高中数学必修四第三章三角恒等变换.pdf

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1、必修四第三章：三角恒等变换 【知识点梳理】： 考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式 两角差的余弦：cos()coscossinsin 两角和的余弦：coscos cossinsin 两角和的正弦： sin sincoscossin 两角差的正弦：sinsincoscossin 两角和的正切： tantan tan 1tantan 两角差的正切： tantan tan 1tantan 注意： 对于正切,() 222 kkkkz 【典型例题讲解】 ： 例题 1. 已知 3 sin, 5 是第四象限角， 求sin ,cos,tan 444 的值 . 例题 2. 利用和、差角余弦公式求cos75 o

2、 、cos15 o 的值。 例题 3. 已知 sin= 3 2 ，)sin(= 5 1 ，求 tan tan 的值。 例题 4.cos13 oo 计算 sin43cos43 oo -sin13的值等于（） A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 例题 5. 已知sinsinsin0,coscoscos0,求cos()的值 . 例题 6. 已知 2 tan() 5 ， 1 tan() 44 ，那么tan() 4 的值是 _ 例题7. 如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分 别与单位圆相交于A，B 两点，已知A，B 的横坐标分别为 2 2 5 , 105

3、（1）求tan()的值；（ 2） 求2的值。 例题 8. 设ABC中，33tan Atan Btan Atan B， 3 4 sin Acos A，则此三角 形是 _三角形 【巩固练习】 练习 1.求值（ 1）sin 72 cos42cos72 sin 42 oooo ； （2）cos20 cos70sin 20 sin70 oooo； 练习 2. 0000 sin 45cos15cos 225sin15 的值为 3 （A） - 2 1 （B） - 2 1 （C） 2 3 （ D） 2 练习 3. 若tan3， 4 tan 3 ，则tan()等于（） 3 1 3 3 1 3 练习 4. 已知，

4、为锐角， 1 tan 7 ， 10 sin 10 ，求2. 考点二：二倍角公式及其推论： 在两角和的三角函数公式中，当TCS,时，就可得到二倍角的三角 函数公式 222 ,SCT ： sin2sinsincoscos sin2sincos； 22 cos2coscoscossinsincossin； 22222 cos2cossin1sinsin12sin； 22222 cos2cossincos(1cos)2cos1 2 tantan2 tan tan2tan 1tantan1tan 注意：2, 22 kkkz 二倍角公式不仅限于2是的二倍的形式， 其它如 4是 2的二倍， 24 是的二倍，

5、 3 3 2 是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键 二倍角公式的推论 升幂公式 ： 2 1cos22cos， 2 1 cos22sin 降幂公式：2sin 2 1 cossin； 2 2cos1 sin 2 ； 2 2cos1 cos 2 . 【典型例题讲解】 例题 l. 下列各式中，值为 3 2 的是（） A2sin15 cos15 oo B 22 cos 15sin 15 oo C 2 2sin 151 o D 22 sin 15cos 15 oo 例题 2.已知 1 sincos 5 ，且 4 3 2 ，则cos2的值

6、是 例题 3. 化简 0000 cos10cos20cos30cos40? 例题 4. 2 3sin 70 2cos 10 o o （） A 1 2 B 2 2 C2D 3 2 例题 5. 已知0 2 x，化简： 2 lg(costan12sin)lg2 cos()lg(1sin 2 ) 24 x xxxx. 例题 6. 若 42 x，则函数 3 tan2 tanyxx的最大值为。 例题 7. 已知2tan3tanAB，求证： sin 2 tan() 5cos2 B AB B . 例题 8. 试以cos表示 222 sin,cos,tan 222 【巩固练习】 练习 1.) 12 sin 12

7、 (cos(cos 12 sin 12 ) （） A 2 3 B 2 1 C 2 1 D 2 3 练习 2. 若 ABC的内角A 满足 3 2 2sin A，则 sincosAA=（ ） A. 3 15 B. 3 15 C. 3 5 D. 3 5 练习 3. 计算 3 coscos 55 ? 练习 4. 已知函数 12sin(2) 4 ( ) cos x f x x ， （1）求( )f x的定义域；（ 2）设是第四象限的角，且 4 tan 3 ，求( )f的值 . 练习 5. 证明 2 2cossin1 2 2sin() 4 1tan . 1tan 考点三：辅助角公式 22 2222 sin

