高三数学二轮专题复习教案――平面解析几何.pdf

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1、2012 届高三数学二轮专题复习教案平面解析几何 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1直线 (1). 直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k，倾斜角为，它们的关系为：k tan ； 若（ x1,y1） ，（ x,y） ，则 12 12 xx yy K AB 。 (2) .直线的方程 a. 点斜式：)( 11 xxkyy； b.斜截式：bkxy； c. 两点式： 12 1 12 1 xx xx yy yy ； d.截距式：1 b y a x ； e. 一般式：0CByAx，其中 A、B不同时为0. (3).两直线的位置关系 两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点

2、）；重合（有无数个公 共点） . 在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。 若直线、的斜率分别为、，则 ，。 （4）点、直线之间的距离 点 A（x0，y0）到直线0CByAx的距离为： d= 22 00 | BA CByAx 。 两点之间的距离：|AB|= 2 12 2 12 )()yyxx（ 2. 圆 （1）圆方程的三种形式 标准式： 222 )()(rbyax ，其中点（ a，b）为圆心， r0， r 为半径，圆的标准方程中有三个 待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小 一般式： 0 22 FEyDxyx ，其中 22 ED ， 为圆心 FED4 2 1

3、 22 为半径，圆的一 般方程中也有三个待定系数，即D、E、F若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个 圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程 参数式：以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是 sin ,cos ry rx （其中为参数） 以（ a，b）为圆心、 r 为半径的圆的参数方程为 sin ,cos rby rax （为参数），的几何意义是：以 垂直于 y 轴的直线与圆的右交点A与圆心 C的连线为始边、以C与动点 P的连线为终边的旋转角，如图所 示 三种形式的方程可以相互转化，其流程图为： 2二元二次方程是圆方程的充要条件 “A=C 0 且 B=0”是

4、一个一般的二元二次方程 0 22 FEyDxCyBxyAx 表示圆的必要条件 二 元 二 次 方 程 0 22 FEyDxCyBxyAx 表 示 圆 的 充 要 条 件 为 “ A=C 0、 B=0 且 04 22 AFED ” ，它可根据圆的一般方程推导而得 3参数方程与普通方程 我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关 系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的 参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义 要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，

5、 3. 圆锥曲线 (1). 椭圆的标准方程及其性质 椭圆 2 2 2 2 x b y a 的参数方程为： sin cos by ax （为参数）。 (2) 双曲线的标准方程及其性质 双曲线 2 2 2 2 x b y a 的参数方程为： tan sec by ax （为参数）。 (3).抛物线的标准方程及其性质 平面内，到一个定点F 和一条直线的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦 点，直线 pxy2 2 叫做抛物线的准线。 四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方 程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：02 2 ppx

6、y，02 2 ppyx，其中： 参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值；值越大，张口越大； 2 p 等于焦点 到抛物线顶点的距离。 标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变 量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为轴时，方程中的 一次项变量就是，若的一次项前符号为正，则开口向右，若的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴 为轴时，方程中的一次项变量就是，当的一次项前符号为正，则开口向上，若的一次项前符号为负，则开 口向下。 抛物线的简单几何性质 方程设抛物线02 2 ppxy 性质 焦点范围对称

7、性顶点离心率准线通径 0, 2 p F0x 关于轴 对称 原点1e 2 p x 抛物线pxy2 2 的参数方程为： pty ptx 2 2 2 （t 为参数）。 (4). 圆锥曲线 ( 椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线) 的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点， 定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当 0e1 时，是椭圆，当e1 时，是双曲线， 当 e1 时，是抛物线 4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来） (1). 首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆： 一般用点到直线的距离跟圆的半径

8、相比( 几何法 ) ， 也可以利用方程实根的个数来判断( 解 析法 ). b. 直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离 c. 直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程;b.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3). 已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q ，且中点为A，求 P、 Q所在的直线方程 (4). 已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲 线上否存在两点关于直线对称） 5. 二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体， 与平面向

9、量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知 识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年 部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作 用。 (1). 重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2). 重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3). 重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4). 重视解析几何与立体几何的有机结合。 三、考点剖析 考点一点、直线、圆的位置关系问题 【内容解读 】点与直线的位置关系有：点在直线上、直线

