初中数学圆知识点归纳.pdf

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1、. Word 资料 圆章节知识点复习 名词解释： 1.弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2.弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 3.半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。 4.等圆能够重合的两个圆叫做等圆。 5.等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 6.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 7.圆周角 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 8.圆接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆接 多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 9.外心外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心。 10.心三角形三条

2、角平分线的交点，叫做三角形的心。 11.切圆与三角形各边相切的圆叫做三角形的切圆。 12.割线直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的 割线。 13.切线直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切） ，这条直线叫做圆的 切线，这 个点叫做 切点。 14.切线长 经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长 。 15.圆心距 两个圆圆心的距离叫做圆心距。 16.中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 17.中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 18.边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 19.扇形由组成圆心角

3、的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 20.母线连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中 垂线） ； （补充） 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； . Word 资料 r d d C B

4、 A O O E DC B A d r d=r r d 图 2 r R d 图1 r R d 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长 的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都 相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆dr点C在圆； 2、点在圆上dr点B在圆上； 3、点在圆外 dr点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离dr无交点； 2、直线与圆相切dr有一个交点； 3、直线与圆相交dr有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1）无交点dRr； 外切（图 2）有一个交点dRr； 相交

5、（图 3）有两个交点RrdRr； 切（图 4）有一个交点dRr； 含（图 5）无交点dRr； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 图 4 r R d 图 5 r R d 图3 rR d . Word 资料 C B A O D C B A O 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即 可推出其它 3 个结论，即： AB是

6、直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦 心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论， 即：AOBDOE；ABDE； OCOF； 弧BA弧BD 七、圆周角定理 1、 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论： 推论

7、1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧是等弧； 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对 的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在O中，AB是直径或90C 90CAB是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三 角形是直角三角形。 即：在ABC中，OCOAOB ABC是直角三角形或90C O C D A B F E D C B A O C BA O C BA O . Word 资料 E D C B A P B A O P O D C B A 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角

8、形中斜边上的中线等于斜 边的一半的逆定理。 八、圆接四边形 圆的接四边形定理：圆的接四边形的对角互补，外角等于它的 对角。 即：在O中， 四边形 ABCD是接四边形 180CBAD180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理 （1） 切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知

9、道其中两个条件就能推出最 后一个。 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。 即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 推论 1：圆的外切四边形的两组对边的和相等 十一、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆两弦相交，交点分得的两条线段的乘 积相等。 NM A O . Word 资料 D E C B P A O 即：在O中， 弦AB、CD相交于点P， PA PBPC PD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 所成的两条线段的比例中项。 即：在O中，直径ABCD， 2 CEAE BE （3）切割线定

10、理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的 两条线段长的比例中项。 即：在O中， PA是切线，PB是割线 2 PAPC PB （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积相等（如上图） 。 即：在O中， PB、PE是割线 PC PBPD PE （5）弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 推论 1：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图： 12 O O垂直平分AB。 即： 1 O、 2 O相交于A、B两点 12 O O垂直平分A

11、B 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）外公切线长： OE D C BA B A O1 O2 . Word 资料 B A O B A O B A O CD 2 = L 2 + (R-r)2 （2）公切线长： AB 2 = L2 + (R+r)2 十四、圆正多边形的计算 定理：把圆分成n(n3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的接正n 边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 推论 1：任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆 推论 2：正 n 边形的每个角都等于（ n-2 ） n 推论 3：正 n 边形的半径和边心

12、距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 推论 4：正 n 边形的面积 Sn=pnrn2p 表示正 n 边形的周长 推论 5：如果在一个顶点周围有k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应为360， 因此 k (n-2) n=360 化为（ n-2 ）(k-2)=4 特例： （1）正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3 :2ODBD OB； 正三角形面积 3a 2 4，a 表示边长 （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OEAE OA： （3）正六边形 D C B A O E CB AD O . Word 资料 Sl B A

13、 O 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3: 2AB OB OA. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形： （1）弧长公式： 180 n R l； （2）扇形面积公式： 2 1 3602 n R SlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇 形面积 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 2SSS 侧表底= 2 22rhr （2）圆柱的体积： 2 Vr h 3、圆锥侧面展开图 （1）SSS 侧表底= 2 Rrr （2）圆锥的体积： 21 3 Vr h 母线长 底面圆周长 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O . Word 资料 幸福，不

14、能用手去捉摸，只能用心去琢磨，只能静静去体味。细细地品味了，你就享受到了它温馨的暖，或浓或淡的甜！ 幸福，其实很简单。幸福就是和爱人一起漫步，幸福就是吃到妈妈的拿手饭菜，幸福就是孩子在你的脚跟前转悠，幸福就是你能帮父母洗衣洗碗。 幸福，其实很简单。拥有一份称心的工作，就是一种幸福；拥有一个温馨的家，就是一种幸福；拥有一位知心的朋友，就是一种幸福；拥有一份好的心态，就是一种幸福；拥有一个相濡以沫的爱人，那更是一种幸福。幸福就是如 此的平平凡凡，幸福就是这样的简简单单。 幸福，其实就是自己心灵的感觉，沉淀在自己的心底，看不见摸不着，没有那么直观，可那种体验与享受却很真实、很直接。或许你没有丰富的物

15、质，或许你不能掌控自己的名利，但只要你拥有一份良好的心情，幸福就会围着你 转。 幸福，其实很简单。幸福就是口渴时的那杯水，幸福就是饥饿时的那顿饭，幸福就是劳累时的歇歇脚，幸福就是闲暇时的那茶盏，幸福就是困倦时的那场眠，幸福就是相爱的人彼此的牵挂，幸福就是离别的人默默的思念！ 幸福，其实很简单。幸福就是平静的呼吸，仔细的聆听，忘情的观看；幸福就是有人爱，有事做，有所期待，有人给温暖；幸福就是不迷茫，不慌乱，生而无悔，活而无憾。幸福，其实就在路上，走一步，有一步的风景；进一步， 有一步的欣喜；退一步，有一步的心境；停下步，忆往事，感到舒心的甜。 幸福，其实很简单。当你失落，当你伤心，当你落泪时，有人会走到你身边给你一个拥抱，让你不再心酸，让你顿生温暖。 幸福似一杯香茗，轻饮慢品里，溢出的却是淡淡的清香，沁人心脾，惬意而舒心；幸福似一杯红酒，无论酒的种类是什么，用心细品里，总能品出那缕浓浓的甘醇柔绵；幸福没有明天，幸福也没有昨天，它不怀念过去，也不向往 未来，它只在乎眼前。 幸福，其实很简单。别人的幸福在你的眼里，你羡慕甚至嫉妒；可你的幸福也在别人眼里，你如果不觉得，岂不遗憾？ . Word 资料