高数专升本教案1.pdf

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1、* 用 2号字，公式编辑器中，尺寸定义， （标准 12，下上标 7，次下上标 5，符号 18，次符 号 12）*2。 第一部分函数、 极限和连续 一、函数的定义域、函数的特性（有界性单调性奇偶性等） 有界： Mxf)( 或 bxfa)( 如： xyxycos,sin ，反三角函数 说明：分 段函数 一般 不是初等 函 数， 但也 有 特例 。如 2 0 0 x xx xx y 二、极限的概念与计算 1、左极限： Axfxfxf xx )0()()(lim 00 0 ， 右极限： Axfxfxf xx )0()()(lim 00 0 结论:Axf xx )(lim 0 )(lim 0 xf xx

2、 Axf xx )(lim 0 2、 Axf x )(lim 和Axf x )(lim 结论: Axf x )(lim)(limxf x Axf x )(lim 三、极限的运算 1、无穷小与有界函数的乘积是无穷小。例: x x x sin lim 2、( 0 0 型) 例: 9 3 lim 2 3 x x x 、 45 32 lim 2 1 xx x x 3、(型) 例： 13 52 lim 2 2 xx xx x 、 n nn m mm x bxbxb axaxa 1 10 1 10 lim 3 3 3 2 3 2 3 lim 32 23 lim 2 1 2 n n n nn nn n 4、

3、例: 2 1 )1( 2 1 2 1 lim 1 2n n n (含数列之和 ,先求和 ) 四、无穷小与无穷大 1、无穷小与无穷大的判别。 例： x x xf 1 )( 2 何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？ 练习： 1 2 )( x x xf 何时是无穷小？何时 是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？ 2、无穷小的比较： 0 )( )( lim x x ， )( )( lim x x ， 1 )( )( lim x x 五、两个重要极限 1、夹逼准则： 若 nnn zxy ， azy n n n n limlim ， axn n lim 2、第一类重要极限： 1 sin lim

4、 0 x x x 特点： (1) 0 0 型(2)含三角函数或反三角函数 例: x x x 3sin lim 0 ， 3 2 2cos 1 2 2sin lim 3 2 2cos 1 3 2sin lim 3 2 lim 0 00 xx x xx x x xtg x xx ， 2 2 0 2 0 2 sin2 lim cos1 lim x x x x xx ， x x x arcsin lim 0 , x x x 2sin 3sin lim 0 , x x x sin lim 3、第二类重要极限 ： x x x ) 1 1(limex x x 1 0 )1(lim 特点： (1)底数: 11

5、(2)指数: 1 例:求 x x x 1 0 )21(lim ， x x x x ) 1 1 (lim 六、函数的连续性 1、定义 )()(lim 0 0 xfxf xx 例讨论函数 02 0 )( xx xx xf 在0x处的连续性。 2 、 函 数 的 间 断 点 ( 不 连 续 点 ) ： 没 有 定 义 、 )(l i m 0 xf xx 不 存 在 、 )()(lim 0 0 xfxf xx 3、初等函数的连续性： 一切初等函数在定义区间内是连续的。 4、有界性与最大值最小值定理 5、零点定理 例证明方程 014 23 xx 在区间) 1 ,0(内至少有一个根 6、介值定理 练习:

6、1、判定函数 xx xf)32()32()( 的奇偶性； 2 、求极限： xx xx x sin cos2 lim 2 2 ， n n nn ) 11 1(lim 2 ， nn n n 32 13 lim 1 ， 11 lim 0 x x x ， 11 lim 2 x x x 3、求极限： 1 2 1 1 1 lim 222 nnnn n 4、讨论极限： xx xx x ee ee 11 11 0 lim ； 5、求函数 2 sin xx x y 的连续区间。若有间断点，试指出间断点的类型； 6设 )(xf 的定义域为 1 , 0 ，则函数 4 1 4 1 xfxf 的定义域是（ D ）(09

7、 年) A 1 ,0 B 4 5 , 4 1 C 4 1 , 4 1 D 4 3 , 4 1 7下列极限存在的是（ B）(09 年) A x x x sin lim B x x 1 2lim C 2 1 1lim n n n D 12 1 lim 0 x x 8. 若 kan n lim （k为常数） ，则 n n a2lim k 。 9设函数 0, 0, )( xxa xe xf x 在 0x 处连续， 则 a1 。(09 年) 10 )4( 1 lim 2 xxx x （05 年） 11 lim2355 nnnn n （06 年） 12设1)(limxf x ，则)()2(limxfxf

