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1、抛 物 线 ) 0( 2 2 p pxy )0( 2 2 p pxy )0( 2 2 p pyx )0( 2 2 p pyx 定义 平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫 做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 MFM =点 M到直线 l 的距离 范围 0,xyR0,xyR,0xR y,0xR y 对称性关于x轴对称关于 y轴对称 焦点 ( 2 p ,0) ( 2 p ,0) (0, 2 p ) (0, 2 p ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率e=1 准线 方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点
2、的距离相等。 顶点到准 线的距离2 p 焦点到准 线的距离 p 焦半径 11(,)A xy 1 2 p AFx 1 2 p AFx 1 2 p AFy 1 2 p AFy 焦 点弦 长 AB12()xxp 12 ()xxp 12 ()yyp 12 ()yyp x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 焦点弦 AB 的几 条性质 11 (,)A xy 22 (,)B xy 以AB为直径的圆必与准线 l 相切 若AB的倾斜角为，则 2 2 sin p AB若AB的倾斜角为，则 2 2 cos p AB 2 12 4 p x x 2 12 y yp 112AFB
3、FAB AFBFAFBFAFBFp 切线 方程 00 ()y yp xx 00 ()y yp xx 00 ()x xp yy 00 ()x xp yy 一直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线， ，消 y 得： （1）当 k=0时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当 k0 时， 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点； 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗 ?（不一定） 二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 l ：bkxy抛物线，)0( p 联立方程法：
4、 pxy bkxy 2 2 0)(2 222 bxpkbxk 设交点坐标为),( 11 yxA,),( 22 yxB，则有0 , 以及 2121 ,xxxx，还可进一步求出 o x 22 ,B xy F y 11 ,A x y bxxkbkxbkxyy2)( 212121 ， 2 2121 2 2121 )()(bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1.相交弦 AB的弦长 21 2 21 2 21 2 4)(11xxxxkxxkAB a k 2 1 或 21 2 212212 4)( 1 1 1 1yyyy k yy k AB a k 2 1
5、b. 中点),( 00 yxM, 2 21 0 xx x， 2 21 0 yy y 点差法： 设交点坐标为),( 11 yxA，),( 22 yxB，代入抛物线方程，得 1 2 1 2pxy 2 2 2 2 pxy 将两式相减，可得 )(2)( 212121 xxpyyyy 2121 21 2 yy p xx yy a.在涉及斜率问题时， 21 2 yy p kAB b.在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段AB的 中 点 为),( 00 yxM， 002121 21 2 22 y p y p yy p xx yy ， 即 0 y p kAB， 同理，对于抛物线)0(2 2 p
6、pyx，若直线 l 与抛物线相交于BA、两点，点),( 00 yxM 是弦AB的中点，则有 p x p x p xx kAB 0021 2 2 2 （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存 在，且不等于零） 抛物线练习及答案 1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2， 1）的距离与点P到抛物线焦点距离之 和取得最小值时，点P的坐标为。 （ 4 1 ,1） 2、已知点P是抛物线 2 2yx上的一个动点，则点P 到点（ 0，2）的距离与P 到该抛物线准线的 距离之和的最小值为。 17 2 3、直线3yx与抛物线 2 4yx交于,A B