10、外两种位置关系，点在直线外时，经常考查 点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线 与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆 的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离， 再与两圆的半径之和或差比较。 【命题规律 】本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题。 例、 (2008 全国卷文 ) 原点到直线052yx的距离为（） A1 B C 2 D 解：原点为 (0 ，0) ，由公式，得：5 21 5 2 d，故选（） 。 点评 ：本题

11、直接应用点到直线的公式可求解，属容易题。 例、 （湖南理）圆心为(11)，且与直线4xy相切的圆的方程是 解 ：圆与直线相切，圆心到直线的距离为半径，所以， 11 |4-11| ，所以，所求方程为： 22 (1)(1)2xy 点评： 直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容，对于相切问题，经常采用点到直线的距离公式求 解。 例、 (2008重庆理 ) 圆O1：x 2 y 2 2x0 和圆 O2：x 2 y 24y0 的位置关系是 ( ) (A) 相离(B) 相交 (C)外切(D) 内切 解：配方，得：圆O1： （x） 2 y 2 和圆O2：x 2（ y） 2， 圆心为（，） ， （，），半径为r

12、 ， 圆心之间距离为： 22 2-00-1）（）（，因为， 所以，两圆相交选（） 点评 ：两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位 置关系 考点二直线、圆的方程问题 【内容解读 】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、.截距式、一般式五种形式，各有特点， 根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。圆的方程有标准式一般式两种；直线与圆的方程问题，经 常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。 【命题规律 】直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。 例、 (2008 广东文 ) 经过圆 02 22 yxx的圆心

13、 C，且与直线x+y0 垂直的直线方程是（） A01yx B. 01yx C. 01yx D. 01yx 解：易知点C为( 1,0)，而直线与0xy垂直，我们设待求的直线的方程为yxb，将点 C的 坐标代入马上就能求出参数的值为1b，故待求的直线的方程为10xy, 因此，选（ . ） 。 点评 ：两直线垂直，斜率之积为，利用待定系数法求直线方程，简单、方便。 例、 (2008 山东文 ) 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430xy和轴相切，则该圆的标 准方程是（） A 2 27 (3)1 3 xy B 22 (2)(1)1xy C 22 (1)(3)1xyD 2 2 3 (1)1 2

14、xy 解：设圆心为( ,1),a由已知得 |43|1 1,2(). 52 a da舍故选 B. 点评 ：圆与 x 轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来帮助理解。 考点三曲线（轨迹）方程的求法 【内容解读 】轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法： （1）单动点的轨迹问题直接法待定系数法； （2）双动点的轨迹问题代入法； （3）多动点的轨迹问题参数法 交轨法。 【命题规律 】轨迹问题在高考中多以解答题出现，属中档题。 例、 （2008 深圳福田模拟）已知动圆过定点1,0，且与直线1x相切 . (1) 求动圆的圆心轨迹的方程； (2) 是否存在直线，使过点

15、（0，1） ，并与轨迹交于,P Q两点，且满足 0OP OQ ？若存在，求出 直线的方程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设为动圆圆心，1,0， 过点作直线1x的垂线， 垂足为， 由题意知：MFMN 即动点到定点与到定直线1x的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中1,0F为焦点， 1x为准线， 动圆圆心的轨迹方程为xy4 2 （2）由题可设直线的方程为(1)(0)xk yk 由 2 (1) 4 xk y yx 得 2 440ykyk 2 16160kk，01kk或 设),( 11 yxP，),( 22 yxQ，则 12 4yyk， 12 4y yk 由0OP OQ，即

16、11 ,OPx y， 22 ,OQxy，于是 1212 0x xy y， 即 2 1212 110kyyy y， 222 1212 (1)()0ky ykyyk， 222 4 (1)40k kkkk，解得4k或0k（舍去）， 又40k， 直线存在，其方程为440xy 点评 ：本题的轨迹问题采用抛物线的定义来求解，用圆锥曲线的定义求轨迹问题是经常采用的方法， 要求充分掌握圆锥曲线的定义，灵活应用。 例、 （2008 广州模拟）已知曲线上任意一点到两个定点 1 3,0F和 2 3,0F的距离之和为4 （1）求曲线的方程； （2）设过0, 2的直线与曲线交于、两点，且0OC OD（为坐标原点） ，求

17、直线的方程 解： （1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中2a，3c，则 22 1bac 所以动点M的轨迹方程为 2 2 1 4 x y （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意 当直线的斜率存在时，设直线的方程为2ykx，设 11 (,)C xy， 22 (,)D xy， 0OC OD， 1212 0x xy y 11 2ykx， 22 2ykx， 2 121212 2 ()4y yk x xk xx 2 1212 (1)2 ()40kx xk xx o A x 1,0F M N 1x 由方程组 2 2 1, 4 2. x y ykx 得 22 1416120kxkx 则 12 2