8、cos(sincos ) mn ymanamnaa mnmn 22 22222222 2222 cos ,sin()()1) 11 (sincoscos sin)sin() mnmn mnmnmnmn yaaa mnmn Q令则 【典型例题讲解】 例题 1. 求函数sin3 cosyxx的周期， 最大值和最小值, 单调区间 , 对称轴， 对称中心， 如何由 y=sinx 平移得到 例题 2. 函数 2 ( )2cossin 2f xxx的最小值是。 例题 3. 设函数 22 ( )(sincos)2cos(0)fxxxx的最小正周期为 2 3 （）求的值（）若函数( )yg x的图像是由( )

9、yf x的图像向右平移 2 个单 位长度得到，求( )yg x的单调增区间 例题 4. 已知函数)(xf)0,0)(cos()sin(3xx为偶函数，且函 数)(xfy图象的两相邻对称轴间的距离为. 2 （）求) 8 (f的值； （）将函数)(xfy的图象向右平移 6 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长 到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数)(xgy的图象，求)(xg的单调递减区间. 例题 5. 已知函数 2 ( )(1 cot )sinsin()sin() 44 f xxxmxx （1）当0m时，求( )f x在区间 3 , 84 上的取值范围； （2）当tan2时， 3 ( ) 5

10、 f，求m的值 【巩固练习】 练习 1. 若方程sin3 cosxxc有实数解，则c的取值范围是 _. 练习 2. 函数3sin4cos5yxx的最小正周期是（） A. 5 B. 2 C. D. 2 练习 3. 若函数( )(13 tan )cosf xxx，0 2 x，则( )f x的最大值为 A1 B2C31D32 练习 4. 已知函数 2 ( )(1cos2 )sin,f xxx xR，则( )f x是（） A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为 2 的奇函数 C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为 2 的偶函数 练习 5. 设函数 2 ( )sin()2cos1 468 xx f

11、x （）求( )f x的最小正周期 （） 若函数( )yg x与( )yf x的图像关于直线1x对称， 求当 4 0, 3 x时( )yg x 的最大值 【方法总结】：三角恒等变换的基本题型 三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型： 1三角函数式的化简： （1）常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切化弦，异名化同名，异角化同 角；三角公式的逆用等 （2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少； 尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数 2三角函数的求值类型有三类： （1）给角求值 ：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利 用

12、三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值 ：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的 关键在于“变角” ，如2(),()()等，把所求角用含已知 角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角 ：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求 角的范围及函数的单调性求得角 3三角等式的证明： （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为 简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用 代入法、消参法或分析法进

13、行证明 三角函数的化简、证明、求值做题技巧总结 三角函数的化简、证明、计算的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观 察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函 数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: 1、巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与 其和差角的变换. 如()()，2()()， 2()()， 2 2 ， 222 等 例题 1、 已知 2 tan() 5 ， 1 tan() 44 ，那么tan() 4 的值是 _ 例题 2、 已知0 2 ， 且 1 29 cos()，

14、2 23 sin()， 求cos() 的值 例题 3、 已知 sincos2 1,tan() 1cos23 ，求tan(2 )的值 例题 4、 求值： 140cos40cos2 )40cos21(40sin 2 练习 1. 已知 ( 4 ， 4 3 )， (0， 4 ),cos( 4 ) 5 3 ，sin( 4 3 ) 13 5 ，求 sin( ) 的值 练习 2. 求值： 0 0100 0 1cos20 sin10 (tan5tan5 ) 2sin 20 2 、三角函数名互化( 切化弦 ) 例题 1、 求值sin50 (13 tan10 ) oo 例题 2、 函数( )(13 tan )co