8、x = 。 13.计算 2 0 2 lim x ee xx x (09 年) 14设曲线)(xfy在原点与曲线xysin相切， 求 n fn n 2 lim(09 年) 15求极限 xbxaxbxa x lim . （08 年） 16求极限 nn nnn n 75 732 lim （08 年） 第二部分一元函数微分学 一、导数的概念 1、定义： x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 0 0) ()( lim 0 xx xfxf xx 例： ) 1(2 2 )1()21( lim2 0 f x fxf x 例：设函数 )(xfy 在点 0 xx 处可导，则 ).( )2(

9、)3( lim 00 0 h hxfhxf h （05 年二） ).(5)(),(4)( ),(x3)(),()( 0 0 0 0 xfDxfC fBxfA 2、几何意义： 曲线 )(xfy 在 0 x 处的切线斜率是导数)( 0 xf 。 3、可导与连续的关系 例： 3 )(xxf 在0x处连续但不可导 二、导数的计算 1、函数的和、差、积、商求导 2、复合函数的求导 3、高阶导数 4、隐函数的导数 例求由方程 0 2 exxye y 所确定的隐函数的导数 y 。 5、由参数方程所确定的函数的导数 设 )( )( ty tx ，则有 )( )( t t dx dy )( )( )( 2 2

10、t t t dx yd 记法： （ dttdxdttdy)(,)( ） 三、微分的计算 dxxfdy)( 四、中值定理：罗尔定理拉格朗日中值定理 五、洛必达法则 例： 求 x ee xx x sin lim 0 ， x x x 3sin 2sin lim 0 ； x x x 1)1( lim 0 0 0 型 例：求 0 2 lim 2 limlim 2 x x x x x x ee x e x 型 例： xx x lnlim 2 0 0 型 例： ) ln 1 1 (lim 1 xx x x 型 例：求 x x x 0 lim （ N eN ln ） 0 0 型 六、单调性、极值、凹凸性、拐点

11、判定（列表） 七、最大值与最小值 1、 )(xf 在 ,ba 上的最大值和最小值 (方法：比较驻点、不可导点与端点的函数 值) 2、 )(xf 在 ),(ba 内的最大值和最小值（驻点唯一） 八、曲线的斜渐近线与垂直渐近线 )(xfy 的斜渐近线 baxy ： )(lim, )( limaxxfb x xf a xx 例：讨论函数 xxxxf32 3 1 )( 23 的单调性、极值、凹凸性、拐点。 例： （1）当 0x 时， 2 1 2 x xe x （单调性） （2）当 0x 时， 132xxx （极值） 练习： 1、设 xye yx ，求 y ， 2、设 x x y 1 1 ，求 )(n

12、y 3、设 )1ln( 2 x ey ，求dy。 4、求函数 x xxy) 1( 2 的导数。 （05 年二） 1 )12( ) 1ln() 1( 1 )12( ) 1ln( ) 1( 2 22 2 2)1ln( )1ln(2 2 2 xx xx xxxx xx xx xxey exxy x xxx xxxx 5、设 00 0 1 sin )( x x x x xf ，（为实数），试问在什么范围时 , （06 年二） （1） )(xf 在点 0x 连续； （2） )(xf 在点 0x 可导. 第三部分一元函数积分学 一、不定积分 1、不定积分的概念： )()(xfdxxf dx d ， Cxf

13、dxxf dx d )()( 2、基本积分公式（直接积分法） 3、第一类换元法（凑微分法） 例：计算下列积分： （1）dx x x 1 2 2 ；（2）xdxxsincos； （3） dx xx 2 )ln32( 1 ； （4） dxxe x 2 2 ； （5）dxxxx)32(13 2 ；(6) dx e e x x 1 ； （7） dx x x2cos ； （8） dx x x 2 2 1 ； （9）dx x 2 4 1 ； (10)dxxx2cos)2( （11）dxexx x )4( 2 , （12） dxe x ； 4、第二类换元法： （1）被积函数含 n bax ，令 tbax n