18、16 14 k xx k ， 12 2 12 14 xx k ， 代入，得 2 22 1216 1240 1414 k kk kk 即 2 4k，解得，2k或2k所以，直线的方程是22yx或22yx 点评 ：本题考查椭圆的定义，椭圆与向量结合的综合题的解法。 例、 （2008 广东吴川模拟）已知点( 8,0)P和圆 C：04102 22 yxyx， （1）求经过点 P被圆 C截得的线段最长的直线的方程； （2）过 P点向圆 C引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。 解： （1）化圆的方程为：2251 22 yx圆心坐标：(1, 5)C 由题意可得直线经过圆C的圆心，由两点式方程得： 08 50

19、18 yx 化简得：59400xy直线的方程是：59400xy （2）解：设中点, yMx CM PM PCM是Rt 有： 222 PMMCPC 即： 2 222 8(1)(5)106xyxy 化简得：0857 22 yyxx 故中点 M的轨迹是圆0857 22 yyxx在圆 C内部的一段弧。 点评 ：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。要求掌握好平面几何的知识，如勾股 定理，垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。 考点四有关圆锥曲线的定义的问题 【内容解读 】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外， 经常在选择题、填空题中也有出现。 【命题

20、规律 】填空题、选择题中出现，属中等偏易题。 例 9、 (2008 上海文 ) 设是椭圆 22 1 2516 xy 上的点若 12 FF，是椭圆的两个焦点，则 12 PFPF等 于（） A4 B5 C8 D10 解：由椭圆的定义知： 12 210.PFPFa故选（ D） 。 点评 ：本题很简单，直接利用椭圆的定义即可求解，属容易题。 例 0、 （2008 北京理） 若点到直线1x的距离比它到点(2 0)，的距离小1，则点的轨迹为（） A圆B椭圆C双曲线D抛物线 解: 把到直线1x向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。故选（D） 。 点评 ： 本题考查抛物线的定义，将点P到 x

21、=-1 的距离， 转化为点P到 x 2 的距离， 体现了数学上 的转化与化归的思想。 例 12、 (2008 海南、宁夏理) 已知点 P在抛物线y 2 = 4x 上，那么点 P到 点 Q （2， 1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的 P A x y C B M 坐标为（） A. （ 4 1 ， 1） B. （ 4 1 ，1）C. （1，2） D. （ 1， 2） 解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图 PFPQPSPQ, 故最小值在,S P Q三点共线时取得， 此时,P Q的纵坐标都是，点坐标为 1 (, 1) 4 ，所以选A。 点评 ：点 P到焦点的距离，

22、利用抛物线的定义，转化为点P到准线之间的距离，体现数学上的转化与 化归的思想，在数学问题中，经常考查这种数学思想方法。 考点五圆锥曲线的几何性质 【内容解读 】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐 标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容， 离心率公式一样：e a c ，范围不一样，椭圆的离心率在（0,1 ）之间，双曲线的离心率在（1，） 之间，抛物线的离心率为1， 【命题规律 】 例 13、 (2008 海南、宁夏文 ) 双曲线 22 1 102 xy 的焦距为（） A. 3 B. 4 C. 3 D. 4 解：因为 a 10

23、，b，所以 c 210 2，2c4，故选（ D） 。 点评 ：本题考查双曲线中a、 b、c 之间的关系，焦距的定义，属容易题。 例 14、 (2008 福建文、理 ) 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点为 12 ,F F，若 P为其上的一点， 且 12 | 2|PFPF，则双曲线离心率的取值范围为（） (1,3)(1,3(3,)3,) 解：如图，设 2 PFm， 12 (0)F PF，当 P在右顶点 处， 222 (2)4cos2 54cos 2 mmmc e am 1cos1，1,3e 点评 ：本题考查离心率的公式及其意义，另外也可用三角形的两边和大于第三边, 及