7、两点，过,A B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分 别为,P Q，则梯形APQB的面积为。48 4、设O是坐标原点，F是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正 向的夹角为60，则OA为。 5、抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部 分相交于点 A，AKl ，垂足为 K，则AKF 的面积是。4 3 6、已知抛物线 2 :8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF， 则AFK的面积为。8 7、已知双曲线 22 1 45 xy ，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 为。 8、在平面直
8、角坐标系xoy中，有一定点(2,1)A,若线段OA的垂直平分线过抛物线 2 2(0)ypx p则该抛物线的方程是。 9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点 P(2，4)，则该抛 物线的方程是。 2 8yx 10、抛物线 2 yx上的点到直线4380xy距离的最小值是。 4 3 11、已知抛物线y 2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y1 2+y 2 2 的最小 值是。 32 12、若曲线 2 y|x|1 与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件 是。k=0,-12 时，点 P（ x,0）存在无
9、穷多条“ 相关弦 ”.给定 x02. （1）证明：点P（x0,0）的所有 “ 相关弦 ” 的中点的横坐标相同； （2）试问： 点 P（x0,0）的“ 相关弦 ” 的弦长中是否存在最大值？若存在， 求其最大值 （用 x0表示） ： 若不存在，请说明理由. 解: （1）设 AB 为点 P（x0,0）的任意一条 “ 相关弦 ” ，且点 A、B 的坐标分别是（x1,y1） 、 （x2,y2） （x1 x2）,则 y 2 1=4x1, y 2 2=4x2,两式相减得（ y1+y2） （ y1-y2）=4（x1-x2）.因为 x1x2,所以 y1+y20. 设直线 AB 的斜率是k，弦 AB 的中点是M（
10、xm, ym）,则 k= 12 1212 42 m yy xxyyy . 从而 AB 的垂直平分线l 的方程为 (). 2 m mm y yyxx 又点 P（x0,0）在直线 l上，所以 0 (). 2 m mm y yxx 而0, m y于是 0 2. m xx故点 P（x0,0）的所有 “ 相关弦 ” 的中点的横坐标都是x0-2. (2)由(1)知，弦 AB 所在直线的方程是() mm yyk xx，代入 2 4yx中， 整理得 222 2 ()2()0. mmmm k xk ykxxykx（ ） 则 12 xx、是方程（ ）的两个实根，且 2 122 () . mm ykx xx k 设
11、点 P的“ 相关弦 ”AB的弦长为l，则 22222 121212 ()()(1)()lxxyykxx 2222 121212 2 2 2 2 2242 222222 00 (1)()44(1)() 2 () 4 4(1) 4 (4)(4)4(1)16 4(1)2(1)4(1)2(3) . m mm m m m m mmmmmmm mmmm kxxx xkxx x yx y x y y yxyyyxx xyxxyx 因为 03,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 2 m y =2(x0-3)时,l 有最大值2(x0-1).若 23 时，点 P（x0,0）的
12、 “ 相关弦 ” 的弦长中存在最大值，且最大值为 2（ x0-1） ；当 20)的焦点为 F，准线为 l ，经过 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，交准线于 C点，点 A在 x 轴上方， AK l ，垂足为 K，若| BC | 2| BF | ，且| AF| 4，则 AKF的面积是 ( ) A4 B33 C43 D8 例 4、过抛物线 y 22px( p0)的焦点 F的直线交抛物线于点 A、B，交其准线 l 于点 C， 若| BC | 2| BF | ，且| AF | 3 则此抛物线的方程为 ( ) Ay 23 2x By 29x C y 29 2x D y 23x 三、抛物线的综合问题
13、例 5、(2011江西高考 ) 已知过抛物线 y 22px( p0)的焦点，斜率为 22的直线交抛 物线于 A(x1，y1)，B( x2，y2)( x10)上，M点到抛物线 C的焦点 F 的距离 为 2，直线 l ：y 1 2xb 与抛物线 C交于 A，B 两点 (1) 求抛物线 C的方程； (2) 若以 AB为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程 例题答案解析 一、抛物线的定义及其应用 例 1、(1) 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0) ，准线是 x1. 由抛物线的定义知：点P到直线 x1 的距离等于点 P到焦点 F的距离 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点 P到点 A( 1,1)
