和倍差倍及和差问题.pdf

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1、精品文档 . 第一讲和倍问题 和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题。为了帮助我们理解题意， 弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。 例 1.甲班和乙班共有图书160 本。甲班的图书本数是乙班的3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 分析：设乙班的图书本数为1 倍数，则甲班图书为3 倍数，那么甲班和乙班图书本数的和是4 倍数。 4 倍数的数量是160 本，可以求出1 倍数，即乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数。用下图表示它 们的关系： 解： 160（3+1） 40（本）乙班 403120（本） 或 16040 1

2、20（本）甲班 答：甲班有图书120 本，乙班有图书40 本。 这道应用题答完了，怎样验算呢？ 可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160 本：再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是 等于 3 倍。如果与条件相符，表明这题作对了。注意验算决不是把原式再算一遍。 验算： 120+40160（本） 12040 3（倍）。 例 2.甲班有图书120 本，乙班有图书30 本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？ 分析：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量。从已知条件中得出，不管甲班给乙班多 少本书，还是乙班从甲班得到多少 本书，甲、乙两班图书总和是不变 的量。最后要求甲班图书

3、是乙班图 书的 2 倍，那么甲、乙两班图书总 和相当于乙班现有图书的3倍。依 据例 1 解和倍问题的方法，先求出 乙班现有图书多少本，再与原有图 书本数相比较，可以求出甲班给乙 班多少本书（如上图所示）。 解：（30+120） （2+1） 1503 50（本）乙班现有图书 503020（本） 答：甲班给乙班20 本图书后，甲班图书是乙班图书的2 倍。 验算： （12020）（30+20） 2（倍） （12020）+（30+20） 150（本）。 例 3.光明小学有学生760 人，其中男生比女生的3 倍少 40 人，男、女生各有多少人？ 分析：把女生人数看作1 倍数， 则男生人数加上40 是 3

4、 倍数，那么 全校人数加上40 就是 4 倍数（见 图） 。 解： （760+40）（ 3+1） 200 （人）女生 精品文档 . 2003 40560（人） 或 760200560（人）男生 答：男生有560 人，女生有200 人。 验算： 560+200 760（人） （560+40）200 3（倍）。 例 4.果园里有桃树、梨树、苹果树共552 棵。桃树比梨树的2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少20 棵，求 桃树、梨树和苹果树各有多少棵？ 分析：把梨树看作1 倍数，则 （桃树 12） 是 2倍数， （苹果树 +20） 是 1 倍数。那么（55212+20）就 是（2+1+1） 倍数，可以

5、求出1 倍数。 （如图） 解： （552 12+20）（2+1+1） 5604140（棵）梨树 1402+12292 （棵）桃树 140 20120 （棵）苹果树 答：桃树、梨树、苹果树分别是292 棵、 140 棵和 120 棵。 例 5.549 是甲、乙、丙、丁4 个数的和。如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2 以后， 则 4 个数相等。求4 个数各是多少？ 分析：右图可以看出，丙数最小。由于丙 数乘以 2 和丁数除以2 相等，也就是丙数的2 倍和丁数的半相等，即丁数相当于丙数的4 倍。 乙减 2 之后是丙的2 倍，甲加上2 之后也是丙 的 2 倍。根据这些倍数关系，可以先求

6、出丙数， 再分别求出其他各数。 解： （549+22）（2+2+1+4） 5499 61丙数（1 倍数） 6122 120甲数 612+2124乙数 614 244丁数 答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244。 验算： 120+124+61+244 549 120+2122 124 2122 612122 2442122 小结：利用关键字“是”和“比”设1 倍数解题什么方便。一般是设“是”或“比”后面的量为1 倍 数。如例 1 中“甲班的图书本数是乙班的3 倍” ， “是”后面的量是乙班的图书本数，因些设乙班的图书本 数为 1 倍数；例2 中“甲班的图书是乙班图书的2 倍” ，设