14、 。 例：求dx x12 1 、dx xx 3 1 （2）被积函数含 22 xa ， 令 ) 22 (sinttax 。 例：求 )0(4 2 adxx （3）被积函数含 22 ax ，令 taxtan 例：求)0( 1 22 adx ax （4）被积函数含 22 ax ，令 taxsec 例：求 )0( 1 22 adx ax 5、分部积分法 （1）幂函数尽量不凑微分 例：求 xdxxcos ， dxex x2 ， xdxx ln 2 ， xdxxarctan xdxxxxxdxdxxsinsinsincos ) 1 ln( 3 1 ln 3 1 ln 3332 dx x xxxxdxxdx

15、x （2）单一函数：xdx n ln 、xdxarccos xdxxx dx x xxxxxdx ln2ln 1 ln2lnln 2 22 （3）求xdxe x sin 6、一些简单有理函数的积分。 例： 求 dx xx) 1)(1( 1 2 dx x cbx x a dx xx11) 1)(1( 1 22 练习 1、 dx x1 1 2 ， dx x x 1 2 ， dx x x 1 2 2 ， dx x x 1 2 3 2、xdxcos，xdx 2 cos ， xdx 3 cos 3、 xdxtan ， xdx 2 tan ， xdx 3 tan 4、dx x 2 4 1 ，dx x 2

16、4 1 ，dx x 2 4 1 ， dxx 2 4 5、 dx e ee dx e x xx x2 22 2 1 1 1 1 （05 年二） ， dx e ed dx e e dx e x x x x x2 2 2 2 2 1 )1( 2 1 11 1 (1) dx xx （06 年二） ， dxxx1 32 （08 年二） 二、定积分 1、定积分的概念：定积分的定义及其几何意义 2、变上限的定积分 若 x a dttfxF)()( ，则 )()(xfxF 若 )( )()( x a dttfxF ，则 )()()(xxfxF 例：求 2 cos 1 0 2 1 cos 0 22 limlim

17、 x dte x dte x t x x t x x xe x x 2 sin lim 2 cos 0 3、定积分的计算（牛顿一莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法） 例：求 dx x x 1 1 4 3 1 ， 3 0 2dxx ， 2 0 2 12dxxx 4、无穷区间的广义积分 例：计算反常积分 1 x dx ， 1 2 x dx ， 2 1x dx 5、平面图形的面积和旋转体的体积 b a dxxfxfA)()( 12 b a dxxfxfV)()( 2 1 2 2 类似有： d c dyyyA)()( 12 ， d c dyyyV)()( 2 1 2 2 练习： 1、计算下列积分：

18、（3） 2/3 0 2 3 1 dx x x ; （4） 1 0 dxxe x ; (5) dx x x ) 1 sin 3( 2 ; （6） 3 0 11 1 dx x ; （7） 2 0 cosdxx ;（8） 0 2cos1dxx ; (9) e e dxxx /1 ln ; (10)设 10 01, )( 2 xx xx xf , 求dxxf 1 1 )( . （11） 1 0 2 )2(dxexx x （05 年二） ; 0 1 2 23 1 dx xx （05 年一） ， 2 0 sinxxdx （06 年二） ， 2 22 0 4xx dx（07 年二） 。 （12）计算 x d

19、tee x tt x cos1 2 lim 0 0 （08 年二） 2、证明： （1） 2 sin xdx n = 2 0 sin xdx n tx 2 0 2 0 0 22 sinsinsinsinxdxtdttdtxdx nnnn （2）设 0 sinxdxI n n ，证明： 2 1 nn I n n I （3）证明： 0cos 0 12 xdx n , 2 12 2 0 12 0 12 coscoscosxdxxdxxdx nnn 0 2 cosxdx n 2 0 2 cos2xdx n 2 2 2 0 2 0 12 coscoscosxdxxdxxdx nnn 3、求 1,xxy 与