14、的距离与点 P到 F(1,0) 的距离之和最小显然，连结AF交曲线于 P点，则所求的最小值为 | AF | ，即为5. (2) 如图，自点 B 作 BQ垂直准线于 Q ，交抛物线于点P1，则| P1Q | | P1F|. 则有| PB | | PF | | P1B| | P1Q | | BQ | 4. 即| PB | | PF| 的最小值为 4. 例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即 p4，根据已 知只要 | FM |4 即可根 据抛物线定 | FM | y02 由 y024，解得 y02，故 y0 的取值范围是 (2 ， ) 二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3、 设点 A( x1
15、 ， y 1) ， 其中 y10.由点 B作抛物线的准线的垂线， 垂足为 B1. 则有 | BF| | BB1| ；又| CB | 2| FB | ，因此有 | CB | 2| BB 1| ，cosCBB1| BB 1| | BC | 1 2， CBB 1 3 . 即直线 AB与x轴的夹角为 3 . 又|AF| |AK| x1 p 24，因此 y14sin 3 23，因 此AKF的面积等于 1 2| AK | y 11 242 343. 例 4分别过点 A、B 作 AA1、BB1垂直于 l ，且垂足分别为A1、B1，由已知条件 | BC | 2| BF | 得| BC | 2| BB1| ，
16、BCB 130，又 | AA1| | AF | 3， | AC | 2| AA1| 6，| CF | | AC | | AF | 633，F 为线段 AC的中点故点 F 到准线的距离为 p1 2| AA 1| 3 2，故抛物线的方程为 y 23x. 三、抛物线的综合问题 例 5、 (1) 直线 AB的方程是 y22(xp 2)， 与 y 22px 联立，从而有 4x25pxp20， 所以： x1x25p 4 ，由抛物线定义得： | AB | x1x2p9， 所以 p4，从而抛物线方程是y 28x. (2) 由 p4,4 x 25pxp20 可简化为 x25x40，从而 x 11，x24，y12
17、2， y242，从而 A(1 ，22)，B(4,42)； 设OC(x3，y3)(1，22) (4,42)(4 1,422 2) 又 y 2 38x3，即22(21) 28(41) 即(21) 241. 解得0，或2. 例 6、 (1) 设动点 P的坐标为 ( x，y)，由题意有x1 2 y 2| x| 1. 化简得 y2 2x2| x|. 当 x0 时，y24x；当 x0)的准线为 xp 2，由抛物线定义和已知条件可知 | MF | 1( p 2)1 p 22，解得 p2, 故所求抛物线 C的方程为 y 24x. (2) 联立 y 1 2xb， y 24x 消去 x 并化简整理得 y 28y8
18、b0. 依题意应有 6432b0，解得 b2. 设 A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则 y1y28， y1y28b，设圆心 Q (x0 ，y 0)，则应用 x0x 1 x 2 2 ，y 0y 1 y 2 2 4. 因为以 AB为直径的圆与 x 轴相切，所以圆的半径为r| y0| 4. 又| AB | x1 x 2 2 y1 y 2 2 14y1 y 2 2 5y1 y 2 24y 1y2 56432b 所以| AB | 2r 56432b8，解得 b 8 5. 所以 x1x22b2y12b2y24b16 48 5 ， 则圆心 Q的坐标为 ( 24 5 ，4)故所求圆的方程为 (x24 5
19、 ) 2( y4)216. 练习题 1 已知抛物线 x 2ay的焦点恰好为双曲线 y 2 x 22的上焦点，则a等于 ( ) A1 B4 C8 D 16 2抛物线 y4x 2 上的一点 M到焦点的距离为 1，则点 M的纵坐标是 ( ) A 17 16 B 15 16 C. 7 16 D.15 16 3(2011辽宁高考 ) 已知 F 是拋物线 y 2x 的焦点， A，B是该拋物线上的两点， | AF| | BF | 3，则线段 AB的中点到 y 轴的距离为 ( ) A. 3 4 B1 C. 5 4 D.7 4 4已知抛物线 y 22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )
20、A相离B相交 C相切D不确定 5(2012宜宾检测 ) 已知 F 为抛物线 y 28x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物 线于A、B两点，则| FA | FB |的值等于 ( ) A4 2 B8C 82 D16 6在 y2x 2 上有一点 P，它到 A(1,3) 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的 坐标是 ( ) A( 2,1) B(1,2) C(2,1) D (1,2) 7设抛物线 y 28x 的焦点为 F，准线为 l ，P为抛物线上一点， PA l ，A为垂足如 果直线 AF的斜率为3，那么 | PF| ( ) A43 B8 C83 D16 8(2011陕西高考 ) 设抛
