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1、专题 27 数形结合 例 1 5 提示 :作出 B点关于 x 轴的对称点B(2,-3)， 连结 AB交 x 轴于 C， 则 AB=AC 十 CB 为 所要求的最小值. 例 2 D 提示 :设两直角边长为a， b， 斜边长为 c， 由题意得 a+b+c=x，xab 2 1 ,又 222 cba， 得 . 4 24 b b a.因 a,h 为边长且是整数.故当 , 04 , 02 b b 得 b4，要使 a,b 为整数， 只有两种取法:若 b=5 时，a=12(或 b= 12,a=5);若 b=8 时， a=6(或 b=6,a=8). 例 3 设 AB=x， 则 BC=2x,AC= x3 , BE
2、=x 2 1 ,DF =DA= . 3 2 , 3 1 xBDx .在 RtAEB 中求得 AE=, 2 3 xBFx代入证明即可. 例 4 如图，作出函数xxy5 2 图象，由图象可以看出: 当 a=0 时， y=0 与xxy5 2 有且只有相异二个交点;当 4 25 0a时， y=a 与xxy5 2 图象有四个不同交点; 当 4 25 a时， y=a 与xxy5 2 图象有三 个不同交点，当 4 25 a时， y=a 与xxy5 2 图象有且只有相异二个交点. 例 5 由L c s c b s b a s a 222 ,知正数cba,适合方程. 2 L x s x当0x时， 有02 2 s
3、Lxx，故cba,是方程的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所 以cba,中的某两数必相同.设ba,若ac，由得ca ac s ac sca 211 2， 则 ac=2s=a a h，这样 ABC 就是以 B 为直角的直角三角形，ba，矛盾，故a=c，得证 . 例 6, ABCAOCBOCAOB SSSS ,34 2 1 120sin 2 1 32 1 150sin 32 1 xz y z y x 即 ,6 2 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 xz y z y x 化简得.32432zxyzxy 能力训练1.32提示 :构造含15 的 Rt ABC. 2.062，提示 :如图
4、，分别过点A,C 作 x 轴的垂线，垂足分别 为 E, F.设 OE=a, BF=b，则 AE=a3, CF=b3，所以点A,C 的 坐 标 为.3,2,3,bbaaa ,3323 ,333 2 bab a 解 得 .36 ,3 b a 点 D 坐标为0,62. 3. 5 2 -提示 :当 R,P， Q 三点在一条直线上时，PR+RQ 有最小值 . 4.axb 5. 36提示 :由01 2 xx得 2 1xx1，则有ABOB.在 OB 上截取 OC=AB=x，又由 01 2 xx得 xx x1 1 ，即 AB OA BC AB ，则OAB ABC,AB=AC=OC. 6. C 提示 :由题所给
5、的数据结合坐标系可得， 55 A是第 14 个正方形上的第三个顶点，位于第 一象限，所以 55 A的横纵坐标都是14. 7. A 8. B 提示：由条件, 22 babacaba即 b ca a b caab, 2 ，延长 CB 至 D， 使 BD=AB，易证 ABC DAC，得 ABC=D+BAD=2D=2BAC. 9. D 10. C 提示 :设直角三角形的两条直角边长为,baba则abkbaba 2 1 22 (kba,均为正整数 )，化简得 44 , 24 84 , 14 ,844 kb ka kb ka kbka或解得 8 , 6 , 1 4 , 3 , 2 12 , 5 , 1 b
6、 a k b a k b a k 或或即有 3组解 . 11. (1)12 2 xxy(2)过 D 作 DM EH 于 M，连结 DG, 2,DODGtDM, .222 2 tMGFG若 EF+GH=FG 成立， 则 EH= 2FG.由 EF/x 轴，设 H 为 tx , 4 ，又 E,H为 抛 物 线 上 的 两 个 点 ，,12 3 2 3txx,124 2 4 txx即 43,x x是 方 程 txx12 2 的两个不相等的实数根，txxxx1,2 4343 ， 2 43 2 4334 22222,224tttxxxxxxEH,解得 8 197 , 8 197 11 tt(舍去 ). 1
7、2.a 十 A=b+B=c 十 C=k，可看作边长为k 的正三角形，而从 2 k联想到边长为k 的正方形的 面积 .如图，将 aB+bC+cA 看作边长分别为a 与 B,b 与 C,c 与 A 的三个小矩形面积之和，将三 个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB+bC+cAk 2 . 13. AC=AG+GF+FC=16，由 AH AI=AG AF，得 AH (AH7)2 (2 13)，解得 AH3，从而 HI7，BI 6设 BDx，CE y，则由圆幂定理 得 CE ?CDCF ?CG BD?BEBI?BH，即 y(16x)1 14 x(16y)6 13 .解得 x1022 y62
8、2 .故 DE16(xy)222. 14. t 2或 3 t7 或 t8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想. 由题意知 AMQ60， MN 2当 t2 时，圆 P与 AB 相切；当3t7 时，点 P到 AC的距离为3，圆 P与 AC相切；当t8 时，圆 P与 BC相切 15设 AD 2，DC1，作 BEAC，交 AC 于 E又设 EDx,则 BE 3x,BE EC 3x又 1 x3x, x 31 2 ,BE 33 2 , AEADED2 x 33 2 ， AB 2 AE 2BE2 （ 33 2 ） 2（ 33 2 ） 2 6，而 AD?AC6 AB2 AD?AC.故由切
9、割线定理逆定理 知， AB是 BCD的外接圆的切线 16设 AD AB AE AC m(0m1). SABE SABC AE AC m，SABEm SABC又 SBDE SABE BD AB ABAD AB 1m， SBDE(1m)? SABE m(1 m)? SABC即 K (1m)?mS，整理得Sm 2 SmK0,由 0 得 K 1 4S . 17分以下几种情况： 若此等腰三角形以OA 为一腰，且 BAC为顶角，则AOAG 2设 C1（ x,2x） ， 则 x2（ 2x2） 222，解得 x8 5，得 C 1（ 8 5， 16 5 ） 若此等腰三角形以OA 为一腰， 且 O 为顶角顶点， 则 OC2OC3OA 2设 C2（x，2x ）, 则 x 2（ 2x ）222，解得 x 2 5 5，得 C2（ 2 5 5， 4 5 5） 又由点 C2与 C3关于原点对称，得C3（ 2 5 5， 4 5 5） 若等腰三角形以OA 为底边，则C4的纵坐标为1，其横坐标为 1 2，得 C 4 (1 2，1) 所以， 满足题意的点C有 4 个，坐标分别为：（8 5， 16 5 ）, （ 2 5 5，4 5 5）, （ 2 5 5， 4 5 5）,(1 2， 1).