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1、专题 24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等 位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点， 而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据 1平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 2平行线的性质 (1)过
2、直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例 1】 (1) 如图， ABDE， ABC 0 80， CDE 0 140，则 BCD_. （安徽省中考试题） (2) 如图，已知直线ABCD， C 0 115， A 0 25，则 E_. （浙江省杭州市中考试题） D B 图 F E C A 解题思路： 作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例 2】 如图，平行直线AB，CD 与相交直线EF，GH 相交，图中的同旁内角共有(
3、) A 4 对B8 对 C12 对D16 对 （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路 ：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手 D E C A B 图 1 AB CD G H E F F D E B C A 例 2 题图例 3 题图 【例 3】 如图，在 ABC 中， CE AB 于 E，DFAB 于 F，AC/ED，CE 是 ACB 的平分线，求 证： EDF BDF. （天津市竞赛试题） 解题思路 ：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意 分解图形 【例 4】如图，已知AB CD， EAF 4 1 EAB， FCF 4 1 E
4、CD.求证： AFC 4 3 AEC. （湖北省武汉市竞赛试题） 解题思路： 分别过点E，F 作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系. A B F C D E 例 4 题图例 5 题图 【例 5】 如图，已知 1 2， C D，求证： A F. 解题思路 ：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是 解这类问题的基本思路. F A B C 1 D E 2 【例 6】(1)已知平面内有4 条直线 a， b，c 和 d，直线 a，b 和 c 相交于一点，直线b，c 和 d 也相交 于一点，试确定这4 条直线共有多少个交点？并说明你的理由 (2)作第 5条直线 e
5、与(1)中的直线d 平行 . 说明：以这5 条直线的交点为端点的线段有多少条？ （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路 ：(1)先设直线a，b，c 的交点为P，直线 b，c，d 的交点为Q，证得 P 与 Q 实为同一点， 得出结论 (2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质. 能力训练 A 级 1 在同一平面内有 1 a， 2 a， 3 a， 10 a十条直线， 如果 1 a/ 2 a， 2 a 3 a， 3 a/ 4 a， 4 a 5 a， 5 a/ 6 a， 6 a 7 a，那么 1 a与 10 a的位置关系是 _. 2如图，已知AE BD， 1 0 130， 2 0 30，则 C_ （湖南
6、省常德市中考试题） 3如图，直线a，b 都与直线 c 相交，下列命题中，能判断ab 的条件是 _（把你认为正 确的序号填在横线上） 1 2； 3 6； 1 8； 5 8 0 180 （陕西省中考试题） 第4题图 2 1 第3题图 第 2题图 7 8 6 5 4 3 2 1 2 1 D AE C B a b 4. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上， 则 1 2_. （山东省烟台市中考试题） 5下面四个命题中正确的是( ) A相等的两个角是对顶角B和等于 0 180的两个角互为邻补角 C连结两点的最短线是过这两点的直线 D两条直线相交所成的四个
7、角都相等，则这两条直线互相垂直 （ “希望杯”邀请赛试题） 6下列命题 两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直 两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等 两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直 两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直 其中正确的有( ) A4 个B3 个C2 个D1 个 7如图， DHEGBC，且 DCEF，那么图中与BFE 相等的角 (不包括 BFE)的个数是 ( ) A.2 B4 C 5 D 6 （山东省菏泽地区中考试题） 8如图， ABCDEF GH，AEDG，点 C 在 AE 上，点 F 在 DG 上，设与相等的角的个数 为 m（
8、不包括 a 本身） ，与互补的角的个数为n若 a，则 mn 的值是 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第8题图第7题图 C F G A F G DH BC B E D H E A 9如图，已知ABED， NCB 0 30，CM 平分 BCE，CNCM，求 B 的度数 10.如图，已知E 是 AB，CD 外一点， D B E，求证： ABCD. A B ED N C M 11.平面上有10 条直线，无任何3 条交于一点，要使它们出现31 个交点，怎样安排才能办到？ （吉林省竞赛试题） A B E D C 12.如图，已知CDEF， 1 2 ABC，求证： AB/GF. （重庆市
9、竞赛试题） B 级 1. 如图， A 0 60， 1 2，则 ADC 的度数是 _. 2如图，直线ab，那么x的度数是 _. （五城市联赛试题） b a 第1题图 第2题图第3题图 x 48 30 30 120 2 1 C D E A B AD BC D C F 3如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后， 点 D，C 分别落在D，C的位置， 若 EFB 0 65，则 AED _. （山东省中考试题） 4如图，已知DEBC， 2 0 70， 1 0 40，那 EBA 的度数是 _. A C 2 1 E B Dl k 4 3 2 1 第 4 题图第 5题图 5. 如图，直线kl， 4 3 3 2 2
10、 一 3d 0其中 3 0 90， 1 0 50，则 4 最大可能的整数值是( ) A. 107 0 B108 0 C109 0 D110 0 6. 如图， ABCDEF， EHCD 于 H，则 BAC ACE CEH 等于 ( ) A 180 0 B270 0 C360 0 D450 0 ( 北京市竞赛试题） 7如图，两直线AB，CD 平行，则 1 2 3 4 5 6 ( ) A 630 0 B. 720 0 C800 0 D. 900 0 （ “希望杯”邀请赛试题） B D F A C 6 5 4 3 2 1 H A C E B D E F G H 第 6 题图第 7 题图 8两条直线a，
11、b 互相平行，直线a 上顺次有10 个点 A1，A2， A10，直线 b 上顺次有 9 个点 B1， B2， B3，将 a 上每一个点与 b 上每一个点相连可得线段若没有三条线段相交于同一点，则这些线 段的交点个数是( ) A. 90 B.1620 C.6480 D.2006 9如图，已知两条平行线AB， CD 被直线 EF 所截，交点分别为G，H，P 为 HD 上任意一点，过 P 点的直线交HF 于 O 点，求证：HOP AGF HPO. O P AB CD E F 10如图，在 ABC 中， AB7，AC11，点 M 是 BC 的中点， AD 是 BAC 的平分线， MF AD.求 FC
12、的长 ( 2013 年“ 数学周报 ”杯竞赛试题 ) D F M B C A 11平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于26 0 （莫斯科八年级竞赛试题） 12如图， MA1NA2，则 A1 A2_. 如图， MA1NA3，则 A1 A2 A3 _. 如图， MA1NA4，则 A1 A2 A3 A4_. 如图， MA1NA5，则 A1 A2 A3 A4 A5_. 从上述结论中你发现了什么规律？请在图，图，图中选一个证明你的结论. （2）如图 5， n NA|MA 1 ，则 n AAAA 321 . （3）利用上述结论解决问题：如图已知CD|AB，ABE和 CDE的平分线相交于 F， 140E， 求BFD的度数 . A6 An A5 A4 A2 A1 M N A2 （第 21 题） A1 M N A3 A2 A1 M N A3 A4 A2 A1 M N A3 A5 A4 A2 A1 M N A3 图 图 图 图 图 F E B A C D 图