15、sf xxx的最小正周期为 A2 B 3 2 C D 2 例题 3、 40cos270tan10sin310cos70tan=_ 练习 1、 化简： ) 4 (sin) 4 tan(2 1cos2 2 2 练习 2、 已知tan2，则 22 sinsincos2cos A. 5 4 B. 4 5 C. 4 3 D. 3 4 3、公式变形使用（tantantan1tantanm。 例题 1、 已知 A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB_ 例题 2、 求值： 0000 tan20tan403 tan20 tan40_. 练习 1、设ABC中，33tan Atan

16、Btan Atan B， 3 4 sin Acos A，则此三角 形是 _三角形 4、三角函数次数的降升( 降幂公式： 2 1cos2 cos 2 ， 2 1cos2 sin 2 与升幂公式： 2 1cos22cos， 2 1cos22sin) 。 例题 1、 若 3 2 (,)，化简 1111 2 2222 cos为_ 例题 2、 函数 2 2cossin 2yxx的最小值是 _ . 练习 1、 函数 2 55 3f ( x )sin xcos xcos x 5 3 2 (xR)的单调递增区间为 _ 练习 2、 设函数xxxf 2 sin) 3 2cos()( . (1)求函数)(xf的最大

17、值和最小正周期. (2)设 A,B,C 为ABC 的三个内角， 若 3 1 cosB， 1 ( ) 24 c f， 且C为锐角，求Asin. 5、 式子结构的转化( 对角、函数名、式子结构化同) 。 例题 1、 求证： 2 1tan 1sin 2 12sin1tan 22 ； 例题 2、 化简 sin 2 sin 2 +cos 2 cos 2 - 2 1 cos2cos2. 例题 3、 已知2tan3tanAB，求证： sin 2 tan() 5cos2 B AB B . 练习 1、 化简： 42 2 1 2cos2cos 2 2tan()sin () 44 xx xx 练习 2、 若 1ta

18、n 2008, 1tan 则 1 tan2 cos2 . 练习 3、 当 2 0x时，函数 x xx xf 2sin sin82cos1 )( 2 的最小值为 A.2 B.32C.4 D.34 6、 常值变换主要指 “1” 的变换（ 22 1sincosxxtancotxxtansin 42 L等） 例题 1 、已知tan2，求 22 sinsincos3cos 例题 2、2 1 sin822cos8等于（） A.2sin 44cos 4B.2sin 44cos 4C.2sin 4D.4cos 42sin 4 练习 1、 1tan15 1tan15 o o 练习 2、6sin1等于 ( ) (

19、A)sin3cos3 (B)sin3cos3 (C)sin3cos3 (D)cos3sin3 7、 正余弦“三兄妹sincos sin cosxxxx、”的内存联系“知一求二” 例题 1、若sincosxxt，则sincosxx 例题 2、 若 1 (0,),sincos 2 ，求tan的值。 练习 1、 已知, 24 , 8 1 cossin且则sincos 练习 2、 已知 2 sin 22sin 1tan k() 42 ，试用k表示sincos的值 【课后作业】 考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式 1. sin163 sin223 +sin253 sin313 等于（） A. 2 1

20、 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3 2. ) 12 sin 12 (cos(cos 12 sin 12 ) （） A 2 3 B 2 1 C 2 1 D 2 3 3. 已知( 2 ,) ，sin= 5 3 , 则 tan( 4 ) 等于（） A. 7 1 B.7 C. 7 1 D.7 4. 40cos270tan10sin310cos70tan=_ 5. 已知 3 5 sin()coscos()sin，那么2cos的值为 6. 已知 2 tan() 5 ， 1 tan() 44 ，那么tan() 4 的值是 _ 7. 已知,为锐角，sin,cosxy， 3 cos() 5 ，则y与x的

21、函数关系为 8. 化简)3 4 sin()3 6 cos()3 3 cos()3 4 sin(xxxx 9. 已知 3 sin, 5 是第四象限角，求sin,cos,tan 444 的值 . 10. 已知 sin（+）= 3 2 ，sin（ -）= 5 1 ，求 tan tan 的值。 11. 已知sinsinsin0,coscoscos0,求cos()的值 . 12. 已知函数( )sin()(0 0 )f xAxA，xR的最大值是1，其图像经过点 1 3 2 M ， （1）求 ( )f x 的解析式； （2）已知 0 2 ，且 3 () 5 f， 12 () 13 f，求()f的值 考点二

