最新中考《圆》有关的证明和计算.pdf

《最新中考《圆》有关的证明和计算.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新中考《圆》有关的证明和计算.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、精品文档 精品文档 （一对一）辅导专题讲解 备课时间 ：授课时间 ： 年级 ：初三 学生姓名 ：授课老师 ： 课题 ：圆的证明与计算 教学目标对所学过的与几何有关的性质、定理要熟记，并通过多做题达到熟能生巧 重点会进行圆的有关计算与证明 难点对一些解题方法的理解与运用 教 学 内 容 圆的证明与计算专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影 响，所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、 圆中的重要定理: (1) 圆的定义 : 主要是用来证明四点共圆. (2) 垂径定理 : 主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3) 三者之

2、间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等. (4) 圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等. (5) 切线的性质定理: 主要是用来证明垂直关系. (6) 切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7) 切线长定理 : 线段相等、垂直关系、角相等. 2. 圆中几个关键元素之间的相互转化: 弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化. 这在 圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第 1 问主要是判定切线；第2 问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面 积） ；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

3、 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂 直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系 是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化, 要善于进行由此及彼的联想、要总结 常添加的辅助线. 例： 方法一： 若直线 l 过 O 上某一点A，证明 l 是 O 的切线， 只需连 OA ，证明 OA l 就行了， 简称

4、“连 精品文档 精品文档 半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直. 例 1如图，在 ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证： EF 与 O 相切 . 例 2 如图， AD 是 BAC 的平分线， P 为 BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与 O 相切 . 证明一： 作直径 AE，连结 EC. AD 是 BAC 的平分线， DAB= DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB ， 1=B. 又 B=E， 1=E AE 是 O 的直径， AC EC， E+EAC=90 0

5、. 1+EAC=90 0. 即 OAPA. PA 与 O 相切 . 证明二： 延长 AD 交 O 于 E，连结 OA，OE. AD 是 BAC 的平分线， BE=CE ， OEBC. E+BDE=90 0. OA=OE ， E=1. PA=PD， 精品文档 精品文档 PAD=PDA. 又 PDA= BDE, 1+PAD=90 0 即 OA PA. PA 与 O 相切 说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例 3 如图， AB=AC ，AB 是 O 的直径， O 交 BC 于 D， DM AC 于 M 求证： DM 与 O 相切 . 例 4 如图，已知： AB

6、 是 O 的直径，点C 在 O 上，且 CAB=30 0，BD=OB ，D 在 AB 的延长线上 . 求证： DC 是 O 的切线 例 5 如图， AB 是 O 的直径， CDAB ，且 OA 2 =ODOP. 求证： PC 是 O 的切线 . 精品文档 精品文档 例 6 如图， ABCD 是正方形， G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于 E，交 CD 于 F. 求证： CE 与 CFG 的外接圆相切 . 分析： 此题图上没有画出CFG 的外接圆，但CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我 们取 FG 的中点 O，连结 OC，证明 CEOC 即可得解 . 证明： 取 FG

7、 中点 O，连结 OC. ABCD 是正方形， BCCD， CFG 是 Rt O 是 FG 的中点， O 是 Rt CFG 的外心 . OC=OG ， 3=G， AD BC， G=4. AD=CD ，DE=DE ， ADE= CDE=45 0， ADE CDE（SAS） 4= 1， 1=3. 2+ 3=90 0, 1+ 2=90 0. 即 CEOC. CE 与 CFG 的外接圆相切 精品文档 精品文档 方法二：若直线l 与 O 没有已知的公共点，又要证明l 是 O 的切线，只需作OAl， A 为垂足，证 明 OA 是 O 的半径就行了，简称： “作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题） 例

8、 1：如图， AB=AC ，D 为 BC 中点， D 与 AB 切于 E 点. 求证： AC 与 D 相切 . 分析： 说明： 证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的， 这类习题多数与角平分线有关. 例 2： 已知：如图， AC， BD 与 O 切于 A、B，且 ACBD ，若 COD=90 0. 求证： CD 是 O 的切线 . 证明一： 连结 OA ，OB，作 OECD，E 为垂足 . AC ，BD 与 O 相切， AC OA， BDOB. AC BD， 1+2+ 3+4=180 0. COD=90 0， 2+ 3=90 0， 1+4=9

