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1、1 1对扶梯问题中顺( 逆) 扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。 2在扶梯的相遇与追及问题中引入消元思想。 3解决行程问题时画线段图可以帮助解题。 一、扶梯问题说明 扶梯问题与流水行船问题十分相像，区别只在与这里的速度并不是我们常见的“千 米每小时”，或者“米每秒”，而是“每分钟走多少个台阶”，或是“每秒钟走多少个台阶”。 从而在扶梯问题中“总路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯 的“静止时可见台阶总数”。 二、扶梯问题解题关键 1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速 就是扶梯自身的台阶运行速度。有：人的速度+扶梯速度 =人在扶梯
2、上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间人速 +时间扶梯速 =人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶 数 2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度- 扶梯速度 =人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间人速- 时间扶梯速=人走的台阶数- 扶梯自动运行的 台阶数。 【例1】 小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上 走需 12 秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 电梯每秒完成 1 30 ，电梯加小明徒步上楼每秒完成 1 12 ，小明徒步上楼每秒完成 111 123020 ，所以小明徒步
3、上楼需 1 120 20 ( 秒) 【答案】20秒 【巩固】如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12 秒到达楼上， 如果在乘电动扶梯 的同时小明逆着向下走需24秒到达楼下（千万别模仿！ ） ， 那么电动扶梯不动时， 小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 小明徒步走的速度是 111 ()2 122416 ，所以小明徒步上楼需 1 116 16 ( 秒). 【答案】16秒 【例2】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果 每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两 级台阶，那么走过30
4、级台阶到达地面从站台到地面有级台阶 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 3 星【题型】填空 知识精讲 教学目标 扶梯问题 2 【解析】 小强每秒走一阶，需要20120秒；每秒走2 阶，需要30215秒 设电梯每秒钟需要走x阶，由电梯长度可得：20(1)15(2)xx ，解得2x 那么扶梯长度为20(12)60 （阶） 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为： “在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向 上迈一级台阶，那么他走过20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？” 采 用 牛 吃 草问 题 的 方
5、法，电 梯20155秒 内 所 走 的 阶数等于 小 强 多走 的 阶 数： 21512010阶，电梯的速度为1052阶 / 秒，扶梯长度为20(12)60 （阶） 【答案】 60阶 【巩固】在地铁车站中，从站台到地面架设有向上的自动扶梯小强想逆行从上到下， 如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过100级台阶后到达站台；如果每秒向下 迈三级台阶，那么走过75级台阶到达站台自动扶梯有多少级台阶? 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设 50 秒扶梯向上走x级，则 25 秒走 2 x 级由扶梯长度可得10075 2 x x 解得50x扶梯长 1005050 ( 级) 。
6、【答案】 50 级 【例3】 小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼如果他向下走14阶，则需时30秒即可由电扶 梯顶到达底部； 如果他向下走28阶，则需时18秒即可由电扶梯顶到达底部请 问这座电扶梯有几阶？ 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】台湾小学数学竞赛，决赛 【解析】 首先从题中可以看出两种情况下小丁的速度是不相同的，否则两次走过的阶数 之比为1: 2，时间之比也应该为1: 2才对 既然小丁的速度有变化，那么应该考虑其中的不变量，也就是电扶梯的速度不变假设 这座电扶梯有x 阶，那么在第一种情况下电扶梯走了(14)x阶，第二种情况下电扶梯走 了 (28)x阶，根据电扶
7、梯的速度相同可得 1428 3018 xx ，解得49x 即这座电扶梯有49 阶 【答案】 49 阶 【例4】 在商场里， 小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从 底部上90级台阶回到顶部自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设 小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的 2倍则该自动楼梯从底到顶的 台阶数为 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 本 题要知道向上与向下的时间之比( 即是电梯运行时间的比) ，可用量化思 想 12090 :60:902:3 21 ，设该自动楼梯从底到顶的台阶数为x级，自动楼梯 的速度为y级/ 单位时间则有： 2
