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1、高三文科数学专题立体几何 1 （ 2013 汕头二模）设l、m是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列命 题中为真命题的是（） A若,l，则/lB若/,l，则/l C若,/,lmm，则lD若,/,lm，则lm 【答案】 D 【解析】,l/ /，l，m，lm 2 （ 2013 东城二模）给出下列命题： 如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n一定不相交； 如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n一定平行； 如果平面、互相平行，若直线m，直线n，则m/n； 如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m则n 则真命题的个数是（） A 3 B2 C1 D0 【答案】 C 【解析】只有为真命题
2、 3设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A若/l，/l，则/B若l，l，则/ C若l，/l，则/D若，/l，则l 【解析】 B 4 （2013 东莞一模） 如图， 平行四边形ABCD中，1CD， 60BCD，且CDBD， 正方形ADEF和平面ABCD垂直，HG,是BEDF ,的中点 （1）求证：BD平面CDE； （2）求证： GH平面CDE； （3）求三棱锥DCEF的体积 F G E H A B C D 【解析】（1）证明：平面ADEF平面ABCD，交线为AD， ADED， ABCDED平面， BDED 又CDBD， CDEBD平面 （ 2）证明：连接 EA，则G是AE的中点，
3、 EAB中，ABGH / ， 又CDAB/， /GHCD， /GH平面CDE （ 3）设BCDRt中BC边上的高为h， 依题意：31 2 1 2 2 1 h， 2 3 h 即：点C到平面DEF的距离为 2 3 ， 3 3 2 3 22 2 1 3 1 DEFCCEFD VV 5 （2013 丰台二模） 如图 所示， 四棱锥 PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，Q 是棱PA上的动点 （1）若Q是PA的中点，求证：PC/ 平面BDQ； （2）若PBPD，求证：BDCQ； （3）在（ 2）的条件下，若PAPC，3PB，60ABC o ，求四棱锥PABCD 的体积 解析：证明： （1）连结
4、AC，交BD于O, 如图： C D B A P Q 底面ABCD为菱形，O为AC中点 Q是PA的中点，OQ/ PC， OQ平面BDQ，PC平面BDQ，PC/ 平面BDQ （ 2）底面ABCD为菱形，ACBD，O为BD中点 PBPD，POBD ACPOO， BD平面PAC CQ平面PAC，BDCQ （ 3）PAPC，PAC为等腰三角形 O为AC中点，POAC 由（ 2）知POBD，且ACBDOI， PO平面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高 四边 形是边长为2 的菱形，且60ABC o ， 3BO，6PO 1 2 362 2 3 PABCD V，2 2 PABCD V 6 （2012 辽宁高
5、考 ) 如图 ，直三棱柱 111 ABCA B C中，90BAC o ，2ABAC， 1 1AA，点,MN分别为 1 A B和 11 B C的中点 (1)证明：MN平面 11 A ACC； (2) 求三棱锥 1 AMNC的体积 A B C A1 B1 C1 M N O C D B A P Q 【解析】（1）连结 1 AB， 1 AC， 在直三棱柱 111 ABCA B C中，四边形 11 ABB A为平行四边形， M为 1 A B的中点，M为 1 AB中点 N为 11 B C的中点，MN 1 AC， MN平面 11 A ACC, 1 AC平面 11 A ACC, MN平面 11 A ACC (
6、2) 连结BN，ABAC, 1111 A BAC, N为 11 B C的中点， 111 A NB C, 平面 111 A B C平面 11 B BCC，平面 111 A B C I平面 1111 B BCCB C, 1 A N平面NBC， 111 1 1 2 A NB C, 11 1 2 AMNCB MNCMNNCANBC VVVV 1 11111 (2 1) 1 23626 NBC SA N 7 （ 2013 东城二模）如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相 垂直， MBNC,MNMB （ 1）求证：平面AMB平面DNC； （ 2）若MCCB，求证BCAC. 证明：（1
7、）四边形AMND是矩形， M N A B C D A B C A1 B1 C1 M N MA/DN MB/NC MAMBMI，DNNCNI， 平面 AMB/ 平面DNC （2）AMND是矩形， AMMN. AMNDMBCN平面平面， 且AMNDMBCN = MNI平面平面， AMMBCN平面. BCMBCN平面，AMBC. ,MCBCMCAMMI， BCAMC平面 . ACAMC平面， BCAC. 8 （ 2012 广东高考）如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD， PDAD，E是PB中点，F是DC上的点，且 1 2 DFAB，PH为PAD中AD边 上的高 （1）证明：PH平
8、面ABCD； （2）若 1PH ，2AD， 1FC ，求三棱锥 EBCF的体积； （3）证明：EF平面PAB 【解析】（1）证明：AB平面PAD，PH平面PAD， AB PH， PH为PAD中AD边上的高，PHAD， ABADAI ，PH平面 ABCD （2）E是PB中点， H P A D C B F E 点 E到平面 BCF 的距离 d 等于点 P到平面 BCF 的距离的一半， 11 22 dPH 112 12 222 BCF SCFAD ， 11212 332212 EBCFBCF VSPH （3）取PA的中点 Q ，连结 EQ 、 DQ ， E是PB中点， QE AB且 1 2 QEAB
