2017年广州市一模理科数学试题及答案.pdf

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1、绝密 启用前 2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题：本小题共12 题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）复数

2、 22 1i 1i 的共轭复数是 （ A）1 i（B）1i（C）1i（ D）1 i （2）若集合 1Mx x， 2, 1Ny yxx，则 （ A）MN（B）MN（C）NM（ D）MN （3）已知等比数列 n a的各项都为正数, 且 354 1 2 a ,a ,a成等差数列 , 则 35 46 aa aa 的值是 （A） 51 2 （ B） 51 2 （C） 35 2 （D） 35 2 （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n, 则输出k的值为 （A）2（B）3（C）4（D）5 （5）已知双曲线 C 22 2 :1 4 xy a 的一条渐近线方程为230xy, 1 F, 2 F分别 是双曲线C的左

3、，右焦点, 点P在双曲线C上, 且 1 7PF, 则 2 PF等于 （ A）1（B）13（C）4或10（D）1或13 （6）如图 , 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是 某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图, 且该几何体的体积为 8 3 , 则该几何体的俯视图可以是 （7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币 . 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么 , 没有相邻的两个人站起来的概率为 （A） 1 2 （B） 15 32 （C） 11 32 （D） 5 16 （8）已知 1 F, 2 F分别是椭

4、圆C 22 22 :10 xy ab ab 的左 , 右焦点 , 椭圆C上存在点P 使 12 F PF为钝角 , 则椭圆C的离心率的取值范围是 （A） 2 ,1 2 （B） 1 ,1 2 （C） 2 0, 2 （D） 1 0, 2 （9）已知:0,1 x pxeax成立 , :q函数1 x fxa是减函数 , 则p是q的 （ A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （ C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 （10） 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑 , PA平面ABC, 2P AA B，4AC

5、, 三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上 , 则球O的表 面积为 （ A）8（B）12（ C）20（D）24 （11）若直线1y与函数2sin 2fxx的图象相交于点 11 ,P x y ，22 ,Q xy， 且 12 xx 2 3 ，则线段PQ与函数fx的图象所围成的图形面积是 （A） 2 3 3 （B）3 3 （ C） 2 32 3 （D）32 3 （12）已知函数 32 331 248 fxxxx , 则 2016 12017k k f 的值为 （A）0（B）504（C）1008（D）2016 PC B A 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第1321 题为必考题，每个考生都必须作

6、答。第 22 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本小题共4 题，每小题5 分。 （13）已知1,2ab，且a()ab，则向量a与向量b的夹角是. （14）3 n x的展开式中各项系数和为64，则 3 x的系数为.（用数字填写答案） （15）已知函数 1 2 2,0, 1log,0, x x fx xx 若2fa , 则实数a的取值范围是. （16）设 n S为数列 n a的前n项和 , 已知 1 2a, 对任意,p qN * , 都有pqpqaaa， 则 60 ( 1 n S fnn n N * )的最小值为. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （

7、本小题满分12 分） 如图 , 在ABC中, 点P在BC边上 , 60 ,2,4PACPCAPAC. () 求ACP; () 若APB的面积是 3 3 2 , 求sinBAP. （18） （本小题满分12 分） 近年来，我国电子商务蓬勃发展. 2016 年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516 亿元人民币， 与此同时， 相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出200 次成功交易， 并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80 次. () 根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有

8、99%的把握认为“网购者对 商品满意与对服务满意之间有关系”？ () 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3 次购物中，设对商品和服务都满 意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX . 对服务满意对服务不满意合计 对商品满意80 对商品不满意 合计200 E D CB A E D CB A 附： 2 K 2 n adbc abcdacbd （其中nabcd为样本容量） （19） （本小题满分12 分） 如图 1，在直角梯形 ABCD中，AD/BC，ABBC，BDDC, 点E是BC边的 中点 , 将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE,AC,DE, 得到如 图 2 所

