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1、动态几何问题 - 动点问题（四边形动点专题） 【动态几何问题的特点】 动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题； 用运动的观点研究几何图形中图形的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大 小关系。 几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之而有规律地变化的，形 成了轨迹和极值； 而有的量是始终保持不变， 也就是我们常说的定值。 动态几何 就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“ 变” 与“ 不变” 性；动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的 综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想 象能力，综
2、合分析能力，是近几年中命题的热点。 【动态几何问题的解决方法】 解决动态几何题， 通过观察， 对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的 “ 变量” 和“ 定量” 。动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化， 抓住“ 静” 的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“ 动与静 ” 的关系；这需 要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。 解决这类问题， 要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特 征，化动为静， 以静制动。 解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研 究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特
3、别关注一些不变量和不变关系或特殊关系. 【动态几何问题的分类】 动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那 么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、 相似三角形中的动态 几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有 平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又可分为： （1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点； （2）动直线类； （3）动图形问题。 【典型例题】 例 1.如图，在梯形 ABCD 中，354 245ADBCADDCABB，动 点 M 从 B点出发沿线段 BC 以每秒 2个单位长度的速度向终点C 运
4、动； 动点 N 同 时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点D 运动设运动的时 间为t秒 （1）求 BC 的长； （2）当 MNAB时，求t的值； （3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形。 A D C B M N 例 2. 已知： 等边三角形 ABC的边长为 4 厘米， 长为 1 厘米的线段 MN 在ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时， 点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运动终止）， 过点 MN、分别作 AB 边的垂线，与ABC的 其它边交于PQ、两点，线段 MN 运动的时间为t秒 （1）线段 MN 在
5、运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出 该矩形的面积； （2）线段 MN 在运动的过程中， 四边形MNQP的面积为 S，运动的时间为t求 四边形MNQP的面积 S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值 范围 例 3.如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，cmBCAD5,AB=12 cm,CD=6cm , 点 P从 A开始沿 AB边向 B以每秒 3cm的速度移动，点Q从 C 开始 沿 CD 边向 D 以每秒 1cm 的速度移动，如果点P、Q 分别从 A、C 同时出发，当 其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t 秒。 （1）求证：当 t= 2 3 时，四边形APQ
6、D是平行四边形； （2）PQ 是否可能平分对角线BD？若能，求出当 t 为何值时 PQ 平分 BD；若不 能，请说明理由； （3） 若DPQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形， 求 t 的值。 A B C D Q P 例 4. 如图，四边形 ABCD 中，AD BC ，AD=15 ，BC=25 ，AB=DC=10 ，动点 P从点 D 出发，以每秒 1 个单位长的速度沿线段DA的方向向点 A 运动，动点 Q从点 C出 发，以每秒 2 个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点 D、C同 时出发，当点 P 运动到点 A时，点 Q随之停止运动设运动的时间为t （秒） （1）当 t=2 时，求
7、APQ 的面积； （2）若四边形 ABQP 为平行四边形，求运动时间t ； （3）当 t 为何值时，以 A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 【训练题】 1.如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm ，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出 发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所 在运动边的另一个端点时，运动即停止，已知在相同时间内，若BQ=xcm （x 0） ，则 AP=2xcm ，CM=3xcm ，DN=x 2cm。 （1）当 x 为何值时， 以 PQ，MN 为两 边，以矩形的边（ AD 或 BC）的一部分 为第三边构成一个三角形； （2）当
8、x 为何值时，以 P，Q，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的 值；如果不能，请说明理由。 2. 已知：如图，在直角梯形COAB 中， OCAB，以 O为原点建立平面直角坐 标系，ABC， ， 三点的坐标分别为(8 0)(810)(0 4)ABC， ，点 D 为线段 BC的中 点，动点 P 从点 O出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线 OABD 的路线移动，移 动的时间为t秒 （1）求直线 BC 的解析式； （2）若动点 P 在线段 OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形 COAB面积的 2 7 ？
9、（3）动点 P从点 O出发，沿折线 OABD 的路线移动过程中，设OPD的面积为 S，请直接写出 S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围 . 3.如图 12， 在直角梯形 OABC 中， OACB，A、 B 两点的坐标分别为A （15，0） ， B（10，12） ，动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发，点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 OA 向终点 A 运动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 向 C 运动，当点 P 停止运 动时，点 Q 也同时停止运动线段OB、PQ 相交于点 D，过点 D 作 DEOA， A B D C O P x y 交 AB 于点 E，射线 QE 交x轴于点 F设动点 P、Q 运动时间为 t（单位：秒） （1）当 t 为何值时，四边形 PABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当 t=2 秒时，求梯形 OFBC 的面积； （3）当 t 为何值时， PQF 是等腰三角形？请写出推理过程