9、 ， 又DFAB且 1 2 DFAB ， QE DF且 QEDF ， 四边形 EQDF 是平行四边形，EF QD AB平面PAD， ABQD ， 又PD AD， QDPA ABPAAI P， QD 平面PAB EF QD ，EF平面PAB. 9（2012 江苏高考 ） 如图，在直三棱柱 111 ABCA B C中， 1111 A BAC，DE，分别是棱 1 BCCC， 上的点（点D不同于点C） ，且ADDEF，为 11 B C的中点 求证：（1）平面ADE平面 11 BCC B； （2）直线 1 /AF平面ADE D E F A B C A1 B1 C1 Q E F B C D A P H 【
10、证明】（1） 111 ABCA B C是直三棱柱， 1 CC平面ABC 又AD平面ABC， 1 CCAD 又ADDE, 1 CCDEEI， AD平面 11 BCC B 又 AD平面ADE， 平面 ADE 平面 11 BCC B （2） 1111 A BAC ，F为 11 B C的中点， 111 A FB C 又 1 CC平面 111 A BC， 1 A F平面 111 A B C， 11 CCA F 又 1111 CCB CCI， 1 A F平面 111 A B C 由（ 1）知， AD 平面 11 BCC B， 1 A FAD 又 AD 平面 1 , ADEA F平面ADE， 直线 1 /A
11、 F平面ADE 10 （2013广州一模）如图所示，在三棱锥ABCP中，6ABBC，平面PAC平 面ABC， ACPD 于 点D， 1AD ， 3CD ， 2PD （1）求三棱锥ABCP的体积； （2）证明PBC为直角三角形 、 【解析】（1）证明：平面PAC平面ABC， 平面PACI平面ABCAC， PD平面PAC，ACPD， PD平面 ABC 记AC边上的中点为E，如图： B P A C D B P A CD E 在ABC中，ABBC，ACBE 6ABBC， 4AC ， 2222 ( 6)22BEBCCE 1 2 2 2 ABC SACBE 2PD，三棱锥ABCP的体积 1 3 PABCA
12、BC VSPD 14 2 2 22 33 （2）连接BD， 在RtBDE中， 90BED o ，2BE， 1DE ， 2222 213BDBEDE（） 在BCD中， 3CD ，6BC，3BD， 222 BCBDCD，BCBD 由（ 1）知PD平面ABC， BC平面ABC，BCPD BDPDDI， BC平面PBD PB平面PBD，BCPB PBC为直角三角形 11、 （2013 汕头二模）如图，在边长为4 的菱形ABCD中，60BAD o ，点E、F分别 在边CD、CB上点E与点C、D不重合，EFAC，EFACOI，沿EF将CEF 翻折到PEF的位置，使平面PEF平 面ABFED （1）求 证
13、： BD 平 面 POA； （ 2）记 三 棱 锥PABD的 体 积 为 1 V， 四 棱 锥PBDEF的 体 积 为 2 V， 且 1 2 4 3 V V ，求此时线段PO的长 P A B C D O E F F E O D C B A B P A C D E 【解析】（1）证明：在菱形 ABCD中， BDAC ， BDAO EFAC ， POEF ， 平面PEF平面 ABFED ， 平面 PEF I 平面ABFEDEF，且 PO平面PEF， PO平面ABFED， BD 平面ABFED， POBD AOPOOI，BD平面 POA （2）设 AOBDHI 由（ 1）知， PO平面ABFED，
14、PO为三 棱 锥PABD及 四 棱 锥PBDEF的 高 ， 12 11 , 33 ABDBFED VSPO VSPO 梯形 ， 1 2 4 3 V V ， 33 44 ABDCBDBFED SSS 梯形 ， 1 4 CEFCBD SS， ,BDAC EFAC， / /EFBD，CEFCBD 21 () 4 CEF CBD SCO CHS ， 111 2 33 222 COCHAH， 3POOC 12 （2013 佛山二模）如图所示四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD 中，ABAD，/ /BCAD，2PAABBC，4AD. （1）求四棱锥PABCD的体积； （2）求证 : CD平
15、面PAC； （3）在棱PC上是否存在点 M（异于点C） ，使得BM平面PAD，若存在， 求 PM PC 的值，若不存在，说明理由 A D C B P 图 4 G E F A B C D 图 5 D G B F C A E 【 解析】 （ 1）显然四边形 ABCD为直角梯形， 11 ()(24)26 22 ABCD SBCADAB PA底面ABCD， 11 624 33 PABCDABCD VSPA (2) PA底面 ABCD，CD 底面 ABCD，PACD 在直角梯形ABCD中， 22 2 2ACABBC，2 2CD， 222 ACCDAD，ACCD 又PA ACAI ，CD平面PAC (3)
16、 不存在，下面用反证法证明： 假设存在点 M （异于点 C） ，使得BM平面PAD， /BCAD，BC平面PAD， / /BC平面PAD， BCBMBI， 平面PBC平面PAD， 而平面PBC与平面PAD相交，得 出矛盾 13 如图 4， 在边长为1 的等边三角形ABC中，,D E分别是,AB AC边上的点，ADAE， F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图5 所示的三棱锥 ABCF，其中 2 2 BC (1) 证明：DE/平面BCF； (2) 证明：CF平面ABF； (3) 当 2 3 AD时，求三棱锥FDEG的体积 FDEG V 【解析】（1）在等边三角形 ABC中，ADAE ADAE DBEC ,在折叠后的三棱锥ABCF中 也成立， / /DEBC , DEQ 平面BCF， BC平面BCF，/ /DE平面BCF； （2）在等边三角形ABC中， F 是BC的中点，所以AFBC， 1 2 BFCF. Q在三棱锥 ABCF 中， 2 2 BC， 222 BCBFCFCFBF BFCFFCFABFQ平面； （3）由（ 1）可知 / /GECF ，结合（ 2）可得GEDFG平面. 1 11 1 11313 3 23 2 3323324 FDEGEDFG VVDG FG GF