9、示的几何体 . () 求证：AB平面ADC； () 若1AD，二面角CABD的平面角的正切值为6，求二面角BADE 的余弦值 . 图 1 图 2 （20） （本小题满分12 分） 过点, 2P a作抛物线 2 :4C xy的两条切线 , 切点分别为 11 ,A x y, 22 ,B xy . () 证明 : 1212 xxy y为定值 ; () 记PAB的外接圆的圆心为点M, 点F是抛物线C的焦点 , 对任意实数a, 试 判断以PM为直径的圆是否恒过点F? 并说明理由 . （21） （本小题满分12 分） 已知函数ln0 a fxxa x . () 若函数fx有零点 , 求实数a的取值范围 ;

10、 () 证明 :当a 2 e ，1b时, 1 lnfb b . 2 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 请考生在第22 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22） （本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 3, ( 1, xt t yt 为参数). 在以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:2 2 cos. 4 C () 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; () 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. （

11、23） （本小题满分10 分）选修45：不等式选讲 已知函数 12fxxaxa. () 若13f，求实数a的取值范围 ; () 若1,axR , 求证：2fx. PC B A 2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分

12、3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题 （1）B （2） C （3）A （4）B （5）D （6） D （7）C （8） A （9）B （10）C （11） A （12）B 二、填空题 （13） 4 （14）540（15） 1 ,8, 2 （16） 29 2 三、解答题 (17) 解: () 在APC中, 因为60 ,2,4PACPCAPAC, 由余弦定理得 222 2cosPCAPACAP ACPAC, 1 分 所以 2 22 2424cos60APAPAPAP, 整理得 2 440APAP, 2 分 解得2AP. 3 分 所以2

13、AC. 4 分 所以 APC是等边三角形 . 5 分 所以60.ACP6 分 () 法 1: 由于APB是APC的外角 , 所以120APB. 7 分 因为 APB的面积是 3 3 2 , 所以 13 3 sin 22 AP PBAPB. 8 分 所以3PB. 9 分 在APB中, 222 2cosABAPPBAP PBAPB DPC B A 22 23223cos120 19, 所以19AB. 10 分 在APB中 , 由正弦定理得 sinsin ABPB APBBAP , 11 分 所以sinBAP 3sin120 19 3 57 38 . 12 分 法 2: 作ADBC, 垂足为D, 因

14、为 APC是边长为2的等边三角形 , 所以1,3,30PDADPAD. 7 分 因为 APB的面积是 3 3 2 , 所以 13 3 22 AD PB. 8 分 所以3PB. 9 分 所以4BD. 在 RtADB中, 22 19ABBDAD, 10 分 所以 4 sin 19 BD BAD AB , 3 cos 19 AD BAD AB . 所以 sinsin30BAPBAD sincos30cossin30BADBAD11 分 4331 221919 3 57 38 . 12 分 （18）解： ()22列联表： 对服务满意对服务不满意合计 对商品满意80 40 120 对商品不满意70 10

15、 80 合计150 50 200 2 分 2 2 2 0 08 01 04 07 0 1 1. 1 1 1, 1 5 05 01 2 08 0 K 3 分 因为11.1116.635， 所以能有99%的把握认为 “网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. 4 分 () 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为 2 5 ，且 X的取值可以是 0， 1，2，3 6 分 32 1 3 3272354 0;1; 512555125 P XP XC 21 2 3 2336 2= 55125 P XC； 30 3 3 238 3= 55125 P XC. 10 分 X的分布列为： 11 分 所以 2754

16、3686 0123 1251251251255 EX. 12 分 或者 :由于 2 3, 5 XB，则 26 3 55 EX. 12 分 (19) 解： () 因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD， 又BDDC， 所以DC平面ABD. 1分 因为AB平面ABD，所以DCAB. 2分 又因为折叠前后均有ADAB，DCADD, 3分 所以AB平面ADC. 4分 () 由（）知AB平面ADC，所以二面角CABD的平面角为CAD. 5 分 又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD. 依题意6tan AD CD CAD. 6 分 因为1AD，所以6CD. 设0ABx x，则1 2 x