7、乙班图书本数为1 倍数；例3 中“男生比女生 的 3 倍少 40 人” ， “比”后面的量是女生人数，因些设女生人数为1 倍数；例4 中“桃树比梨树的2 倍多 12 棵” ，设梨树为1 倍数。后面将会学到的差倍问题也是利用关键字“是”和“比”设1 倍数。 和倍问题习题 1.小明和小强共有图书120 本，小强的图书本数是小明的2 倍，他们两人各有图书多少本？ 2.果园里一共种340 棵桃树和杏树， 其中桃树的棵数比杏树的3 倍多 20 棵，两种树各种了多少棵？ 精品文档 . 3.一个长方形，周长是30 厘米，长是宽的2 倍，求这个长方形的面积。 4.甲水池有水2600 立方米，乙水池有水1200

8、 立方米，如果甲水池里的水以每分钟23 立方米的速 度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池中的水是甲水池的4 倍？ 5.甲桶里有油470 千克，乙桶里有油190 千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶 油的 2 倍？ 6.有 3 条绳子，共长95 米，第一条比第二条长7 米，第二条比第三条长8 米，问 3 条绳子各长多 少米？ 和倍问题习题解答 1.小明的本数： 120（2+1） 40（本）。小强的本数：20280（本） 2.杏树： （ 34020）（3+1） 80（棵）。桃树： 803+20260（棵） 。 3.宽： （302）（2+1） 5（厘米）。长： 5210（厘米）。面积：

9、 105 50（平方厘米） 4.乙两水池共有水：2600+12003800（立方米）。甲水池剩下的水：3800（4+1） 760（立方米）。甲 水池流入乙水池中的水：26007601840（立方米）。经过的时间（分钟） ：18402380（分钟） 5.乙两桶油总重量：470+190660（千克）。当甲桶油是乙桶油2 倍时，乙桶油是：660（2+1） 220 （千克）。由甲桶倒入乙桶中的油：22019030（千克）。 6.变化后的绳子总长：957+896（米）。第二条绳子长： 96（1+1+1）32（米） 。第一条绳长： 32+7 39（米） 。第三条绳子长：32824（米）。 第二讲差倍问题

10、前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析问题具体、形象，使我们能比较顺利地解 答些类应用题。下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。 “差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。 差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1 倍数，再画图确定解题方法。被除数的数 量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍数，然后求出另一个数，最后答题和验算。 例 1.甲班的图书本数比乙班多80 本，甲班的图书本数是乙班的3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 分析：如右图： 把乙班的图书本数看 作 1 倍数，则甲班的图书本数是3 倍数， 那么甲班的图书

11、本数比乙班多2 倍数。又 知“甲班的图书比乙班多80 本” ，即 2 倍数与 80 本相对应，可以理解为2 倍数 是 80，这样可以算出1 倍数是多少本。 最后就可以求出甲、乙班各有图书多少 本。 解： 80（ 31） 40（本）乙班 403120（本）或40+80120（本）甲班 答：甲班有图书120 本，乙班有图书40 本。 验算： 12040 80（本） 12040 3（倍） 例 2.菜站运来的白菜是萝卜的3 倍，卖出白菜1800 千克，萝卜300 千克，剩下的两种蔬菜的重量相 等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？ 分析：这样想：根据“菜站运来的白 菜是萝卜的3 倍”应把运来的萝卜的重

12、量 看作 1 倍数； “卖出白菜1800 千克，萝卜 300 千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相 等” ，说明运来的白菜比萝卜多1800300 精品文档 . 1500（千克）。从右图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的312（倍） ，这样就可以先求出运来 的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。 解： （1800300）（31） 750（千克）萝卜 7503 2250（千克）白菜 答：菜站运来白菜2250 千克，萝卜750 千克。 验算： 22501800450（千克）（白菜剩下部分） 750300450（千克）（萝卜剩下部分） 例 3.有两根同样长的绳子，第一根截去12 米，第二根接上14