22、：二倍角公式及其推论 1. 已知 3 1 cossin，则2sin的值为 ( ) A 3 2 B 3 2 C 9 8 D 9 8 2. 已知1cossin, 5 4 sin，则2sin= （） A. 25 24 B. 25 12 C. 5 4 D. 25 24 3. 已知 3 sin() 45 x，则sin2x的值为； 4. 观察下列等式： cos2a=2 2 cos a-1; cos4a=8 4 cos a- 8 2 cos a+ 1; cos6a=32 6 cos a- 48 4 cos a+ 18 2 cos a- 1; cos8a=128 8 cos a- 256 6 cos a+ 1

23、60 4 cos a- 32 2 cos a+ 1; cos10a= m 10 cosa- 1280 8 cos a+ 1120 6 cos a+ n 4 cos a+ p 2 cos a- 1 可以推测， m n + p = 5 已知 为锐角，化简 2cos2sin sincos2sin 的值 . 6. 求值： 0 0100 0 1cos20 sin10 (tan5tan5 ) 2sin 20 7. 证明 2 2cossin1 2 2 sin() 4 1tan . 1tan 8. 已知 1 tan2, 3 求tan的值 9. 已知，为锐角， 1 tan 7 ， 10 sin 10 ，求2.

24、10. 已知0 2 ，且 1 29 cos()， 2 23 sin()，求cos( )的 值 11. 已知tan 2 =2，求（ 1）tan() 4 的值； （2） 6sincos 3sin2cos 的值 12设函数f(x)=2)0(sinsincos 2 cossin 2 xxx在x处取最小值 . （1）求的值 ; （2）在ABC中,cba,分别是角 A,B,C 的对边 , 已知,2,1 ba 2 3 )(Af, 求角 C 13. 已知), 2 (，且 2 3 sincos 223 . （）求cos的值；（）若 5 3 )sin(，) 2 ,0(，求sin的值 . 14. 已知函数 12 s

25、in(2) 4 ( ) cos x f x x （1）求( )f x的定义域；（ 2）设是第四象限的角，且 4 tan 3 ，求()f的值 . 考点三：辅助角公式 1. 已知函数( )3sincos(0)f xxx，( )yf x 的图像与直线2y的两个相邻交点的 距离等于，则( )f x的单调递增区间是 A. 5 , 1212 kkkZ B. 511 , 1212 kkkZ C. , 36 kkkZ D. 2 , 63 kkkZ 2若函数( )(13 tan )cosf xxx，0 2 x，则( )f x的最大值为 A1B2C31D32 3求值：20sin64 20cos 1 20sin 3

26、2 22 _ 4函数 2 ( )2cossin 2f xxx的最小值是。 5. 化简2 cos6 sinxx 6. 要得到一个奇函数，只需将函数xxxfcos3sin)(的图象（） A向右平移个单位B向右平移个单位 C向左平移个单位D向左平移个单位 7. 已知函数( )2sin()cosf xxx. （）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x在区间, 62 上的最大值和最小值. 8. 已知函数 117 ( ), ( )cos(sin )sin(cos ),( ,). 112 t f tg xx fxx fxx t （）将函数( )g x化简成sin()AxB（0A，0，0,2)）的形

27、式； （）求函数( )g x的值域 . 9. 已知函数., 2 cos3 2 sinRx xx y （1）求y取最大值时相应的x的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sinRxxy的图象 . 10. 已知函数 2 ( )sin22sinf xxx （I ）求函数( )f x的最小正周期。 (II) 求函数( )f x的最大值及( )f x取最大值时x 的集合。 11. 已知函数 2 ( )2cos2sinf xxx （）求() 3 f 的值； （）求( )f x的最大值和最小值 12. 已知函数(x)f 2 2cos 2sin4cosxxx。 （）求() 3 f 的值； （）求(x)f的最大值和最小值。 13. 已知函数 2 ( )12sin2sincos 888 f xxxx 求： (1) 函数( )f x的最小正周期；(2) 函数( )f x的单调增区间