17、BD. 依题意ABDBDC，所以 ABCD ADBD ，即 1 6 1 2 x x . 7分 解得2x，故 22 2,3,3ABBDBCBDCD. 8 分 法 1：如图所示， 建立空间直角坐标系Dxyz，则)0,0,0(D,)0,0,3(B,)0,6,0(C， X0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 z y x E D C B A G F E D C B A 36 ,0 22 E ， 36 ,0, 33 A ， 所以 36 ,0 22 DE ， 36 ,0, 33 DA. 由（）知平面BAD的法向量)0, 1 , 0(n.9 分 设平面 ADE的法向量),(

18、zyxm 由 0, 0, m DE m DA 得 36 0, 22 36 0. 33 xy xz 令6x，得3,3yz, 所以)3,3,6(m. 10分 所以 2 1 | ,cos mn mn mn. 11分 由图可知二面角 BADE的平面角为锐角， 所以二面角BADE的余弦值为 1 2 . 12分 法 2 ：因为DC平面 ABD， 过点E作EF/DC交BD于F， 则EF平面 ABD. 因为AD平面ABD， 所以EFAD. 9 分 过点F作FGAD于G，连接GE， 所以AD平面EFG，因此ADGE. 所以二面角 BADE的平面角为EGF. 10 分 由平面几何知识求得 2 6 2 1 CDEF

19、， 2 2 2 1 ABFG， 所以 22 2EGEFFG. 所以 cosEGF= 2 1 EG FG . 11 分 所以二面角BADE的余弦值为 1 2 . 12分 （20）解： () 法 1:由 2 4xy,得 2 1 4 yx,所以 1 2 yx. 所以直线 PA的斜率为1 1 2 x. 因为点 11 ,A x y和 22 ,B xy在抛物线C上, 所以 2 11 1 4 yx, 2 22 1 4 yx. 所以直线PA的方程为 2 111 11 42 yxxxx. 1分 因为点, 2P a在直线PA上, 所以 2 111 11 2 42 xxax,即 2 11 280xax. 2 分 同

20、理 , 2 22 280xax . 3 分 所以 12 ,x x是方程 2 280xax的两个根 . 所以 12 8x x. 4 分 又 2 22 121212 111 4 4416 y yxxx x, 5 分 所以 1212 4x xy y为定值 . 6分 法 2:设过点, 2P a且与抛物线C相切的切线方程为2yk xa, 1 分 由 2 2, 4 , yk xa xy 消去y得 2 4480xkxka, 由 2 164 480kak, 化简得 2 20kak. 2分 所以 12 2k k. 3 分 由 2 4xy,得 2 1 4 yx,所以 1 2 yx. 所以直线PA的斜率为 11 1

21、 2 kx,直线PB的斜率为 22 1 2 kx. 所以 12 1 2 4 x x, 即 12 8x x. 4 分 又 2 22 121212 111 4 4416 y yxxx x, 5 分 所以 1212 4x xy y为定值 . 6分 () 法 1：直线PA的垂直平分线方程为 11 1 22 22 yxa yx x , 7 分 由于 2 11 1 4 yx , 2 11 82xax , 所以直线PA的垂直平分线方程为 11 1 2 42 axxa yx x . 8 分 同理直线PB的垂直平分线方程为 22 2 2 42 axxa yx x . 9 分 由解得 3 2 xa , 2 1 2

22、 a y , 所以点 2 3 ,1 22 a Ma . 10 分 抛物线C的焦点为0,1 ,F则 2 3 ,3 . 22 a MFaPFa 由于 22 33 0 22 aa MF PF，11 分 所以.MFPF 所以以PM为直径的圆恒过点.F12 分 另法 : 以PM为直径的圆的方程为 2 3 210. 22 a xaxayy 11 分 把点0,1F代入上方程 ,知点F的坐标是方程的解. 所以以PM为直径的圆恒过点.F 12 分 法 2：设点M的坐标为,m n， 则PAB的外接圆方程为 2222 2xmynman， 由于点 1122 ,A x yB xy在该圆上， 则 2222 11 2xmy

