-13 反思这里运用动态视角，借助旋转的眼光看问题，将点的旋转看成该点所在的直角三角 形的旋转，巧思妙构，利用系列“水平竖直辅助线”，达到“改斜规正，化斜为直”之
19、效，虽然最后的数据稍显“丑陋”，但并不影响此法的通用性与普适性. 因为 45的特殊性，本题还可以尝试采用所谓的“半角模型”来求解. 策略五：45正方形中的“半角模型” 简析 5 如图 1-3-14，作正方形CEFG ，使 CG边在 y 轴上，且边EF过点 D，直线 CP与 FG交于点 Q； . . 图 1-3-14 图 1-3-15 设 QG=x，由 PCD=45 ，结合正方形中“半角模型”，可得 QD=QG+DE=x+ 2 3 ，最后锁 定 RtQDF，由勾股定理得（3-x）2+（ 2 3 ）2=（x+ 2 3 ）2，解得 x=1，故点 Q 坐标为（ 1,5） ， 下略 . 反思：正方形中“
20、半角模型”应用广泛，核心结构如图1-3-15 所示，其结论众多，常 用的有： EF=AE+CF ，EB平分 AEF ，FB平分 CFE等，可通过旋转法加以证明； 通过前面的例题探究可以看出：紧抓45角不放手，扣住一条主线，即“45角构 造等腰直角三角形造K字形全等”，是处理45角问题的通解通法； 当然也可以构造一些常见的几何模型，如“一线三等角”、 “母子形相似” 、 “半角模型” 等； 其实 45角只是一个特例、一个代表而已，若将45改为 30等特殊角，甚至改成更 一般的已知其三角函数值的确定角，都可以类似解决. 例 4（2014 年临夏）如图1-3-16，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为
21、M 的抛物线是由 抛物线 y=x2-3 向右平移一个单位后得到的，它与 y 轴负半轴交于点A，点 B在抛物线上， 且 横坐标为 3. （1）求点 M 、A 、B坐标； （2）连接 AB AM BM ，求 ABM 的正切值； （3）点 P 为顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴右侧，设PO与 x 正半轴的夹角 为，当 =ABM 时，求 P点坐标 图 1-3-16 简析：(1) 图示抛物线的解析式为3)1( 2 xy， 则 M90MAB(1,-3)，A(0,-2),B(3,1); (2) 法 1（代数法）：利用两点间距离公式计算 222 MBABAM、。验算 222 MBABAM，可 证90MA
22、B, 在Rt ABM 中 ， 可 得 . . tanABM = 3 1 AB AM ; 法 2（几何法）：如图 1-3-17 ，分别过点 B、M作 y 轴的垂线，垂足依次为点 C、D，由题可得 AD=MD=1,AC=BC,=3，则ADM 与ABC 均为等腰直角三角形，故 么DAM= CAB= 45 ，AM=2，AB=32，从而有么90MAB，在 RtABM 中，可得 tanABM = 3 1 AB AM ; (3) 由题知 tan=tanABM = 3 1 ，显然符合条件的点P有两个： 当点 P在 x 轴 上方时，由 B(3，1) ，易知点 P与点 B重合，即点 P(3，1) ； 当点 P 在
23、 x 轴下方时，如图1-3-18 ，作 PG上 x 轴于点 G ，则 tan = 3 1 OG PG ，可设PG=m(m0) 则 OG=3m ， 故 点P（ 3m， -m ） ， 代 入 抛 物 线 得 3-1)-(3m=m- 2 ， 解得 18 975 , 18 975 21 mm0）的图像经过A、B两点，若已知A（n，1） ，则 k 的值为. y A Ox P 2如图 142，直线 y=3x 与双曲线 x y 3 （x0）交于 A 点，点 P 是该双曲线第一象限 上的一点，且AOP=1+2，则点 P的坐标为. y A Ox P 1 2 图 1 42 图 1 41 . . 3如图 143，已
24、知反比例函数 x k y（x0）的图像经过点A（4，6） ，在 OA 右侧该图 像上找一点P，使 tanPOA= 2 1 ，则点 P的坐标为. y A Ox P 4 如图 144， 在矩形 ABCD中，E是边 AB 上的一点， AE=2 ， BE=4 ， 连接 DE， 作 DEF=45 交边 BC于点 F，若 AD=x，BF=y，则 y 关于 x 的函数关系式为. A BC D E F x 2 4 y 45 5如图 145，抛物线abxaxy4 2 经过 A（ 1，0） 、C（0，4）两点，与x 轴交 于另一点B. （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（ 2）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且DBP=45，求点P的坐标； 变式 1：连接 BD，P为抛物线上一点，且DBP=135，求点P的坐标； 变式 2：连接 BD，P为抛物线上一点，且tanDBP=2，求点 P的坐标 . A C Bx y OA C Bx y O 图 1 43 图 1 44 图 14 5 备用图