9、00. 4+ 5=90 0. 1= 5. RtAOC RtBDO. OD OC OB AC . OA=OB ， OD OC OA AC . 又 CAO= COD=90 0， AOC ODC， 1= 2. 又 OAAC ，OECD, OE=OA. E 点在 O 上. O 精品文档 精品文档 CD 是 O 的切线 . 证明二： 连结 OA ，OB，作 OECD 于 E，延长 DO 交 CA 延长线于F. AC，BD 与 O 相切， ACOA ，BDOB. ACBD， F=BDO. 又 OA=OB ， AOF BOD （AAS ） OF=OD. COD=90 0， CF=CD ， 1=2. 又 OA

10、 AC ，OE CD， OE=OA. E 点在 O 上. CD 是 O 的切线 . 证明三： 连结 AO 并延长，作OECD 于 E，取 CD 中点 F，连结 OF. AC 与 O 相切， ACAO. ACBD， AOBD. BD 与 O 相切于 B， AO 的延长线必经过点B. AB 是 O 的直径 . ACBD， OA=OB ，CF=DF， OFAC， 1=COF. COD=90 0，CF=DF ， CFCDOF 2 1 . 2=COF. 1=2. OAAC ，OECD， 精品文档 精品文档 O D C BA O E D C B A F O E DCB A F O B A OE=OA. E

11、 点在 O 上. CD 是 O 的切线 说明： 证明一是利用相似三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2.证明三 是利用梯形的性质证明1=2，这种方法必需先证明A、O、B 三点共线 . 课后练习： （1）如图， AB 是 O 的直径， BCAB，ADOC 交 O 于 D 点，求证： CD 为 O 的切线； （2）如图，以RtABC 的直角边 AB 为直径作 O，交斜边AC 于 D，点 E 为 BC 的中点，连结DE， 求证： DE 是 O 的切线 . （3）如图，以等腰ABC 的一腰为直径作O，交底边BC 于 D，交另一腰于F，若 DEAC 于 E（或 E 为 CF 中点）

12、，求证： DE 是 O 的切线 . （4）如图， AB 是 O 的直径， AE 平分 BAF，交 O 于点 E，过点 E 作直线 EDAF，交 AF 的延长线于 点 D，交 AB 的延长线于点C，求证： CD 是 O 的切线 . 精品文档 精品文档 知识点二：与圆有关的计算 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复 杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借 助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解 决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

13、 （1）构造思想 ：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可 求其它所有线段长） ； 射影定理：所谓射影，就是正投影。其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的 正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。 由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这 条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公 式RtABC中 ,BAC=90,AD是 斜 边BC上 的 高 ,则 有 射 影 定 理 如 下 : ： (1)(AD) 2 ;=BD DC, (2)(AB

14、) 2;=BD BC , (3)(AC)2;=CD BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明) 构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； 构造勾股定理模型（已知线段长度）； 构造三角函数( 已知有角度的情况）; 6 找不到，找相似 （2）方程思想： 设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程， 解决问题。 （3）建模思想： 借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过 基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 典型基本图型： 图形 1：如图 1：AB 是 O 的直径，

15、点E、C 是 O 上的两点 ，基本结论有： （1）在“ AC 平分 BAE” ； “ADCD” ； “DC 是 O 的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图 2、3，DE 等于弓形 BCE 的高； DC=AE 的弦心距OF（或弓形BCE 的半弦 EF） 。 图1 O E D C BA F AB C D E O F AB C D E O K A B C D E O 精品文档 精品文档 （3）如图（ 4） ：若 CKAB 于 K，则： CK=CD ；BK=DE ；CK= 2 1 BE=DC ；AE+AB= 2BK= 2AD; ADC ACBAC 2=AD?AB （4）在 (1)中的条件、中任选两