23、nman， 2222 22 2xmynman. 两式相减得 12121212 220xxxxmyyyyn, 7 分 由()知 22 12121122 11 2 ,8, 44 xxa x xyxyx,代入上式得 3 12 44420xxamaaan, 8 分 当 12 xx时, 得 3 8420amaan, 假设以PM为直径的圆恒过点F,则,MFPF即,1, 30m na, 得310man, 9 分 由解得 2 31 ,1 22 ma na, 10 分 所以点 2 31 ,1 22 Maa. 11 分 当 12 xx时, 则0a,点0,1M. 所以以PM为直径的圆恒过点.F12 分 （21）解

24、: ()法 1: 函数ln a fxx x 的定义域为0,. 由ln a fxx x , 得 22 1axa fx xxx . 1 分 因为0a,则0,xa时,0fx;,xa时,0fx. 所以函数fx在0,a上单调递减 , 在,a上单调递增 . 2 分 当xa时, min ln1fxa. 3 分 当ln10a, 即0a 1 e 时 , 又1ln10faa, 则函数fx有零点 . 4 分 所以实数a的取值范围为 1 0, e . 5 分 法 2：函数 ln a fxx x 的定义域为0,. 由ln0 a fxx x , 得lnaxx. 1 分 令lng xxx，则ln1gxx. 当 1 0,x

25、e 时, 0gx; 当 1 ,x e 时, 0gx. 所以函数g x在 1 0, e 上单调递增 , 在 1 , e 上单调递减 . 2 分 故 1 x e 时, 函数g x取得最大值 1111 lng eeee . 3分 因而函数ln a fxx x 有零点 , 则 1 0a e . 4 分 所以实数a的取值范围为 1 0, e . 5 分 () 令lnh xxxa, 则ln1hxx. 当 1 0x e 时,0fx;当 1 x e 时,0fx. 所以函数h x在 1 0, e 上单调递减 , 在 1 , e 上单调递增 . 当 1 x e 时, min 1 h xa e . 6 分 于是 ,

26、当a 2 e 时, 11 .h xa ee 7 分 令 x xxe, 则1 xxx xexeex. 当01x时,0fx;当1x时,0fx. 所以函数x在0,1上单调递增 , 在1,上单调递减 . 当1x时, max 1 x e . 8 分 于是 , 当0x时 , 1 .x e 9 分 显然 , 不等式、中的等号不能同时成立. 故当0,x 2 a e 时, ln x xxaxe. 10 分 因为1,b所以ln0b. 所以 ln lnln lnln b bbab e. 11 分 所以 1 ln ln ln a b bb , 即 1 lnfb b . 12 分 （22）解： () 由 3, 1, x

27、t yt 消去t得40xy, 1 分 所以直线l的普通方程为40xy. 2 分 由2 2 cos 4 2 2 cos cossinsin2cos2sin 44 , 3 分 得 2 2cos2sin. 4 分 将 222 ,cos,sinxyxy代入上式 , 得曲线C的直角坐标方程为 22 22xyxy, 即 22 112xy. 5分 () 法 1:设曲线C上的点为12 cos ,12sinP, 6 分 则点P到直线l的距离为 12 cos12 sin4 2 d7 分 2 sincos2 2 2sin2 4 . 2 8 分 当sin1 4 时, max 2 2d, 9 分 所以曲线C上的点到直线

28、l的距离的最大值为2 2. 10 分 法 2: 设与直线l平行的直线为:0lxyb, 6 分 当直线l与圆C相切时 , 得 1 1 2 2 b , 7 分 解得0b或4b(舍去 ), 所以直线l的方程为0xy. 8 分 所以直线l与直线l的距离为 04 2 2 2 d. 9 分 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 2. 10 分 （23）解： () 因为13f，所以1 23aa. 1 分 当0a时，得1 23aa，解得 2 3 a，所以 2 0 3 a; 2 分 当 1 0 2 a时，得123aa，解得2a，所以 1 0 2 a; 3 分 当 1 2 a时，得123aa，解得 4 3 a，所以 14 23 a; 4 分 综上所述，实数a的取值范围是 2 4 , 3 3 . 5 分 () 因为1,axR , 所以1212fxxaxaxaxa7 分 31a8 分 31a9 分 2. 10 分