20、轴围成图形的面积， 并求此图形分别绕轴和 y轴旋转所 得的体积。 第四部分无穷级数 一、数项级数 1、数项级数 级数收敛的必要条件：若 1n n u 收敛， 则 0lim n n u 例几何级数 )0( 1 1 aqaq n n 的收敛性 例：级数 1n n u 收敛的必要条件为 . （07 二 ） 例： 设级数 1n n a 和级数 1n n b 都发散，则级数 1 )( n nn ba 是 （） . （05 一） )(A 发散， )(B 条件收敛， )(C 绝对收敛， )(D 可能发散或者可能收敛 . 2、比较判别法： 设 1n n u ， 1n n v 是两个正项级数，且 nn vu （

21、1）若 1n n v 收敛，则 1n n u 收敛； （2）若 1n n u 发散，则 1n n v 发散。 例 ： 判 定 12 1 n n n 、 112 1 nn 、 1 12 1 n n 、 1 1 nnn 、 1 22 sec nnn n 、 1 1 n n n 的收敛性。 例：判别正项级数 1 2 ) 1 1ln( nn n 的敛散性 . （06 二） 结论：对于 p 级数，当 1p 时收敛；当 1p 时发散。 （熟记此结论 ） 当 1p 时， n 1 3 1 2 1 1 称为调和级数 。 （调和级数发散） 例：若级数 31 1 1 nn 收敛，则的取值范围是 . （06 二） 定

22、理（比较审 敛法的极限形 式） ：设 1n n u ， 1n n v 是两个正项级数， （1）若 )0(limll v u n n n ，且 1n n v 收敛，则 1n n u 收敛。 （2）若 0liml v u n n n 或 n n n v u lim ，且 1n n v 发散，则 1n n u 发散。 结论：若 )0(limll v u n n n ，且 1n n v 与 1n n u 收敛性相同。 例：级数 1 ) 1( 1 n nn 是发散， 1 2 2 1 sin n n n 的收敛 3、比值判别法： 设 1n n u 为正项级数， 若 n n n u u 1 lim ，则 （

23、1）当 1时级数收敛 ； （2）当 1或 时级数发散 ； （3）当 1时，不能确定。 说明： 比值判别法比较适合用于一般项中含 n an , ! 的级数。 例：判断级数 110 ! n n n 的收敛性。 4、交错级数： 0,)1( 1 1 n n n n uu 定理（莱布尼兹判别法） ：设交错级数满足条件 （1） 321 uuu ,即数列 n u 单调减少； （2） 0lim n n u 。 则交错级数收敛。 5、一般级数 绝对收敛： 1n n u 收敛， 条件收敛： 1n n u 发散而 1n n u 收敛。 例：判断级数 1 1 1 ) 1( n n n 、 1 2 11 ) 1( n

24、n n 的收敛性。 例：对于级数 1 1 ) 1( n p n n ，下列说法中正确的为（） （07 二） (A）当 1p 时，发散 (B) 当 1p 时，条件收敛 (C) 当 1p 时，条件收敛 (D) 当 1p 时，绝对收敛 例：级数 0 cos 1n n n 为（）. （06 二） 绝对收敛条件收敛()C发散()D 无法判断 例：判定 112 ) 1( n n n n 、 1 3 1 )1( n n nnn 的收敛性。 例：确定级数 1 3 ! sin nn nn 的收敛性 . （07 二） 二、幂级数： n n n n n xaxaxaaxa 2 210 0 1、幂级数的收敛半径与收敛

25、区间 定理：若 n n n a a 1 lim ，则收敛半径： 1 R ， 0 1 R 例：幂级数 0 2 2 n n n x 的收敛半径为._（08 二） 例：确定幂级数 1 11 n n n x na 收敛半径及收敛域，其中为正常数. （07 二） 例：求幂级数 2 0 3 nn n x的收敛半径与收敛区间 .（06 二） 2、函数展开为幂级数 ) 1| (1 1 1 2 xxxx x n ! 2 1 2 n xx xe n x )|(| )!12( ) 1( ! 5! 3 sin 1253 x n xxx xx n n )|(| )!2( ) 1( ! 4! 2 1cos 242 x n

26、 xxx x n n 例：将函数 xxxf1ln 2 展开成的幂级数 . （08 一） 例：将函数 xyarctan 展开为麦克劳林级数 . （07 二） 练 习 ： 1 、 判 断 级 数 3 sin n n 、 14 3)1( n n n 、 1 )1( n n n n 、 1 2 11 ) 1( n n n 的收敛性。 2、判别级数 1 2 )1( 2 n n n 、 1! 2 n n n 的收敛性。 3、求幂级数 01n n n x 和 1 12 n n nx 的收敛区间。 4、将函数 x x xf 3 1 在点 1 0 x 处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不 考虑） 。 （07

