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1、- 1 - 专题限时集训( 六) 数列 ( 对应学生用书第92 页) ( 限时： 120 分钟 ) 一、填空题 ( 本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请把答案填写在题中横线上) 1( 四川省凉山州2017 届高中毕业班第一次诊断性检测) 设数列 an 满足a1a，an 1a 2 n2 an1( nN *)，若 数列 an是常数列，则a_. 2因为数列 an 是常数列，所以aa2 a 2 12 a11 a 22 a1 ，即a(a 1)a 22，解得 a 2. 2 ( 江苏省南京市、 盐城市 2017 届高三第一次模拟) 设an 是等差数列， 若a4a5a621， 则S9 _. 63
2、 由a4a5a621 得a57，所以S9 a1a9 2 9a563. 3数列 an 满足an 1( 1) na n2n1，则 an的前 60 项和为 _ 1 830当n2k时，a2k1a2k 4k1； 当n2k1 时，a2ka2k14k3. 所以a2k1a2k1 2，所以a2k 1a2k32， 所以a2k1a2k3，所以a1a5a61. 所以a1a2a3a60 (a2a3) (a4a5) (a60a61) 3 711 (260 1) 303119 2 3061 1 830. 4( 江苏省泰州中学2017 届高三上学期第二次月考)等差数列 an 的前n项和Sn，若a1 2，S312，则 a6_.
3、 12 S3 12，S33a1 32 2 d3a13d 12. 解得d 2， 则a6a15d225 12. 5(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模) 已知等比数列 an 的前n项和为Sn，公比q3，S3 S4 53 3 ，则a3_. 3 等比数列 an 的前n项和为Sn，公比q3，S3S4 53 3 ， a1 3 31 a1 4 31 53 3 ，解得a11 3. 则 a3 1 33 23. 6(2017江苏省无锡市高考数学一模) 设等比数列 an的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列且 a2a54，则a8的值为 _ - 2 - 2 等比数列 an 的前n项和为Sn，若S3，
4、S9，S6成等差数列且a2a54， 2 a1q 9 1q a1q 3 1q a1q 6 1q ， a1qa1q 44， 解得a1q 8，q 31 2， a8a1q 7 (a1q)(q 3)281 42. 7(2017江苏省泰州市高考数学一模) 九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上 而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则该竹子最上面一节 的容积为 _升 13 22 设最上面一节的容积为a1， 由题设知 4a1 43 2 d3， 9a1 98 2 d 6 a1 65 2 d4， 解得a1 13 22. 8 (2017江苏省淮安市高考数学二
5、模) 已知 an是公差不为0 的等差数列，Sn是其前n项和， 若a2a3a4a5， S91，则a1的值是 _. 【导学号： 56394041】 5 27 设等差数列 an的公差为d(d0)， a2a3a4a5，S9 1， a1da12da13da1 4d， 9a198 2 d1， 解得a1 5 27. 9( 广东湛江市2017 届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列an中，若log2a2log2a8 1，则a3a7_. 2 由 log2a2log2a81 得 log2(a2a8) 1，所以a2a82，由等比数列性质可得a3a7a2a82. 10(2017江苏省盐城市高考数学二模)
6、记公比为正数的等比数列an 的前n项和为Sn. 若a11，S45S2 0，则S5的值为 _ 31 若等比数列的公比等于1，由a11，则S4 4,5S210，与题意不符 设等比数列的公比为q(q1)， 由a11，S45S2，得 a1q 4 1q 5a1(1 q) ， 解得q2. - 3 - 数列 an 的各项均为正数，q2. 则S512 5 12 31. 11( 广东郴州市2017 届高三第二次教学质量监测试卷) 在ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2， B2分别是线段A1A，B1B的中点，An，Bn分别是线段An1A，Bn1B(nN * ，n1)的中点，设数列 an， bn满足：
7、向量BnAn anCA bnCB (nN *) ，有下列四个命题，其中假命题是： _. 【导学号： 56394042】 数列 an 是单调递增数列，数列bn是单调递减数列； 数列 anbn是等比数列； 数列 an bn 有最小值，无最大值； 若ABC中，C90，CACB，则 |BnAn | 最小时，anbn1 2. 由BAn 1 1 2 nBA 1 1 2 n(CA CB ) ，BnB 1 2 nCB ，BnAn BnB BAn 1 1 2 nCA 1 2 n11CB ，所以an 1 1 2 n，bn 1 2 n11. 则数列 an 是单调递增数列，数列bn是单调递减数列，故正确；数列anbn