13、 米，这时第二根长度是第一根长的3 倍， 两根绳子原来各长多少米？ 分析：如图所示，两根绳子原 来的长度一样长，但是从第一根截 去 12 米，第二根绳子又接上14 米 后，第二根的长度是第一根的3 倍。 应该把变化后的第一根长度看作1 倍数，而12+14 26（米），正好是 2 倍数。所以，当从第一根截去12 米后剩下的长度可以求出来了，那 么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。 解： （12+14）（31） 13（米）（1 倍数，即第一根截去12 米剩下的长度） 13+1225（米）（两根绳子原来的长度） 答：两根绳子原来各长25 米。 自己进行验算，看答案是否正确。另外还可以想想，有无

14、其他方法求两根绳子原来各有多长。 小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系。用除法求出1 倍 数，再求其它数量。 解题规律：差倍数的差 1 倍数 例 4.三（ 1）班与三（ 2）班原有图书数一样多。后来，三（1）班又买来新书74 本，三（ 2）本从本 班原书中拿出96 本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的 3 倍，求两班原有图书各多 少本？ 分析：如图所示：两个班原有图书 一样多。 后来三 （ 1）班又买新书74 本， 即增加了74 本；三（ 2）班从本班原有 图书中取出96 本送给一年级同学， 则图 书减少了96 本。结果是一个班增加，另 一

15、个班减少，这样两个班图书就相差 96+74170（本），也就是三（ 1）班比 三（ 2）班多了 170 本。又知三（ 1）班现有图书是三（2）班现有图书的3 倍，把三（ 2）班现有图书看作 1 倍数，则三（1）班现有图书是3 倍数，相差31 2倍数， 2 倍数对应170 本，从而可以求得一倍数。 随之原有图书也可以求出来了。 解： 74+96（31） 1702 85（本）（1 倍数） 85+96181（本） 答：两班原来各有图书181 本。 例 5.两块同样长的花布，第一块卖出31 米，第二块卖出19 米后，第二块是第一块的4 倍，求每块花 布原有多少米？ 精品文档 . 分析：如图所示： 已知

16、两块花布同样 长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的 少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的 多。所剩下的布第二块比第一块多31 1912（米） 。又知第二块所剩下的布是 第一块的4倍，那么第二块比第一块多出 的 12 米正好相当于所剩布的（4 1）倍， 这样，第一块所剩布的长度即可求出。 解： （3119）（ 41） 123 4(米)（1 倍数，即第一块剩下的） 4+31 35（米） 答:每块花布原有35 米。 差倍问题习题 1.一只大象的体重比一头牛重4500 千克，又知大象的重量是一头牛的10 倍，一只大象和一头牛 的重量各是多少千克？ 2.果园里的桃树比杏树多90 棵，桃树的棵数是杏树的3

17、 倍，桃树和杏树各有多少棵？ 3.有两块布，第一块长74 米，第二块长50 米，两块布各剪去同样长的一块布后，剩下的第一块 米数是第二块的3 倍，问每块布各剪去多少米？ 4.甲、乙两校教师的人数相等，由于工作需要，从甲校调30 人到乙校去，这时乙校教师人数正好 是甲校教师人数的3 倍，求甲、乙两校原有教师各多少人？ 5.两筐重量相同的苹果，从甲筐苹果取出7 千克，乙筐加入19 千克，这时乙筐是甲筐苹果的3 倍，问两筐原有苹果多少千克？ 6.甲、乙两个数，如果甲数加上320 就等于乙数了。如果乙数加上460 就等于甲数的3 倍，两个 数各是多少？ 7.有两块同样长的布，第一块卖出25 米，第二块

