《2013年湖南长沙中考数学试卷及答案(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年湖南长沙中考数学试卷及答案(解析版).pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、- 1 - 湖南长沙 2013 年初中毕业学业水平测试数学卷 一、选择题： 1. （ 2013 湖南长沙第 1 题 3 分）下列实数是无理数的是（） A.-1 B.0 C. 2 1 D.3 【答案】 D. 2. （ 2013 湖南长沙第 2 题 3 分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到 与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（） A.617 10 5 B.6.17 10 6 C.6.1710 7 D.0.617 10 8 【答案】 C 。 3. （ 2013 湖南长沙第 3 题 3 分）如果一个三角形的两边长分别是2 和 4，则第三边可能
2、是（） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】 B. 4.（2013 湖南长沙第 4 题 3 分）已知 O1的半径为 1cm ，O2的半径为3cm ，两圆的圆心距O1O2为 4cm， 则两圆的位置关系是（） A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 【答案】 B. 5. （ 2013 湖南长沙第 5 题 3 分）下列计算正确的是（） A.a 6a3=a3 B.(a2)3=a8 C.(a-b) 2=a2-b2 D.a2+a2=a4 【答案】 A. 6. （ 2013 湖南长沙第 6 题 3 分）某校篮球队12 名同学的身高如下表： 身高（ cm) 180 186 188 192 195 人数1
3、2 5 3 1 则该校篮球队12 名同学的身高的众数是（单位：cm) A.192 B.188 C.186 D.180 【答案】 B. 7. （ 2013 湖南长沙第 7 题 3 分）下列个图中，1 大于 2 的是（） 【答案】 D 8. （ 2013 湖南长沙第 8 题 3 分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（） A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 【答案】 A. 9. （ 2013 湖南长沙第 9 题 3 分）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴 对称知识的是（） A B C A 1 2 (AB=AC) 1 2 a b B 1 2 a b c C A
4、 B C D 2 1 D - 2 - 【答案】 C. 10. （2013 湖南长沙第 10 题 3分）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系式错误的是 （） A.a 0 B.c0 C.b 2-4ac 0 D.a+b+c 0 【答案】 D. 二、填空题： 11. （2013 湖南长沙第 11 题 3 分）计算： 28 = 【答】 28 =22-2=（2-1 ）2=2. 填2。 12. （2013 湖南长沙第 12 题 3 分）因式分解：x 2+2x+1= 【答】根据完全平方公式得，x 2+2x+1=（x+1)2，故填（ x+1)2 13. （2013 湖南长沙第 13 题 3
5、 分）已知 A=67 0，则 A的余角等于 度 【答】 23 0 14. （2013 湖南长沙第 14 题 3 分）方程 xx 1 1 2 的解为 x= 【答案】 x=1 15. （2013 湖南长沙第 15 题 3 分） 如图， BD是 ABC的平分线，P是 BD上的一点，PE BA于点 E,PE=4cm, 则点 P到边 BC的距离为 cm 【答案】 4. 16. （2013 湖南长沙第 16 题 3 分）如图，在ABC中，点 D,E 分别是边AB,AC的中点，则ADE与 ABC的周长之比等于 【答案】 1:2 （或 2 1 ） - 3 - 17. （2013 湖南长沙第 17 题 3 分）
6、在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其 中有 2 个红球，每次摸球前先将盒子中的求摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重 复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2 ，那么可以推算出n大约是 【答案】 10 18. （2013 湖南长沙第 18 题 3 分）如图，在梯形ABCD 中， ADBC, B=50 0 , C=80 0,AECD交 BC于点 E,若 AD=2 ，BC=5，则边 CD的长是 【答案】 3 19. （2013 湖南长沙第 19 题 6 分）计算：3+（-2 ） 2 -（5+1） 0 【解】原式 =3+4-1=6 。 20. （2013