8、 即 为 1 2 n 是首项和公比均为 1 2的等比数列，故正确；而当 n1 时，a11 2，b 10，a n bn不存在； n 1 时， an bn 2 n 1 22 n 1 1 22 n在nN *上递增， 无最小值和最大值， 故错误； 在ABC中，C90，CACB，则|BnAn | 2 ( a 2 nb 2 n)CA 22a nbnCA CB 5 1 2 n 3 5 2 1 5，当 n1 时，取得最小值，即有|BnAn | 最小时，anbn1 2， 故正确 12(天津六校2017 届高三上学期期中联考) 已知数列 an满足：a11，an1 an an2( nN * )若bn1 (n 2)
9、1 an1 (nN *) ，b 1，且数列 bn是单调递增数列，则实数的取值范围是_ ， 2 3 因为an1 an an2? 1 an1 2 an 1? 1 an112 1 an1 ? 1 an 1 1 a11 2 n12n，所以 bn1 (n 2) 2 n，因为数列 bn是单调递增数列，所以当n2 时bn1bn? (n2) 2 n( n 12) 2 n1? n2 1? 221?b1? (1 2) 2?0， S180? a1a17 2 0? a9 2 0?a90， S180， S2 a20， S8 a80， S9 a90， S10 a10a2a8a9，所以 S1 a10. 由a2a716，得
10、2a17d 16. 由a3a655，得 (a12d)(a15d) 55. 4 分 由得 2a1167d将其代入得(163d)(16 3d) 220. 即 2569d 2220， d 24，又 d0，d 2. 代入得a1 1，an1(n1)2 2n 1.6 分 (2) b11，b22，bn2 n1， cnanbn(2n1)2 n 1， 8 分 Sn12 0321 (2 n1)2 n1, 2Sn12 1322 (2 n1)2 n. 两式相减可得： Sn12 0221222 22n1(2 n1)2 n12 2 n1 12 (2n1)2 n， Sn1 2 n1 12 (2n1)2 n12n1 4(2n
11、1)2 n2n13(2 n1)2 n， Sn3(2n1)2 n2n1 3(2 n3)2 n. 14 分 16(本小题满分14 分)( 河南省豫北名校联盟2017 届高三年级精英对抗赛) 已知各项均不相等的等差数 列an 的前五项和S520，且a1，a3，a7成等比数列 (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 若Tn为数列 1 anan 1 的前n项和，且存在nN *，使得 Tna n10 成立，求实数 的取值范围 解 (1) 设数列 an的公差为d，则 - 5 - 5a154 2 d20， a12d 2 a1a16d， 即 a12d4， 2d 2 a1d. 2 分 又因为d0，所以 a12
12、， d1. 4 分 所以ann1. 5 分 (2) 因为 1 anan1 1 nn 1 n1 1 n2， 所以Tn 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n2 1 2 1 n2 n n . 7 分 因为存在nN *，使得 Tnan10成立， 所以存在nN *，使得 n n (n2)0 成立， 即存在nN *，使 n n 2成立 . 10 分 又 n n 2 1 2n 4 n4 1 16( 当且仅当 n2 时取等号 ) ， 所以 1 16 . 即实数的取值范围是， 1 16 . 14 分 17(本小题满分14 分)( 四川省凉山州2017 届高中毕业班第一次诊断性检测) 已知数列 an满
13、足a11， anan12 n， nN *. (1) 若函数f (x) Asin(2x)(A0,00，anan1 1 2， an 是以 1 2为首项， 1 2为公差的等差数列 - 7 - an 1 2n. 4 分 (2) 证明：bnbn1n， b2b1 2 b3b2 3 ? bnbn 1n ?bnb1 nn 2 ?bn nn 2 . 1 bn 2 nn 2 1 n 1 n 1 ，Tn2 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 2 1 1 n1 2n n1，即 Tn( 1) nk( an4) 对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围 解 (1) 设公差为d，则 5a1 54 2 da14da15d25，a1 1，d3. an 的通项公式为an3n4. 6 分 (2)Snn 3nn 2 ，2Sn8n273n 23n27， an43n； 8分 ( 1) nkn19 n ；当n为偶数时，k 4n n 2 4n n 2 4n4 4 n 4 n4 . n4 n 4，当且仅当n2 时等号成立， 4 n 4 n4 4 44 1 2. 因此1 2，即 的取值范围是 1 2 ，. 16 分 - 9 -