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1、高中数学公式及知识点速记 1、函数的单调性 (1) 设 1212 , ,xxa bxx、且那么 ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是增函数； ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导， 若0)(xf，则)(xf为增函数； 若0)(xf，则)(xf为减函数； 若( )=0fx，则)(xf有极值。 2、函数的奇偶性 若)()(xfxf，则)(xf是偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称。 若)()(xfxf，则)(xf是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。 3、函数)(xfy在点 0 x处的导数的几何意义 函数)(xfy在点 0 x处的
2、导数)(0xf是曲线)(xfy在)(,( 00 xfxP处的切线的斜率，相应 的切线方程是)( 000xxxfyy. 4、几种常见函数的导数 C0； 1 )( nn nxx；xxcos)(sin ； xxsin)(cos ； aaa xx ln)( ； xx ee )(； ax x a ln 1 )(log ； x x 1 )(ln 5、导数的运算法则 （1） ()uvuv. （2） ()uvu vuv. （3） 2 () uuvuv vv . 6、求函数 yfx 的极值的方法是：解方程0fx得 0 x当 0 0fx时： 如果在 0 x附近的左侧0fx，右侧0fx，那么 0 fx是极大值； 如
3、果在 0 x附近的左侧0fx，右侧0fx，那么 0 fx是极小值 7、分数指数幂 (1) m nm n aa. (2) 11 m n m nm n a a a . 8、根式的性质 （1）() nn aa. （2）当 n为奇数时， nn aa； 当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . 9、有理指数幂的运算性质 (1) rsrs aaa； (2)() rsrs aa； (3)() rrr aba b. 10、对数公式 （1）指数式与对数式的互化式:log b a NbaN 。 （2）对数的换底公式 : log log log m a m N N a . （ 3 ）对数恒等式
4、： loglog n aa bnb ；loglogm n a a n bb m ； logaN aN；log 10 a ；log1 aa 11、常见的函数图象 k0 y=kx+b o y x a0 y=ax 2+bx+c o y x 01 1 y=a x o y x 01 1 y=log ax o y x 12、同角三角函数的基本关系式 22 sincos1， tan= cos sin . 13、正弦、余弦的诱导公式 诱导公式一： sin(+k 2)=sin(+2k)=sin； cos(+k 2)=cos(+2k)=cos tan(+k 2)=tan(+2k)=tan 诱导公式二： sin()
5、=sin； cos()=cos； tan()=tan. 诱导公式三： sin （）=sin； cos（）=cos； tan（）=tan. 诱导公式四： sin()=sin； cos()=cos； tan()=tan. 诱导公式五： sin( 2 )=cos； cos( 2 )=sin； 诱导公式六： sin( 2 )=cos； cos( 2 )=sin. 14、和角与差角公式 sin()sincoscossin; cos()coscossinsinm; tantan tan() 1tantanm . sincosab= 22 sin()ab；( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,
6、tan b a ). 15、二倍角公式 sin2sincos. 2222 cos2cossin2cos112sin. 2 2 tan tan2 1tan . 公式变形： ; 2 2cos1 sin,2cos1sin2 ; 2 2cos1 cos,2cos1cos2 22 22 16、三角函数的周期 函 数sin()yAx及函 数cos()yAx的 周期 2 | T， 最 大 值 为 |A| ； 函 数 tan()yAx（ 2 xk）的周期 | T. 17. 正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC （R为ABC外接圆的半径） . 2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC
7、:sin:sin:sina b cABC 18. 余弦定理 222 2cosabcbcA; 222 2cosbcacaB; 222 2coscababC. 19. 面积定理 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. 20、三角形内角和定理 在ABC中，有 ABC ()CAB dx 222 CAB 222()CAB. 21、三角函数的性质 22、a 与 b 的数量积 : ab=| a| | b|cos 23、平面向量的坐标运算 (1) 设 A 11 (,)xy，B 22 (,)xy, 则 2121 (,)ABOBOAxx yy uu u ruu u ruu r (2) 设 a=
8、 11 (,)xy, b= 22 (,)xy，则 a+b= 1212 (,)xxyy. (3) 设 a= 11 (,)xy, b= 22 (,)xy，则 a-b= 1212 (,)xxyy . (4) 设 a=( , ),x yR，则a=(,)xy. (5) 设 a= 11 (,)xy, b= 22 (,)xy，则 ab= 1212 x xy y. (6) 设 a=),(yx，则 22 yxa 24、两向量的夹角公式： 1212 2222 1122 cos x xy ya b xyxyab r r rr；( a= 11 (,)xy , b= 22(,)xy ). 25、平面两点间的距离公式：