18、卖出14 米，剩下的布第二块是第一块的2 倍， 求每块布原有多少米？ 差倍问题习题解答 1.一头牛重量是：4500（10 1） 500（千克）。一只大象重量：500105000（千克）。 2.杏树棵树： 90（3 1） 45（棵）。桃树棵数： 453135（棵） 3.把第二块布剩下的米数看作1 倍数： （ 7450）（31） 12（米）。剪去的米数：501238（米） 4.把甲校调走30 人后的甲校人数看作1 倍数： （ 302）（ 31） 30（人） 。甲、乙两校原有教师各 30+3060（人）。 5.甲筐重量：（19+7）（31） 13（千克）。乙筐重量： 133 39（千克）。原有重量：

19、 13+720（千 克） 6.甲数： （ 320+460）2390。乙数： 390+320710。 7.（2514）（ 21）+25111+2511+2536（米）。 第三讲和差问题 和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。 为了解答这种问题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式。有些题目明确给了两个数的差，而 有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。 例： “把姐姐的铅笔拿出3 支后， 姐姐、 弟弟的铅笔支数就同样多。”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3 支， 也说明姐姐和弟弟铅笔相差3 支。 精品文档 . 再例： “把姐姐的铅笔给弟弟3 支后

20、，两人铅笔支数就同样多。” 如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3 支 （差 是 3） ，那就错了。实际上姐姐比弟弟多2 个 3 支。姐姐给弟弟3 支后，自己留下3 支，再加上他们原有的 铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多。这里326 支，就是暗差。 “把姐姐的铅笔给弟弟3 支后还比弟弟多1 支” ，这说明姐姐的铅笔支数比弟弟多32+17（支） 。 例 1. 已 知 甲 数 比 乙 数 大 8， 甲 数 和 乙 数 的 和 是 98 ， 求 甲 、 乙 两 个 数 各 是 多 少 ？ 分 析 ： 如 图 所 示 ： 假 设 甲 数 为 1 倍 数 ， 则 （ 乙 数 +8） 也 是 1 倍 数 ， 两

21、数 的 和 98 加 上 8 就 是 2 倍 数 ， 从 而 可 以 求 出 一 倍 数 ， 即 甲 数 。 也 可 以 假 设 乙 数 为 1 倍 数 ， 则 （ 甲 数 8） 是 1 倍 数 ，两 数 的 和 98 减 去 8 是 2 倍 数 ， 也 可 以 求 出 1 倍 数 ， 即 乙 数 。 记 住 以 下 两 个 公 式 很 有 用 ： 大 数 （ 两 数 的 和 +两 数 的 差 ）2 小 数 （ 两 数 的 和 两 数 的 差 ）2 解 ： （ 98+8 ）2 1162 53 甲 数 （ 98 8）2 902 45 乙 数 答 ： 甲 数 是 53 ， 乙 数 是 45 。 例

22、 2.今年小强7 岁，爸爸35 岁，当两人年龄和是58 岁时，两人年龄各多少岁？ 分析：如图，题中没有给出小强和爸爸年龄之 差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年 龄差是 35 728（岁） 。不论过多少年，两人的年 龄差是保持不变的。所以，当两人年龄和为58 岁 时他们年龄差仍是28 岁。根据例1 的和差公式直 接求出。 解： 35 728（岁）（差） （58+28）2 862 43 （ 岁 ） 爸 爸 （ 把 爸 爸 年 龄 看 作 1 倍 数 ） （5828）2 15 （ 岁 ） 或 58 43 15 （ 岁 ） 小 强 答 ： 当 两 人 年 龄 和 是 58 岁 时 ， 爸 爸

23、 43 岁 ， 小 强 15 岁 。 例 3. 小 明 期 末 考 试 时 语 文 和 数 学 的 平 均 分 数 是 94 分 ，数 学 比 语 文 多 8 分 ，问 语 文 和 数 学 各 得 了 几 分 ？ 分 析 ：解 和 差 问 题 的 关 健 就 是 求 得 和 与 差 ，这 道 题 中 数 学 与 语 文 成 绩 之 差 是 8 分 ，但 是 数 学 和 语 文 成 绩 之 和 没 有 直 接 告 诉 我 们 。可 是 ，条 件 中 给 出 了 两 科 的 平 均 成 绩 是 94 分 ， 这 就 可 以 求 得 这 两 科 的 总 成 绩 。 解 ： 942188（分）（和）

