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1、高一数学期中复习之一圆 一基本知识之关于圆的方程 1. 圆心为),(baC，半径为r的圆的标准方程为：)0()()( 222 rrbyax.特殊地， 当0ba时，圆心在原点的圆的方程为： 222 ryx. 2. 圆的一般方程0 22 FEyDxyx，其中04 22 FED. 圆心为点, 22 DE ，半径 22 4 2 DEF r， 3. 二元二次方程0 22 FEyDxCyBxyAx，表示圆的方程的充要条件是： 2 x项 2 y项的系数相同且不为0，即0CA；没有xy项，即0B；04 22 AFED. 4. 圆C： 222 ()()xaybr的参数方程为 sin cos rby rax (为
2、参数 ). 特殊地， 222 ryx的参数方程为 sin cos ry rx (为参数 ). 5. 圆系方程：过圆 1 C： 22 111 0xyD xE yF与圆 2 C： 22 222 0xyD xE yF 交点的圆系方程是 2222 111222 0xyD xE yFxyD xE yF(不含圆2 C), 当 1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程 . 二基本知识之关于直线与圆的位置关系 1.将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆的半径为r，圆心C到直线l的 距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系： 2.直线截圆所得弦长的计算方法： 利用弦长计算公式：设直线ykx
3、b与圆相交于 11 ,A xy， 22 ,B xy两点， 则弦 22 1212 ABxxyy 2 1 x k a ； 利用垂径定理和勾股定理： 22 2ABrd(其中r为圆的半径，d直线到圆心的距离). 3. 圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下关系： 位置关系外离外切相交内切内含 几何特征dRrdRrRrdRrdRr0dRr 代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解 位置关系相切相交相离 几何特征 drdrdr 代数特征 000 三分类例题练习 1. 关于圆的方程： 例 1：求满足下列各条件圆的方程： (1)以)9,4(A，)3,6(
4、B为直径的圆；(2)与, x y轴均相切且过点(1,8)的圆； (3)求经过)2,5(A，)2,3(B两点，圆心在直线32yx上的圆的方程； (4)求与圆5 22 yx外切于点)2, 1(P，且半径为52的圆的方程 . 解： （ 1） 22 1012510xyxy （2） 22 (13)(13)169xy或 22 (5)(5)25xy （3） 22 (2)(1)10xy （4） 22 (3)(6)20xy 2. 关于点和圆的位置 例 2：(1)已知点)12,15(aaP在圆169) 1( 22 yx的内部 ,求a的取值范围 . (2)直线220xyk与直线230xyk的交点在圆 22 25xy
5、上，求k的值 . (3)已知直线01byax与圆:O 22 1xy相交，问点),(ba的圆O位置关系如何？ 解： (1)11a；(2)1k；(3)圆外 3. 圆上的点的用法 例 3：(1)已知实数x、y满足方程 22 410xyx.分别求 y x ，yx，及 22 xy的最大值和最小值. (2)平面上两点1,0A、1,0B，在圆C： 22 344xy上取一点P， 求使 22 APBP取得最小值时点P的坐标 . (3)圆 22 2430xyxy上到直线10xy的距离为2的点共有个. (4)求圆0122 22 yxyx上的动点Q到直线0843yx距离的最小值 . 解： (1) 22 33; 626
6、2; 74 374 3 y x yx xy ；(2)20， 9 12 (,) 55 P；(3)3 个；(4) 2. 4. 关于直线和圆的位置 例 4：(1)求圆04 22 xyx在点)3,1(P处的切线方程 . (2)求过点2,3P的圆 22 4xy的切线方程 . (3)已知直线l过点），（02，当直线l与圆xyx2 22 有两个交点时，其斜率k的取值范围 . (4)已知直线l：yxb与曲线C： 2 1yx有两个公共点，求b的取值范围 . (5)已知直线l：2830mxym和圆 22 :612200Cxyxy； m R时，证明l与C总相交； m取何值时， l被C截得弦长最短，求此弦长 . 解：
7、 (1) 320xy；(2) 2x 或512260xy； (3) 22 44 k； (4) 12b； (5) 直线l：2830mxym恒过的点(4, 3)在圆C之内，故对mR有l与C总相交； 2 15 5. 关于圆与圆的位置 例 5：(1)判断两圆01246 22 yxyx和 sin62 cos61 y x (为参数 )的位置关系 . (2) 已知圆 1 C： 22 2280xyxy与 2 C： 22 210240xyxy相交于,A B两点， 求公共弦AB所在的直线方程；求圆心在直线yx上，且经过,A B两点的圆的方程； 求经过,A B两点且面积最小的圆的方程. 解： （ 1）相交 (2) 公
8、共弦AB所在的直线方程为：240xy； 圆心在直线yx上，且经过,A B两点的圆的方程为： 22 (3)(3)10xy； 经过,A B两点且面积最小的圆的方程为： 22 (2)(1)5xy. 6. 关于对称问题 例 6：(1)求圆5)2( 22 yx关于原点0,0对称的圆的方程. (2)求圆 22 2690xyxy关于直线250xy对称的圆的方程. (3)点 A(3，3)发出的光线l 射到 x 轴上被 x 轴反射，反射光线与圆 22 :4470Cxyxy 相切，求光线l 所在直线方程 . (4)直线x m y 2 与圆04 22 nymxyx交于M、N两点，且M、N关于直线0yx 对称，求弦M
9、N的长 . 解： （ 1） 22 (2)5xy；（ 2） 22 (7)(1)1xy （3）3430xy和4330xy； （4）2,2,4mn弦长为 7.关于轨迹 例 7：(1)已知O为原点，定点(4,0)Q，点P是圆 22 4xy上一动点 . 求线段PQ中点的轨迹方程；设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程 . (2)过圆 22 :4O xy与y轴正半轴的交点A 作圆的切线l，M 为l上任意一点，再过M 作圆的 另一切线，切点为Q，当点 M 在直线l上移动时，求三角形MAQ 的垂心的轨迹方程. (3)已知圆 22 :(2)1Mxy，Q是x轴上的动点， QA，QB 分别切圆 M 于 A，B 两点， 求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程 . (4)过圆 22 4xy内一点)1 , 1(A作一弦交圆于CB、两点 ,过点CB、分别作圆的切线PCPB、， 两切线交于点P，求点P的轨迹方程 . 解： （ 1）线段PQ中点的轨迹方程为： 22 (2)1xy； 设POQ的平分线交PQ于R，R点的轨迹方程为 22416 () 39 xy： （2） 22 (2)4xy，去掉与y轴的交点 . （3） 2273 30 (2) 22 xyyy （ 4）40xy 详细答案图片版：注意解法不唯一