9、,A B d =| |AB uu u r 22 2121 ()()xxyy 26、向量的平行与垂直：设 a= 11 (,)xy, b= 22 (,)xy，则 abb=a 1221 0x yx y. abab=0 1212 0x xy y. 27、数列的通项公式与前n 项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ；( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaaL). 28、等差数列的通项公式 11 (1) n aanddnad； 29、等差数列其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n na d . 30、等差数列的性质： 等差中项
10、：2 n a= 1n a+ 1n a； 若 m+n=p+q ，则 m a+ n a= p a+ q a； m S， 2m S， 3m S分别为前 m ，前 2m ，前 3m项的和，则 m S， 2m S- m S， 3m S- 2m S成等差数列。 31、等比数列的通项公式 1 1 n n aa q； 32、等比数列前 n 项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q q s naq 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q q s naq . 33、等比数列的性质： 等比中项： 2 n b = 11nn bb； 若 m+n=p+q ，则 mn b b = pq bb
11、 ； m S， 2m S， 3m S分别为前 m ，前 2m ，前 3m项的和，则 m S， 2m S- m S， 3m S- 2m S成等比数列。 34、常用不等式： （1）,a bR 22 2abab( 当且仅当 ab 时取“ =”号) （2）,a bR 2 ab ab ( 当且仅当 ab 时取“ =”号) 35、直线的 3 种方程 （1）点斜式： 11 ()yyk xx； ( 直线 l 过点 111 (,)P x y，且斜率为 k ) （2）斜截式：ykxb；(b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ). （3）一般式：0AxByC；( 其中 A、B不同时为 0). 36、两条直线的平行和垂
12、直 若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 |,llkkbb且 ; 1212 1llkk . 37、点到直线的距离 00 22 |AxByC d AB ； ( 点 00 (,)P xy, 直线 l ：0AxByC). 38、 圆的 2 种方程 （1）圆的标准方程 222 ()()xaybr. （2）圆的参数方程 cos sin xar ybr . 39、点与圆的位置关系：点 00 (,)P xy与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种 若 22 00 ()()daxby，则 dr点 P 在圆外 ; dr点 P 在圆上 ; dr点 P 在圆内 . 40、直线与
13、圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种 : 其中 22 BA CBbAa d 2 =4ac0 b dr相离方程组无解：； 2 =4ac0 b dr相切方程组有唯一解：； 2 =4ac0 b dr相交方程组有两个解：. 41、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆： 22 22 1(0) xy ab ab ，焦点（ c,0 ） ， 222 bca，离心率 2 = 2 ac e ca 焦距 长轴 ， 参数方程是 cos sin xa yb . 双曲线：1 2 2 2 2 b y a x (a0,b0) ，焦点（c,0 ） ， 222 ba
14、c，离心率 2 = 2 ac e ca 焦距 长轴 ， 渐近线方程是x a b y. 抛物线：pxy2 2 ，焦点)0, 2 ( p , 准线 2 p x。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线 的距离 . 42、双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程： 22 22 0 xy ab x a b y . 43、抛物线pxy2 2 的焦半径公式 抛物线 2 2ypx的焦半径 2 | 0 p xPF.（抛物线上的点 （ 0 x， 0 y）到焦点（ 2 p ，0）距离。 ） 44、平均数、方差、标准差的计算 平均数 : n xxx x n21 ； 方差
15、:)()()( 122 2 2 1 2 xxxxxx n sn； 标准差 : )()()( 1 22 2 2 1 xxxxxx n s n ； 45、回归直线方程 $ yabx，其中 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx . 46、独立性检验 原 命 题 若 p则 q 否 命 题 若 p 则 q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 q 则 p 互 为 逆 否 互 逆否 互 为 逆 否 互 互 逆 否 互 )()()( )( 2 2 dbcadcba bdacn K ；n=a+b+c+d. K6.635，有 99