27、一） 5、将函数 xyln 展成 1x 的幂级数并指出收敛区间. （06 二） 6、把函数 1 1 x y 展开成 1x 的幂级数，并求出它的收敛区间. （05 一） 7、将函数 )23ln( 2 xxxf 展开成的幂级数，并指出收敛半径。（06 一） *4、求 nn xxxx 2642 ) 1(1 的和函数，并 由求的值。 求幂级数 1 2 )12( n nn x ， 1 1 3 )2( n n n xn 的收敛区间 ) 1| ()(1 1 1 2 xxxx x n ) 1| ()(1 1 1 242 2 xxxx x n ) 1ln( 2 1ln2ln ) 1ln()2ln()23ln(

28、2 x x xxxxxf 第五部分 常微分方程 一、一阶微分方程 1、微分方程的概念：微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解 2、可分离变量的方程： dxxdyyg)()( 解法: ()分离变量： dxxfdyyg)()( ()两边积分 dxxfdyyg)()( 例: xy dx dy 2 ，1tany dx dy x ，0sin xey y ， yxyx exexey 22 yx exe dx dy 2 ，dxxedye xy 2 02)6( 2 y dx dy xy （交换变量） 例： )(xf 在 ), 1 具有连续导数，且满足 x dttftxfx 1 22 1)()1()( ，

29、求 )(xf .（07 二） 例：计算微分方程 )1( )1( 2 2 xy yx dx dy 满足初始条件(0)1y的特解. （06 二） 例：微分方程 yxx ex dx dy 2 ) 12( 的通解 y =（06 一） 3、一阶线性方程： )()(xQyxPy 通解为： )( )()( CdxexQey dxxPdxxP 也可表示为： yYy 例：求解微分方程 x exyy sin cos .（07 二） 例：求微分方程 xyx dx dy xsin)(sincos 的通解 . （05 二） 二、二阶线性微分方程 1、二阶常系数齐次线性微分方程： 0)()(yxqyxpy 特征方程 0

30、2 qprr 特征根： 21, r r （1）若特征方程有两个不相等的实根 21, r r 通解为： xrxr ececy 21 21 （ 21,c c 是任意常数） （2）若特征方程有两个相等的实根 rrr 21 通解为： rx exccy)( 21 （ 21,c c 是任意常数） （3）若特征方程有一对共轭虚根 irir 21 , 通解为： )sincos( 21 xcxcey x 例：求微分方程 0 2 2 dx dy dx yd 的通解 . （08 二） 例：微分方程450yyy的通解为 .（06 二） 例：任给有理数，函数 xf 满足 1 0 x dttafxf ，求 xf （07

31、一） 2、二阶常系数非齐次线性微分方程： )(xfqyypy （1） x m expqyypy)( 若不是特征方程 0 2 qprr 的根， x m exQy)( 若是特征方程的单根，特解为 x m exxQy)( 若是特征方程的重根，特解 x m exQxy)( 2 （2） sincosxBxAeqyypy x 当 i 不是特征根时， sincosxbxaey x 当 i 是特征根时 , sincosxbxaxey x . 例：求下列方程的特解 （1） xyy3sin2 （2） xyycos2 （3） xxyyy2cos52sin62 例：求微分方程 x e dx dy dx yd 2 2

32、的通解 . （08 一） 例：求微分方程 x eyyy252 的通解 . （07 二） 例：求微分方程 2 2 322 x d ydy ye dxdx 满足 0, 1 0 0 x x dx dy y 的特解。 （06 一） 例：求二阶微分方程 xy dx dy dx yd 2 2 2 的通解 . （05 一） 例：若函数 0 ( )()( ) x x f xxt f t dte，求( )f x. （06 二） 例：对于 xxexyxyxy x sin)(2)(2)( ，其特解可以假设为 . （07 二） 练习： 1、求微分方程 x xeyyy 2 65 的通解 2、解微分方程 0|, 1|2