16、个条件，当BGCD 于 E 时（如图5） ，则： DE=GB ； DC=CG ； AD+BG=AB ； AD?BG= 2 4 1 DG=DC 2 图形 2：如图：RtABC 中， ACB=90。点 O 是 AC 上一点，以OC 为半径作 O 交 AC 于点 E，基本结 论有 ： （1）在“ BO 平分 CBA” ;“BODE”;“AB 是 O 的切线” ;“BD=BC ” 。四个论断中，知一推三。 （2） G 是 BCD 的内心； BCO CDEBO?DE=CO?CE= 2 1 CE 2； （3）在图（ 1）中的线段BC、CE、AE、AD 中，知二求四。 （4）如图（ 3） ，若 BC=CE

17、，则： AD AE = 2 1 =tanADE； BC：AC：AB=3： 4：5 ； （在、中 知一推二）设BE、CD 交于点 H，,则 BH=2EH 图形 3：如图： Rt ABC 中， ABC=90 ,以 AB 为直径作 O 交 AC 于 D，基本结论有： 如右图：（1）DE 切 OE是 BC 的中点； （2）若 DE 切 O，则： DE=BE=CE ； D、O、B、E 四点共圆CED=2A CD CA=4BE 2, BA BC BD CD R DE 图形特殊化：在（1）的条件下 如图 1：DEABABC、CDE 是等腰直角三角形； 如图 2：若 DE 的延长线交AB 的延长线于点F，若

18、AB=BF ，则： 3 1 EF DE ; 2 1 R BE 图2 E G O F D C B A H 图3 A B C D F O G E 图1 EO D C B A O E A B C D A C D O E B F B D E O C A G 图5 A B C D E O CG=GD 精品文档 精品文档 图形 4：如图， ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径作 O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 F， 基本结论有： （1）DEACDE 切 O； （2）在 DEAC 或 DE 切 O 下，有：DFC 是等腰三角形； EF=EC ； D 是的中点。与 基本图形1 的结论重合。 连

19、 AD ，产生母子三角形。 图形 5：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有 ： （1）如图 1： AD+BCCD； COD=AEB=90； OD 平分 ADC（或 OC 平分 BCD） ； （ 注： 在、 及“ CD 是O 的切线 ” 四个论断中，知一推三） AD BCAB 4 12=R2； （2）如图 2，连 AE、CO，则有： COAE，CO?AE=2R2(与基本图形 2 重合 ) （3）如图 3，若 EF AB 于 F，交 AC 于 G，则： EG=FG. 图形 6：如图：直线PR O 的半径 OB 于 E，PQ 切 O 于 Q，BQ 交直线 PQ 于 R。 基本结

20、论有： （1）PQ=PR (PQR 是等腰三角形 )； （2）在“ PR OB” 、 “PQ 切 O” 、 “PQ=PR”中，知二推一 （3）2PR RE=BR RQ=BE 2R=AB 2 图形 7：如图， ABC 内接于 O，I 为 ABC 的内心。 基本结论有： （1）如图 1， BD=CD=ID ； DI 2DE DA； AIB=90 + 2 1 ACB; 图1图2 Q R PE O B A Q RP E O B Q R P E O B A Q RPE O B F E D C B O A 图1 E O I D CB A A BC D I O E BF 图 1 O E D CB A 图 2

21、 F A B C D E O 图 3 G F A B C D E O 精品文档 精品文档 （2）如图 2，若 BAC=60，则： BD+CE=BC. 图形 8：已知， AB 是 O 的直径， C 是中点， CD AB 于 D。BG 交 CD、AC 于 E、F。基本结论有： （1）CD= 2 1 BG；BE=EF=CE ；GF= 2DE ( 反之，由CD= 2 1 BG或BE=EF可得：C是中点 ) （2）OE= 2 1 AF，OEAC； ODE AGF （3）BE BG=BD BA （4）若 D 是 OB 的中点，则：CEF 是等边三角形； 范例讲解： 例题 1：ABP中，ABP=90，以AB