24、精品文档 . （188+8）2 1962 98 （ 分 ） 数 学 （ 把 数 学 成 绩 看 作 1 倍 数 ） （1888）2 1802 90 （ 分 ） 语 文 （ 把 语 文 成 绩 看 作 1 倍 数 ） 答 ： 小 明 期 末 考 试 语 文 得 90 分 ， 数 学 得 98 分 。 例 4. 甲 、乙 两 校 共 有 学 生 864 人 ，为 了 照 顾 学 生 就 近 入 学 ，从 甲 校 调 入 乙 校 32 名 同 学 ， 这 样 甲 校 学 生 还 比 乙 校 多 48 人 ， 问 甲 、 乙 两 校 原 来 各 有 学 生 多 少 人 ？ 分 析 ： 如 图 所 示

25、： 这 样 想 ： 甲 、 乙 两 校 学 生 人 数 的 和 是 864 人 ， 根 据 由 甲 校 调 入 乙 校 32 人 ， 这 样 甲 校 比 乙 校 还 多 48 人 可 以 知 道 ， 甲 校 比 乙 校 多 322+48112（人）。112 是两校人 数差。 解：322+48112 （人） （差） （864112）2 376 （ 人 ） 乙 校 864 376 488 （ 人 ） 甲 校 答 ： 甲 校 原 有 学 生 488 人 ， 乙 校 原 有 学 生 376 人 。 和差问题习题 1.果园里 有 桃 树 和 梨 树 共 150 棵 ， 桃 树 比 梨 树 多 20 棵

26、， 两 种 果 树 各 有 多 少 棵 ？ 2.甲、乙两桶油共重30 千克，如果把甲桶中6 千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙 两桶原有多少油？ 3.用锡和铝制成500 千克的合金，铝的重量比锡多100 千克，锡和铝各是多少千克？ 4.某工厂去年与今年的平均产值为96 万无，今年比去年多10 万元，今年与去年的产值各是多少万 元？ 5.甲、乙两个学校共有学生1245 人，如果从甲校调20 人去乙校后，甲校比乙校还多5 人，两校原 有学生各多少人？ 6.三个物体平均重量是31 千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1 千克，乙物体比丙物体重 量的 2 倍还重 2 千克，三个物体各重多少

27、千克？ 7.甲、乙两个工程队共有1980 人，甲队为了支援乙队，抽出285 人加入乙队，这时乙队人数还比 甲队少 24 人，求甲、乙两队原有工人多少人？ 8.四年级有3 个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；如果把乙班1 名学生调到 丙班，丙班比乙班多2 人，问甲班和丙班哪班人数多？多几人？ 和差问题习题解答 1.桃树的棵数： （150+20）2 85 （ 棵 ） 。 梨 树 的 棵 树 ： 150 85 65 （ 棵 ） 2.甲 桶 油 重 ： （ 30+62）2 21 （ 千 克 ） 。 乙 桶 油 重 ： 30 21 9（ 千 克 ） 3.锡 和 重 量 ： （ 500 1

28、00 ）2 200 （ 千 克 ） 。 铝 ： 500 200 300 （ 千 克 ） 4.今 年 ： （ 962+10）2 101 （ 万 元 ） 。 去 年 ： 101 10 91 （ 万 元 ） 5.乙 校 ： 1245 （ 202+5） 2 600 （ 人 ） 。 甲 校 ： 1245 600 645 （ 人 ） 6.三 个 物 体 的 总 重 量 ： 31393（千克） 甲物体的重量： （93 1） 246（千克） 丙物体的重量： （93 4462）（2+1） 15（千克） 乙物体的重量：934615 32（千克） 7.甲队： （ 2852+24+1980 ）2 1287（人） 8.解（略），答：甲班比丙班人数多，多2 名学生。