7、湖南长沙第 20 题 6 分）解不等式组 xx xx 34 3)1(2 并将其解集在数轴上表示出来 【解】解不等式2(x+1) x+3, 得x 1; 解不等式x-4 3x, 得 x-2, 把解集在数轴上表示出来， 所以原不等式组的解集是-2 x1。 21. （2013 湖南长沙第 21 题 8 分） “宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量备受人们关注。我市某 空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013 年 1 月份至 4 月份若干天的空气质 量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题： （1）统计图共统计了天的空气质量情况。 （2）请将条形统计图补
8、充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数。 （3）从小源所在班级的40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的 概率是多少？ 【解】 （1）100； （2）优的天数是20 天，图略，空气质量为 “优”所在扇形的圆心角度数是72 0； （ 3） 40 1 。 22. （2013 湖南长沙第 22 题 8 分）如图， ABC中，以 AB为直径的 O交 AC于点 D,DBC= BAC. （1）求证： BC是 O的切线； （2）若 O的半径为2， BAC=30 0, 求图中阴影部分的面积。 - 4 - 【解】（1） AB是 O的直径， ADB=90 0, ABD+
9、 BAC=900, DBC= BAC ， ABD+ DBC=900, BC是 O的切线； (2) 连接 OD, BAC=30 0, BOD=600, OB=OD, OBD是等边三角形， S阴影=S扇 形 OBD-SOBD=3 3 2 32 2 1 360 260 2 . 23. （2013 湖南长沙第 23 题 9 分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星 城南北、东西的地铁1、 2 号线。已知修建地铁1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比2 号线每千米的平均造价多0.5 亿元。 （1）求 1 号线、 2 号线每千
10、米的平均造价分别是多少亿元？ （2）除 1、2 号线外，长沙市政府规划到2018 年还要再建91.8 千米的地铁线网。据预算，这91.8 千 米地铁线网每千米的平均造价是1 号线每千米的平均造价的1.2 倍，则还需投资多少亿元？ 【解】（1）设 1 号线每千米的平均总价是x 亿元，则2 号线每千米的平均总价是（x-0.5 ）亿元，根据 题意，得24x+22(x-0.5)=265,解得 x=6. 所以 x-0.5=5.5(亿元） 。答： 1 号线、 2 号线每千米的平均造价 分别是 6 亿元、 5.5 亿元。（2）91.8 1.2 6=660.96 （亿元）。 24. （2013 湖南长沙第 2
11、4 题 9 分）如图，在平行四边形ABCD 中，M,N分别是 AD,BC的中点， AND=90 0, 连接 CM交 DN于点 O. （1）求证： ABN CDM ； （2）过点 C作 CE MN于点 E，交 DN于点 P，若 PE=1 ， 1= 2，求 AN的长。 【解】（ 1）平行四边形ABCD ， ABN= CDM,AB=CD,BC=AD, M,N 分别是AD,BC 的中点， BN= 2 1 BC,DM= 2 1 AD, BN=DM, ABN CDM ； (2) 由（ 1）易证四边形CDMN是平行四边形， AND=90 0,AM=DM, MN= 2 1 AD=DM, 四边形CDMN是菱形，
12、 1=MND= CND= 2， PN=PC, NEP= CEN, NEP CEN,EN 2=EP EC,设 PN=x=PC ，则 NE2=1 (x+1), CE MN ， x2=12+(x+1), 解得 x=2 或 x=-1 （舍去），由勾股定理求的NE=3, PE=1= 2 1 PN, 1=MND= CND= 2=30 0 ， CMN 是等边 三角形， CM=CN=23, 由（ 1）得 ABN CDM ， AN=CM=23. 25. （2013 湖南长沙第 25 题 10 分）设 a,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb 的 实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 a,b
13、.对于一个函数， 如果它的自变量x 与函数值y 满足： 当 m xn 时，有 m yn, 我们就称此函数是闭区间m.n 上的“闭函数”. （1）反比例函数y= x 2013 是闭区间 1,2013上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数y=kx+b(k 0)是闭区间 m,n 上的“闭函数” ，求此函数的解析式； （3）若二次函数y= 5 1 x 2- 5 4 x- 5 7 是闭区间 a,b上的“闭函数” ，求实数 a,b 的值。 【解】（ 1）是。理由：根据“闭区间”和“闭函数”的规定，当1 x 2013 时，1 1 2013 1 x ， 2013 2013 1 x ，即 1y2