22、为直径作O交AP于C点，弧 CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为 M ，MC的延长线交BP于D. （1）求证：CD为O的切线； （2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求 AF EF 的值。 例题 2：直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F. 求证：CD为O的切线 若 5 3 AB BE ，求 DF BF 的值 例题 3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在O上，ACOP。 （1）求证：PC为O的切线。 （2）过D点作DEAB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求 DB DG 的值。 H O G F E D C BA

23、 BC=CG=AG BG BG F O E C D B A 精品文档 精品文档 O C F E D B A 例题 4（2009 调考） ：如图，已知ABC中，以边BC为直径的O与边AB交于点D，点E为的中点， AF为ABC的角平分线，且AFEC。 （1）求证：AC与O相切； （2）若AC6，BC8，求EC的长 家庭练习： 1如图， RtABC，以 AB 为直径作 O 交 AC 于点 D，过 D 作 AE 的垂线， F 为垂足 . （1）求证： DF 为 O 的切线； （2）若 DF =3， O 的半径为 5，求tanBAC的值 . O F H E D C B A BD BD=DE 精品文档 精

24、品文档 O C F E D B A O F E DC B A EAO F D C B 2如图， AB 为 O 的直径， C、D 为 O 上的两点，过 D 作直线 BC 的垂线交直线AB 于点 E，F 为垂足 . （1）求证： EF 为 O 的切线； （2）若 AC=6，BD=5，求sin E的值 . 3如图， AB 为 O 的直径，半径OCAB，D 为 AB 延长线上一点，过D 作 O 的切线， E 为切点， 连结 CE 交 AB 于点 F. （1）求证： DE=DF ； （2）连结 AE，若 OF=1，BF=3，求tanA的值 . 4如图， Rt ABC 中， C=90 ，BD 平分 ABC

25、，以 AB 上一点 O 为圆心过B、D 两点作 O， O 交 AB 于点一点E，EFAC 于点 F. （1）求证： O 与 AC 相切； （2）若 EF=3，BC=4，求tanA的值 . 5如图，等腰ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D，DE AC 于 E. （1）求证： DE 为 O 的切线； AD=DC 精品文档 精品文档 O E D C BA F E D C （2）若 BC=4 5，AE=1，求cosAEO的值 . 6如图， BD 为 O 的直径， A 为的中点， AD 交 BC 于点 E，F 为 BC 延长线上一点，且FD=FE. （1）求证： DF

26、为 O 的切线； （2）若 AE=2，DE=4， BDF 的面积为8 3，求tanEDF的值 . 7、如图， AB 是 O 的直径，M 是线段 OA 上一点，过M 作 AB 的垂线交AC 于点 N，交 BC 的延长线 于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，且 ECF =E （1）求证： CF 是 O 的切线； （2）设 O 的半径为1，且 AC=CE3，求AM的长 8、如图， AB 是 O 的直径， BCAB，过点 C 作 O 的切线 CE，点 D 是 CE 延长线上一点，连结AD， 且 AD+BC=CD . （1）求证： AD 是 O 的切线； （2）设 OE 交 AC 于 F，若 OF

27、=3，EF=2，求线段BC 的长 . BC F O E D C B A N M F O E C BA 精品文档 精品文档 F M H O N E D C B A D A O F E C B 9、如图， ABC 中， AB=BC ，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，且 CD=BD . （1）求证： BC 是 O 的切线； （2）已知点 M、N 分别是 AD、CD 的中点， BM 延长线交 O 于 E，EFAC，分别交 BD、BN 的延长 线于 H、F，若 DH=2，求 EF 的长 . 10、如图， AB 是半 O 上的直径， E 是 BC 的中点， OE 交弦 BC 于点 D，过点 C 作交 AD 的平行线交 OE 的延长线于点F. ADO=B. （1）求证： CF 为 O 的 O 切线； （2）求 sinBAD 的值 . 精品文档 精品文档 11、如图， ABC 中， ABAC，以 AC 为直径的 O 与 AB 相交于点E，点 F 是 BE 的中点 （1）求证： DF 是 O 的切线 （2）若 AE14，BC 12，求 BF 的长 O F E DC B A