21、物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程 是 ( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x 9(2012永州模拟 ) 以抛物线 x 216y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的 方程为 _ 10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q ( 3，m ) 到焦点的距 离是 5，则抛物线的方程为 _ 11已知抛物线 y 24x 与直线 2xy40 相交于 A、B两点，抛物线的焦点为 F，那 么|FA| |FB| _. 12过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于A( x1，y1)，B( x2， y 2)两点，若 x1 x26，那么 | AB | 等于_ 13根
22、据下列条件求抛物线的标准方程： (1) 抛物线的焦点是双曲线 16 x 29y2144 的左顶点； (2) 过点 P(2 ，4) 14已知点 A( 1,0) ，B(1，1)，抛物线 C ：y 24x，O为坐标原点，过点 A的动直 线 l 交抛物线 C于 M ，P两点，直线 MB交抛物线 C于另一点 Q . 若向量 OM 与OP 的夹 角为 4 ，求 POM 的面积 练习题： 1解析 ：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0 ，a 4)，双曲线的上焦点为 (0,2) ，依题 意则有 a 42 解得 a8. 2解析：抛物线方程可化为x 2y 4，其准线方程为 y 1 16. 设 M ( x 0，y0)
23、，则由抛物线 的定义，可知 1 16 y 01? y0 15 16. 3解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB中点到y轴的距离为： 1 2(| AF| | BF |) 1 4 3 2 1 4 5 4. 4解析 ：设抛物线焦点弦为AB ，中点为 M ，准线 l ，A1、B1分别为 A、B在直线 l 上的 射影，则 | AA1| | AF | ，| BB 1| | BF | ，于是 M到 l 的距离 d 1 2(| AA 1| | BB1|) 1 2(| AF| | BF |) 1 2| AB | 半径，故相切 5解析 ：依题意 F(2,0) ，所以直线方程为yx2 由 yx2， y
24、28x ，消去 y 得 x 2 12x40. 设 A( x1，y1)，B( x2，y2) ，则| FA | | FB | |( x12) ( x22)| | x1 x2| (x1x2) 24x 1x2144168 2. 6解析 ：如图所示，直线l 为抛物线 y2x 2 的准线， F 为其焦 点，PN l ，AN1l ，由抛物线的定义知， | PF | | PN | ，| AP | | PF| | AP | | PN | | AN1| ，当且仅当A、P、N 三点共线时取等 号 P点的横坐标与 A点的横坐标相同即为1，则可排除 A、C、D.答案： B 7解析 ：设抛物线 y 28x 的焦点为 F，
25、准线为 l ，P为抛物线上一点， PA l ，A为垂 足如果直线 AF的斜率为3，那么 | PF| ( ) A43 B8 C83 D16 8解析 ：由准线方程 x2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同 时得 p4，所以标准方程为 y 22px8x 9解析 ：抛物线的焦点为F(0,4) ，准线为 y4，则圆心为 (0,4) ，半径 r 8. 所 以，圆的方程为 x 2( y4)264. 10解析：设抛物线方程为 x 2ay( a0) ，则准线为 ya 4. Q ( 3，m ) 在抛物线上， 9am . 而点 Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，| m ( a 4)| 5. 将 m
26、 9 a代入， 得| 9 a a 4| 5，解得， a2，或 a18，所求抛物线的方程为 x 22y，或 x2 18y. 11解析：由 y 24x 2xy40 ，消去 y，得 x 25x40(*) ，方程(*) 的两根为 A、B 两点的横坐标，故x1 x 25，因为抛物线 y 24x 的焦点为 F(1,0) ，所以 | FA| | FB| ( x11) ( x21)7 12解析 ：因线段 AB过焦点 F，则| AB | | AF | | BF |. 又由抛物线的定义知 | AF | x1 1，| BF | x21，故| AB | x1x228. 13解析 ：双曲线方程化为 x 2 9 y 2
27、161，左顶点为 (3,0) ，由题意设抛物线方程为 y 22px( p0)，则p 23，p6，抛物线方程为 y 212x. (2) 由于 P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2mx 或 x 2ny，代入 P点坐标求得 m 8，n1， 所求抛物线方程为y 28x 或 x2y. 14解 ：设点 M ( y 2 1 4 ，y 1) ，P( y 2 2 4 ，y 2) ， P，M ，A三点共线， kAMkPM， 即 y1 y 2 1 4 1 y 1 y 2 y 2 1 4 y 2 2 4 ，即 y1 y 2 14 1 y1 y 2，y 1y24. OM OP y 2 1 4 y 2 2 4 y 1y25. 向量OM 与 OP 的夹角为 4 ， | OM| |OP | cos 4 5. SPOM 1 2| OM| | OP| sin 4 5 2.