24、两边差小于第三边 来求解 , 但要注意前者可以取到等号成立, 因为可以三点一线. 例 15、 (2008 辽宁文 ) 已知双曲线 222 91(0)ym xm的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 1 5 ， 则m( ) A1 B2 C3 D4 解： 222 11 91(0), 3 ym xmab m 取顶点 1 (0,) 3 , 一条渐近线为30,mxy 2 2 1 | 3| 1 3 9254. 5 9 mm m 故选（ D） 。 点评 ：本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式问题。 考点六直线与圆锥曲线位置关系问题 【内容解读 】能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际

25、问题；能够把研究直线与圆 锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一 个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用 数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时， 利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便。 【命题规律 】直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法， 因此这部分经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算能力，逻辑揄能力。 例 6、(2007 年重庆 ) 已知以 1

26、( 2 0) F， 2(2 0) F，为焦点的椭圆与直线340xy有且仅有一个 交点，则椭圆的长轴长为（） （A）3 2（B）2 6（C）2 7（D）4 2 解：设椭圆方程为 22 1(0).mxnymn，联立方程组： 22 1 , 340 mxny xy 消 x 得： 2 (3)8 316mn ymym1 0， 192m 2 4(16m1) （3m n) 0，整理，得： 316,mnmn即： 31 16. nm ，又 c2，由焦点在x 轴上信，所以， 11 mn 4，联立解得： 1 7 1 3 m n ，故长轴长为2 7. 点评 ：直线与圆锥曲线只有一个交点时，经常采用联立方程组，消去一个未

27、知数后，变成一元二次方 程，由判别式来求解，但要注意，有时要考虑二次项的系数为0 的特殊情况。 例 7 、 (2007年 浙 江 ) 如 图 ， 直 线yk xb与 椭 圆 2 2 1 4 x y交于A B， 两点，记 AOB 的面积为 （I ）求在0k，01b的条件下，的最大值； （II ）当2AB，1S时，求直线AB的方程 解：设点的坐标为 1 ()xb，点的坐标为 2 ()xb， 由 2 2 1 4 x b，解得 2 1 2 2 1xb ， ， 图 1 所以 222 12 1 2111 2 Sb xxbbbb， 当且仅当 2 2 b时，取到最大值1 （）解：由 2 2 1 4 ykxb

28、x y ， ， ，得 2221 210 4 kxkbxb ， 2222 4(41)(1)k bkb 22 4kb1， AB 22 1212 ()()xxyy 22 22 12 2 41 11 1 4 kb kxxk k 2 设到AB的距离为，则 2 1 S d AB ，又因为 2 1 b d k ， 所以 22 1bk，代入式并整理，得 421 0 4 kk， 解得， 21 2 k， 23 2 b，代入式检验，0 故直线AB的方程是 26 22 yx，或 26 22 yx， 或 26 22 yx，或 26 22 yx 点评 : 求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式：AB 22 1212 ()()

29、xxyy 2 12 1kxx来 求解。 例 8、 (2006上海卷 ) 已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 (3, 0)F, 右顶点为(2,0)D, 设点 1 1, 2 A . （1）求该椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程； 解： (1) 由已知得椭圆的半长轴a=2, 半焦距 c=, 则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x 轴上 , 椭圆的标准方程为1 4 2 2 y x (2) 设线段 PA的中点为M(x,y) ,点 P的坐标是 (x0,y0) ， 由 0 0 1 2 1 2 2 x x y y ，得 0 0 21 1 2 2 xx yy

30、 由, 点 P在椭圆上 , 得1) 2 1 2( 4 )12( 2 2 y x , 线段 PA中点 M的轨迹方程是1) 4 1 (4) 2 1 ( 22 yx. 点评 : 涉及弦的中点问题，除用上述方法外，有时也联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理， 或运用平方差法求解，但必须是以直线与圆锥曲线相交为前提。 四、方法总结与2009 年高考预测 （一）方法总结 1求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p 等 . 要充分认识椭圆中参数a，b，c，e 的意义及相 互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用定义. 3

31、直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程， 利用判别式、韦达定理来求解或证明. 4对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征. 求轨迹 的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等. 5与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明. （二）高考预测 1求曲线（轨迹）方程的常用方法（定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。 2掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。 3直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年

32、的全国和部分省高考数 学试题，本专题列出高考考查的热点内容有： （1）直线方程、圆方程； （2）圆锥曲线的标准方程； （3）圆锥曲线的几何性质； （4）直线与圆锥曲线的位置关系； （5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析 几何问题的热中之热。 五、复习建议 1. 加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。 2由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题 背景新颖、 综合性强， 代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题 作深入的研究。 3在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想 和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。