14、013，所以反比例函数y= x 2013 是闭区间 1,2013上的“闭函数” ； （2）因 为一次函数y=kx+b(k 0) 是闭区间 m,n 上的“闭函数”， 所以 k0，由 m xn， 得 km+b kx+bkn+b， - 5 - 根据“闭函数”的规定有 nbkn mbkm ，方程相减得k(m-n)=m-n ，由于 m n, 所以 k=1, 把 k=1 代入任一 方程， b=0，此函数解析式是y=x; （3）y= 5 1 (x-2) 2- 5 11 , 对称轴是x=2, 顶点是（ 2，- 5 11 ） 。分三种情况： 当ab 2 时， y 随 x 增大而减小，当axb 时， 5 1 b
15、2- 5 4 b- 5 7 y 5 1 a 2- 5 4 a- 5 7 ，由规定可得 abb baa 5 7 5 4 5 1 5 7 5 4 5 1 2 2 ，方程相减得 5 1 （ a+b)(a-b)- 5 4 (a-b)=-(a-b),由于 a b, 得 a+b=-1 ，a=-b-1 ，代 入第二个方程得b 2+b-2=0, 解得 b=-2 或 b=1, 由于 ab,b=1 ，此时 a=-2. 故 1 2 b a . 当 a2 b 时， 函数的最小值为- 5 11 ，根据闭函数的意义有当a x b 时， - 5 11 y 5 1 a 2- 5 4 a- 5 7 或 - 5 11 y 5 1
16、 b 2- 5 4 b- 5 7 , 于是 baa a 5 7 5 4 5 1 5 11 2 或 bbb a 5 7 5 4 5 1 5 11 2 ，解得 5 26 5 11 b a 或 2 1099 5 11 b a （其中 2 1099 5 11 b a 舍去） ； 当 2 ab时， y 随 x 增大而增大， 当 ax b时， 5 1 a 2- 5 4 a- 5 7 y 5 1 b 2- 5 4 b- 5 7 , 根据规定有， 5 1 a 2- 5 4 a- 5 7 =a, 5 1 b 2- 5 4 b- 5 7 =b, 即 a、b 是 5 1 s 2- 5 9 s- 5 7 =0 的两个
17、根， s= 2 1099 ，不合 题意，应舍去. 综上所述： a、b 的值为 1 2 b a 或 5 26 5 11 b a 或 2 1099 5 11 b a . 26. （2013 湖南长沙第 26 题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2 与 x 轴， y 轴分别交于 点 A，点 B，动点 P（a,b) 在第一象限，由点P 向 x 轴， y 轴所作的垂线PM,PN （垂足为M,N）分别与直 线 AB相较于点E,点 F，当点 P（ a,b) 运动时，矩形PMON 的面积为定值2. （1）求 OAB的度数； （2）求证 AOF BEO ； （3）当点 E,F 都在线段AB上时
18、，由三条线段AE,EF,BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为 S1, OEF的面积为S2. 试探究： S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理 由. - 6 - 【解】（1）当 x=0 时， y=2，当 y=0 时， x=2，所以点a 坐标为（ 2,0 ） ，点 B坐标为（ 0,2 ） ，OA=OB, 所以 OAB=45 0； （2）方法一：因为矩形 OMNPN 的面积是2，所以点 P坐标为（ a, a 2 ） ，点 E坐标为（ a,-a+2), 点 F坐标为 （ a a22 ， a 2 ） ， AF=2 2 a ， BE=2a， aaBE OA2 2 2
19、 , a a OB AF2 2 22 ， OB AF BE OA , OAF= EBO=45 0, AOF BEO ；方法二：先求各点坐标， A(2，0),B(0 ，2),E(a,2-a),F(2-b,b), OA OB=4 ，AF BE=4222abab， OA OB=AF BE ， OB AF BE OA , OAF= EBO=45 0, AOF BEO ； （3）AE=2(2-a),BF=2(2-b),EF=2(a+b-2), AE 2+BF2= 2(2-a) 2+ 2(2-b) 2=2a2+2b2-8a-8b+16,EF2= 2(a+b-2) 2=2(a+b-2)2=2a2+2b2-8
20、a-8b+16, AE 2+BF2=EF2, 所构成的三角形是直角三角形， EF是斜边， S1=【 2 )2(2ba 2= 2 (a+b-2) 2, 过 点 O作 EF边上的高， 易求得高为2，S2=)2(22 2 1 ba=a+b-2; S1+S 2= 2 (a+b-2) 2+ （a+b-2 ） = 2 (a+b-2)+ 1 2- 2 1 , 对 称 轴 是x=- 1 , 抛 物 线 的 开 口 向 上 。 由 基 本 不 等 式 知a+b 2ab=22,a+b-2 22-2 - 1 ，根据二次函数的性质，当a+b-2=22-2 时， S1+S2的值最小，最 小值为 2 （22-2 ） 2+2 2-2 。