16、% 的把握认为 X和 Y有关系； K3.841，有 95% 的把握认为 X和 Y有关系； K2.706，有 90% 的把握认为 X和 Y有关系； K2.706，X 和 Y没关系。 47、复数 zabi 共轭复数为 zabi ； 复数的相等：,abicdiac bd； 复数 zabi 的模（或绝对值）|z=|abi= 22 ab ； 复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdiacbd i； (2)()()()()abicdiacbd i； (3)()()()()abicdiacbdbcad i； (4) 222222 ()() acbdbcad i acbdbcad abicdii
17、cdcdcd 复数的乘法的运算律 交换律 : 1221 zzzz. 结合律 : 123123 ()()zzzzzz. 分配律 : 1231213 ()zzzzzzz . 48、参数方程、极坐标化成直角坐标 y x sin cos ； )0(tan 222 x x y yx 49、命题、充要条件 充要条件（记p表示条件，q表示结论；即命题“若p，则 q” ） 充分条件：若 pq ，则 p 是 q充分条件 . 必要条件：若 qp ，则p是q必要条件 . 充要条件：若 pq ，且 qp ，则p是q充要条件 . 命题“若 p，则 q”的否命题：若p ，则q ； 否定：若 p，则q 50、真值表 51、
18、量词的否定 含有一个量词的全称命题的否定: 1y2y 1x a b 2 x c d 非（p ） 或（ pq）且 (p q) 真真假真真 真假假真假 假真真真假 假假真假假 全称命题 p：,( )xMp x, 它的否定p： 00 ,()xMp x 含有一个量词的特称命题的否定: 特称命题 p： 00 ,()xMp x , 它的否定p： ,( )xMp x 52、空间点、直线、平面之间的位置关系 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理 1 的作用：判断直线是否在平面内 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理 2 的作用：确定一个平面的依据。
19、推论 1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。 推论 2：两条相交直线确定一个平面。公理 2 推论 3：两条平行直线确定一个平面。 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理 3 的作用：判定两个平面是否相交的依据 53、空间中直线与直线之间的位置关系 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内；有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内；没有公共点； 异面直线：不在同一个平面内；没有公共点。 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c 是三条直线 ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递
20、性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 C B A P L 共面直线 ac 注意点： 1. 两条异面直线所成的角(0， ； 2. 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 3. 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 54、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线在平面外直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线在平面平行 没有公共点 注：直线与平面相交或平行的情况
21、统称为直线在平面外，可用a 来表示 a a=A a 55、直线与平面平行的判定 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行。简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a b a ab 56、平面与平面平行的判定 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行。 符号表示： a b ab = P a b 判断两平面平行的方法有三种： （1）判定定理； （2）平行于同一平面的两个平面平行； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 57、直线与平面、平面与平面平行的性质 定理：一条直线与一个平面平行， 则过这条直
22、线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： 2 = a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。 58、直线与平面垂直的判定 定义 ：如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直， 记作 l 。l 如图，直线与平面垂直时 , 它们唯一公共点P叫做垂足。 p 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意： 1. 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； 2. 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 59、平面与平面垂直的判定 两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 60、直线与平面、平面与平面垂直的性质 定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。