33、00 2 xx x yyeyy 3、解方程 xyy2cos 4、设 2 , 1xyxyy 为微分方程 )(xfqyypy 的 三个解，则 )(xfqyypy 的通解为 1) 1() 1( 2 21 xcxcy )( 111 xfqyypy )( 222 xfqyypy 5、若 xxysin ， xysin 分别为非齐次线性方程 )(xfqyypy 的解，则 xxysin)1( 为下列方程中 （ B ）的解： （07 二） (A） 0qyypy （B） )(2xfqyypy (C) )(xfqyypy (D) )(xxfqyypy 6、 .已知 y=f(x) 连续可导且满足 : 1sin)(2c

34、os)( 0 xtdttfxxf x , 求 f(x) 7、 .已知 y=f(x) 连续可导且满足 : 1 0 ()2 ( )f xt dtf x , f (1)=1,求 f (x) 一阶线性方程： )()(xQyxPy 通解为： )( )()( CdxexQey dxxPdxxP 也可表示为： yYy 第六部分空间解析几何与向量代数 一、向量代数 1、向量的概念：向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐 标表示法向量的方向余弦 (1)与向量a同方向的单位向量叫做 a的单位向量 : |a a e (2)非零向量 a 平行于 b 的充要条件是：存在唯一的实数，使b=a. (3)已知

35、 ),( 1111 zyxP , ),( 2222 zyxP ，则 ),( )()( 121212 12121221 zzyyxx kzzjyyixxPP ， (4)方向角与方向余弦 方 向 角 ： r 与 OzOyOx, 轴 正 向 的 夹 角 （ 分 别 记 为 , . 规 定 ,0 ）. 设 ),(zyxkzjyi xOMr ，则 222 zyxOMr 方向余弦： 方向角的余弦 222 | cos zyx x r x ， r y cos ， r z cos 关系式：1coscoscos 222 (5)向量在坐标轴上的投影 OMr 在轴上的投影 : uu rrj)(Pr , 其中 eMO

36、性质: cos|)(Praaaj uu 2、向量的线性运算：加法减法向量的数乘 3、向量的数量积 (1)定义： cos|baba 。数积又称 点积、内积 。 (2)结论： 0baba 4、二向量的向量积 (1)定义： sin|baba , ba 垂直于 a和b所在的平面，它 的正向由右手定则确定。向量积又称叉积、外积 。 (2)结论：ab baba0 (3)运算法则 设 kajaiaa zyx ，kbjbibb zyx ， 则: zyx zyx bbb aaa kji ba 练习： 1.已知平面过三点 )7, 1 , 3(, )5,4,2(, )1, 0, 1(CBA ，求与此平面垂直的向量。

37、 2.已知 kjibkjia236,22 ， 求 ba 、a与b的 夹角 3. 求以 ) 1 ,0, 1(, )2, 1 , 1(, )0, 2,2(CBA 为顶点的三角形的面积。 二、平面 1、点法式方程: 0)()()( 000 zzyyBxxA 2、一般式方程： 0DCzByAx 其中 kCjBiAn 称为该平面的 法线向量 。 3、平面平行、垂直的条件： 1 n 2 n ， 21 nn 4、点到平面 的距离 三、空间直线 1、一般式方程： 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 2、标准式方程（又称对称式方程或点向方程）、数式方程： p zz n yy m xx 0

38、00 ， kpjnims 称为L的方向向量 。 3、两直线平行、直的条件： 1 s 2 s ， 21 ss 4、简单的二次曲面 球面母线平行于坐标轴的柱面旋转抛物面圆锥面 练习： 1、将直线的一般式： 76 52 zy zx 化为对称式方程、参数方程。 2、求过点 ) 1, 1 , 0(,) 1 , 1 , 1( 21 MM 且垂直于平面 0zyx 的平面方程。 3、求过点 )3, 1 , 2( 且与直线 12 1 1 1zyx 垂直相交的直线方程。 4、下列方程表示什么曲面？ 9 222 zyx ， 222 ayx ， zyx 22 ， 222 zyx 5求经过点 1 , 1 , 1 且平行于直线 152 032 zyx zyx 的直线方程。（07 年） 6设平面过点 1,0, 1 且与平面 0824zyx 平行，则平面的方程 为（08 年）