8、120 390 xy xy ，解得 108 6 x y 即该自动楼梯 从底到顶的台阶数为108 级 【答案】 108 级 【巩固】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女 3 孩由下往上走， 男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上， 男孩走了80级 到达楼下如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止 时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 当电梯静止时，无论是由下往上，还是由上往下，两个孩子走的阶数都是电梯 的可见阶数当电梯运行时，女孩所走的阶数与电梯同时间内所走的阶数之和 等于电梯可见阶
9、数，男孩所走的阶数与电梯同时间内所走的阶数之差也等于电 梯可见阶数 . 因为男孩的速度是女孩速度的2 倍，所以男孩走80 阶到达楼下与女孩走40 阶到达楼上 所用时间相同，则在这段时间内，电梯所走的阶数也相同. 有： 40电梯走的阶数80电梯走的阶数， 可得电梯走的阶数为(8040)220 （阶），所以电梯可见阶数为402060（阶） . 【答案】60阶 【巩固】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女 孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40 级到达楼上，男孩走了80 级到达楼下如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3 倍，则当该扶梯静 止时，可看到的扶梯梯
10、级有多少级？ 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 男孩与女孩走完电梯的时间比为： 8040 :2:3 31 所以有80电梯可见部分级数2电梯运行速度 40电梯可见部分级数3电梯运行速度 解得电梯运行速度8( 级) 所以电梯可见部分级数为：802864( 级) 【点评】本题的关键是求出男孩和女孩走完电梯的时间比，另外结合二元一次方程比较 容易理解数量关系请对比原例题，体会其中的数量关系 【答案】64级 【巩固】自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知 男孩每分走20级，女孩每分走15 级，结果男孩用了5 分到达楼上，女孩用了6 分到达楼上
11、问该扶梯露在外面的部分共有多少级？ 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的 111 5630 ，相差 20155级，因此 自动扶梯露在外面的部分共有 1 5150 30 级 【答案】150级 【例5】 小志与小刚两个孩在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电 梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒 和20秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？ 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 小志和小刚顺向攀登运行的电梯分别都攀登了28256级和20360级，小
12、刚比小志多走了60564级，这 4级台阶实际上是小志多走的8 秒钟内， 电梯 “缩”进去的，因此电梯的运行速度为每秒半个台阶，那么在小刚登梯的20 秒 内，电梯也“缩”了10 级，所以电梯所能见到的部分是60+10=70 级，所以， 小志攀登静止的电梯分别需要用时702=35 秒 【答案】 35 秒 4 【例6】 小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端 走到下端需要走36级如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端( 很危险哦， 不要效仿 !) ，需要用下楼时5倍的速度走60级才能走到上端请问这个自动扶 梯在静止不动时有多少级? 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 4
13、星【题型】解答 【解析】 小淘气上楼走60 级的时间，下楼只能走60512( 级 ) 而下楼走了36 级，所 以下楼用的时间是上楼时间的36123( 倍). 设小淘气上楼的时间自动扶梯走了x 级，则下楼的时间内自动扶梯走了3x级 根据自动扶梯的级数可列方程：36360xx，解得6x( 级) ， 自动扶梯有6054x( 级) 【答案】54级 【例7】 甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站 在速度相等的并排扶梯从二层到一层当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走， 结果他走了60 级到达一层如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往 下走 80 级那么，自动扶梯不动时甲从
14、下到上要走多少级？ 【考点】行程问题之扶梯问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 首 先 ， 由 于 第 一 种 情 况 下 甲 往 下 走 时 走 的 总 台 阶 数 是 第 二 种 情 况 下 的 3 6 080 4 ，也就是说在相同时间内，自动扶梯由上往下走了两层高度的 1 4 ， 而甲和自动扶梯共同走了两层高度的 3 4 ，说明第一种情况下，甲乙相遇时甲的 高度是两层之间高度的 3 4 那么可知甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度 之比是 33 : 13:1 44 ，说明甲走动的速度是扶梯速度的2 倍 如果甲沿着扶梯向下走，那么整体的速度就和自动扶梯的速度一样，是整体向上走时速 度的 1 3 ，所用的时间就是向上走所用时间的3 倍，那么甲所走的台阶数就是向上时所走台 阶数的3 倍因此甲向上走时实际走了 80 803 3 级台阶甲走 80 3 级台阶的同时自动扶 梯向上移动了 40 3 级台阶，因此如果扶梯不动，甲从下到上要走 8040 40 33 级台阶 【答案】40级