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1、绝密启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2选择题必须使用2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12 小题
2、，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 =|1Ax x ， |2Bx x ，则 AB= A( 1，+)B(， 2) C( 1， 2)D 2设 z=i(2+i) ，则z= A1+2iB 1+2i C1 2iD 1 2i 3已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则 |ab|= A 2 B2 C5 2 D50 4生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只，则恰有2只 测量过该指标的概率为 A 2 3 B 3 5 C 2 5 D 1 5 5在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的
3、成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲D甲、丙、乙 6设 f(x)为奇函数，且当x0 时， f(x)=e1 x ，则当 x0)两个相邻的极值点，则= A2B 3 2 C1D 1 2 9若抛物线y 2=2px（p0）的焦点是椭圆 22 1 3 xy pp 的一个焦点，则p= A2B3 C4D 8 10曲线 y=2sinx+cosx 在点 (， 1)处的切线方程为 A10xyB2210xy C2210xyD10xy 11已知 a（ 0， 2 ）， 2sin
4、2 =cos2+1，则 sin = A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 12设F 为双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与 圆 x2+y2=a2交于 P、Q 两点若 |PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 A 2 B 3 C 2D 5 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 13若变量x，y 满足约束条件 2360 30 20 xy xy y ， ， ， 则 z=3x y 的最大值是 _. 14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有 20
5、个车次的正点率为0.98，有 10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为 _. 15 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=_. 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但 南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“ 半正多面体 ” （图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边 形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为48 的半正多面体， 它的所有顶点 都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长
6、为_ _（本题第一空2 分，第二空3 分） 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分。 17（ 12 分） 如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上， BEEC1. （1）证明： BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 11 EBBC C的体积 18（ 12 分） 已知 n a是各项均为正数的等比数列， 1322,216aaa . （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 l
7、og nn ba，求数列 n b的前 n 项和 . 19（ 12 分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度 相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表. y的分组 0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80) 企业数22453147 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2） 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精确到0.01） 附：748.602. 20（ 12 分） 已知 12,FF
8、是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点，P 为 C 上一点， O 为坐标原点 （1）若 2 POF为等边三角形，求C 的离心率； （2)如果存在点P，使得 12 PFPF，且 12 F PF的面积等于16，求 b 的值和 a 的取值范围 . 21.（12 分） 已知函数( )(1)ln1f xxxx.证明： （1）( )f x存在唯一的极值点； （2）( )=0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中， O
9、为极点，点 000 (,)(0)M 在曲线 :4sinC 上，直线 l 过点 (4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P. （1）当 0= 3 时，求 0及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且P 在线段 OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23 选修 4-5：不等式选讲（ 10 分） 已知( )|2 | ().f xxa xxxa （1）当1a时，求不等式( )0f x的解集； （2）若(,1)x时，( )0f x，求a的取值范围 . 1C2D3A4B5 A6D 7B8A9D10C11B12A 13 9140.9815 3 4 1621 17解： （1）由已知得B1C1平面 A
10、BB1A1，BE平面 ABB1A1， 故 11 B CBE. 又 1 BEEC，所以 BE平面 11 EB C. （2）由（1）知 BEB1=90 . 由题设知RtABERtA1B1E，所以 1145AEBA EB ，故 AE=AB=3， 1 26AAAE. 作 1 EFBB，垂足为F，则 EF平面 11 BBC C，且3EFAB. 所以，四棱锥 11 EBB C C的体积 1 3 6318 3 V. 18解： （1）设 n a的公比为 q，由题设得 2 2416qq，即 2 280qq. 解得2q（舍去）或 q=4. 因此 n a 的通项公式为 121 242 nn n a . （2）由（
11、1）得 2(21)log 221nbnn ，因此数列 n b的前 n项和为1321nn. 19.解： （1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 147 0.21 100 . 产值负增长的企业频率为 2 0.02 100 . 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企 业比例为 2%. （2） 1 ( 0.1020.10240.30530.50140.707)0.30 100 y， 5 2 2 1 1 100 ii i snyy 222221 ( 0.40)2( 0.20)240530.2014
12、0.407 100 =0.0296， 0.02960.02740.17s， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%. 20.解： （ 1）连结 1 PF，由 2 POF为等边三角形可知在 12 F PF中， 1290F PF ， 2 PFc， 1 3PFc，于是 12 2(31)aPFPFc，故C的离心率是31 c e a . （2） 由题意可知， 满足条件的点( ,)P x y存在当且仅当 1 | 216 2 yc，1 yy xc xc ， 22 22 1 xy ab ， 即| |16c y， 222 xyc， 22 22 1 xy ab ， 由及 222 ab
13、c得 4 2 2 b y c ，又由知 2 2 2 16 y c ，故4b. 由得 2 222 2 a xcb c ，所以 22 cb，从而 2222 232,abcb故4 2a. 当4b，4 2a时，存在满足条件的点P. 所以4b，a的取值范围为42,). 21.解：（ 1）( )fx的定义域为（0，+） . 11 ( )ln1ln x fxxx xx . 因为lnyx单调递增， 1 y x 单调递减，所以( )fx单调递增，又(1)10f， 1ln 41 (2)ln 20 22 f，故存在唯一 0(1,2)x ，使得 0 0fx. 又当 0 xx时，( )0fx，( )fx单调递减；当 0
14、 xx时，( )0fx，( )f x单调递增 . 因此，( )f x存在唯一的极值点. （2）由（ 1）知 0 (1)2fxf，又 22 ee30f，所以( )0fx在 0, x内存在唯一根 x. 由 01x 得 0 1 1x . 又 1111() 1 ln10 f f ，故 1 是( )0f x在 0 0,x的唯一根 . 综上，( )0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 22解：（ 1）因为 00 ,M在C上，当 0 3 时， 04sin2 3 3 . 由已知得| | cos2 3 OPOA . 设(, )Q为l上除 P的任意一点 .在RtOPQ中cos| 2 3 OP ， 经检验
15、，点(2,) 3 P 在曲线cos2 3 上. 所以， l的极坐标方程为cos2 3 . （2）设( ,)P，在RtOAP中，| | cos4cos,OPOA即4cos 因为 P在线段 OM上，且APOM，故的取值范围是, 4 2 . 所以， P点轨迹的极坐标方程为4cos, 4 2 . 23解： （1）当 a=1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx. 当1x时， 2 ( )2(1)0f xx；当1x时，( )0f x. 所以，不等式( )0f x的解集为(,1). （2）因为( )=0f a，所以1a. 当1a，(,1)x时，( )=() +(2)()=2()(1)0fxax xx xaax x. 所以，a的取值范围是1,).