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1、专题 18 简单的不定方程、方程组 阅读与思考 如果方程 (组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的 方程 (组)称为不定方程(组) 对于不定方程 (组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解加上这类限制后，解可能唯一 确定，或只有有限个，或无解这类问题有以下两种基本类型： 1判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组 )常常转化为二元一次不定方程求其整数 解 解不定方程 (组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、 因
2、数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法根据方程(组 )的特点进行适当变形，并 灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路 例题与求解 【例 1】 满足 2222 19981997mn(0mn1 998)的整数对 (m，n)共有 _对 (全国初中数学联赛试题) 解题思路： 由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答 【例 2】 电影票有 10 元， 15 元， 20 元三种票价，班长用500 元买了 30 张电影票，其中票价为20 元的 比票价为10 元的多 ( ) A 20 张B15 张C10 张D5 张 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 解题思路： 设购买 10
3、元， 15 元， 20 元的电影票分别为x，y，z张根据题意列方程组，整体求 出的zx值 【例 3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前 三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码 (湖北省武汉市竞赛试题) 解题思路： 探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手 【例 4】一个盒子里装有不多于200 粒棋子，如果每次2 粒，3 粒， 4 粒或 6 粒地取出，最终盒内都剩一 粒棋子；如果每次11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子? (重庆市竞赛试题) 解题思路： 无论怎样取， 盒子里的棋子数不变。恰
4、当设未知数， 把问题转化为求不定方程的正整数解 【例 5】甲组同学每人有28 个核桃，乙组同学每人有30 个核桃，丙组同学每 人有 31 个核桃，三组的核桃总数是365 个问：三个小组共有多少名同学? (海峡两岸友谊赛试题) 解题思路： 根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手 【例 6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22 人，就会余下1 人；如果开 走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车 问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32 人) 解题思路： 设原先租客车x辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k人，根据题意列出方程
5、求解，注意 排除不符合题设条件的解 能力训练 A 级 1若 22 5 440 4 abab，则ab_ 2已知4360xyz，270xyz(xyz 0) ，则 222 222 236 57 xyz xyz 的值等于 _ 31998 年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_岁 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 4已知a，b，c为整数，且2006ab，2005ca若ab，则abc的最大值为 _ (全国初中数学竞赛试题) 5x，y都是质数，则方程1999xy共有 ( ) A1 组解B2 组解C3 组解D4 组解 (北京市竞赛试题) 6如图，在高速公路上从3 千米处开始，每隔 4 千
6、米设一个速度限制标志，而且从10 千米处开 始每隔9 千米设一个测速照相标志，则刚好在 19 千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设 置这两种标志的地点的千米数 是( ) A 32 千米B37 千米C55 千米D90 千米 7给出下列判断： 不定方程230xy的整数解可表示为 3 2 xt yt (t为整数 ) 不定方程245xy无整数解 不定方程231xy无整数解 其中正确的判断是( ) ABCD 8小英在邮局买了10 元的邮票， 其中面值0.10 元的邮票不少于2 枚，面值 O.20 元的邮票不少于5 枚， 面值 0.50 元的邮票不少于3 枚，面值2 元的邮票不少于1 枚，则小英最少买
7、了( )枚邮票 A 17 B18 C19 D20 (“ 五羊杯 ” 邀请赛试题 ) 9小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12 颗，每个小盒子装5 颗，若弹子共有99 颗，所用 大小盒子多于10 个，问这两种盒子各有多少个? 10中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡问鸡翁、鸡母、 鸡雏各几何 ? (出自中国数学家张丘建的著作算经) 11已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 12已知k是满足19102010k的整数，并且使二元一次方程组 547 45 xy xyk 有整数解问：这样 的整数k有
8、多少个？ （“ 华罗庚金杯 ” 竞赛试题 ） B 级 1如果a，b，c满足 222 2222690abcabbcc，那么 2 abc_ (“ 祖冲之杯 ” 邀请试题 ) 2已知x，y为正偶数，且 22 96x yxy，则 22 xy_ 3一个四位数与它的四个数字之和等于1 991这个四位数是_ (重庆市竞赛试题) 4城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一 种奖牌每个盒中装奖牌枚数依次是3， 6，9，14，18现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是 金牌枚数的2 倍则有金牌 _枚，银牌 _枚，铜牌 _枚 5若正整数x，y满足 22 72xy，则这
9、样的正整数对(x，y)的个数是 ( ) A1 个B2 个C3 个D 4 个 6有甲、乙、丙3 种商品，单价均为整数，某人若购甲3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24 元；若购甲4 件、 乙 10 件、丙 l 件共需 33 元，则此人购甲、乙、丙各1 件共需 ( )元 A 6 元B8 元C9 元D10 元 7在方程组 333 0 36 xyz xyz 中，x，y，z是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( ) A 6 B3 C多于 6 D少于 3 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 8一个两位数中间插入一个一位数(包括 0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变 成的三位数是原来
10、两位数的9 倍，这样的两位数有( )个 A 1 B4 C10 D超过 10 9李林在银行兑换了一张面额为l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看 倒置了 (例如，把1234 元看成了3412 元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去350 元之后， 发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元? (“ 五羊杯 ” 邀请赛试题 ) 10某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看 到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。他看到的里程碑上的数又 恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少? (“ 勤奋杯 ” 竞赛试题 ) 11已知四位数abcd满足 3333 110abcdcd，求这样的四位数 (“ 数学周报杯” 全国初中数学竞赛试题) 12求方程 1115 6xyz 的正整数解 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 )