小学奥数4-4-2圆与扇形(二).专项练习及答案解析.pdf

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1、1 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形， 通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则 图形来计算它们的面积 圆的面积 2 r ；扇形的面积 2 360 n r； 圆的周长2 r ；扇形的弧长2 360 n r 一、跟曲线有关的图形元素： 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的 一部分我们经常说的 1 2 圆、 1 4 圆、 1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其 实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几那么一般的求法是什么呢？关键是 360 n 比如：扇形的面积所在圆的

2、面积 360 n ； 扇形中的弧长部分所在圆的周长 360 n 扇形的周长所在圆的周长 360 n 2半径 ( 易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积 一般来说，弓形面积扇形面积 - 三角形面积 ( 除了半圆 ) ”弯角”：如图：弯角的面积正方形 - 扇形 ”谷子”：如图：“谷子”的面积弓形面积2 二、常用的思想方法： 转化思想 ( 复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) 等积变形 ( 割补、平移、旋转等) 借来还去 ( 加减法 ) 外围入手 ( 从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块二曲线型面积计算 例题精讲 圆与扇形 2

3、【例1】 如 图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB面积的 3 4 倍，则角CAB 的度数是 _ D C BA 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 设 半圆 ADB的半径为 1，则半圆面积为 21 1 22 ，扇形BAC 的面积为 42 233 因为扇形BAC 的面积为 2 360 n r，所以， 22 2 3603 n ，得到 60n，即角 CAB 的度数是60 度 【答案】 60 度 【例2】 如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6 和 7 ， 分别以,B C 为圆心，2为 半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17 ，那么角A是多少度 ( 3) 6 7 C B A

4、 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 1 6721 2 ABC S , 三角形 ABC 内两扇形面积和为21174 ， 根据扇形面积公式两扇形面积和为 2 24 360 BC , 所以120BC ,60A . 【答案】 60 度 【例3】 如图，大小两圆的相交部分( 即阴影区域 ) 的面积是大圆面积的 4 15 ，是小圆面积 的 3 5 如果量得小圆的半径是5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？ 3 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 小圆的面积为 2 525 ，则大小圆相交部分面积为 3 2515 5 , 那么大圆的 面积为 4225 15 154 ，而

5、2251515 422 ，所以大圆半径为7.5 厘米 【答案】 7.5 【例4】 有七根直径5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆( 如图 ) ，此时橡 皮筋的长度是多少厘米？(取 3) C BA 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 由右图知，绳长等于6 个线段AB与 6 个 BC 弧长之和 将图中与 BC 弧相似的6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6 个角的和是360 ， 所以 BC 弧所对的圆心角是60 ，6 个 BC 弧合起来等于直径5 厘米的圆的周长 而线段 AB等于塑料管的直径， 由此知绳长为：565 45 ( 厘米 ) 【答案】 45 【例5】 如图，

6、边长为 12 厘米的正五边形，分别以正五边形的5 个顶点为圆心， 12 厘米 为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？( 3.14) 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 如图，点 C 是在以B为中心的扇形上，所以 ABCB ，同理 CBAC ，则ABC 是正三角形，同理，有CDE 是正三角形有60ACBECD，正五边形 的一个内角是1803605108 ，因此60210812ECA，也就是说 圆弧AE的长度是半径为12 厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5 个，所 以中间阴影部分的周长是 12 23.14 12512.56 cm 360 【答案】 12.56 【例6

7、】 如图是一个对称图形比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部 分面积 _灰色部分面积 4 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的 1 4 ，则 4 个小圆的面积之和等于大圆的面积而4 个小圆重叠的部分为灰色部 分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部 分面积相等 【答案】相等 【例7】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 1 S ，空白部分面积为 2 S ，那么这两个部分的面积之比是多少？( 圆周率取 3.14 ) 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】

8、解答 【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是 一个圆的内接正方形设大圆半径为r ，则 2 2 2Sr， 22 1 2Srr，所以 12:3.142 : 257 :100SS 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系 【答案】 57:100 【例8】 用一块面积为36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7 个同样大小的圆铝 板问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？ 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3 倍，半径也是3 倍，小圆面积大圆面积 22 : 1: 9rR， 5 小圆面积 1 364 9 ，

9、7 个小圆总面积4728 ， 边角料面积36288 ( 平方厘米 ) 【答案】 8 【例9】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1求 阴影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形 由右图可见，阴影部分面积等于 1 6 大圆面积减去一个小圆面积，再加上120 的小扇形面 积( 即 1 3 小圆面积 ) ，所以相当于 1 6 大圆面积减去 2 3 小圆面积而大圆的半径为小圆的3 倍，所以其面积为小圆的 2 39 倍，那么阴影部分面积为 2125 9 1 2.5 636 【答案

10、】 2.5 【例10】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040 平方厘米，空白 部分是 6 个半径为10 厘米的小扇形( 圆周率取 3.14) B C O A 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积 已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式 2 360 n R S扇 可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60，那么 120AOC，又知四边形ABCO 是平行四边形，所以120ABC，这样就可求出扇形 的面积和为 2120 6 10628 360 ( 平方厘米

11、 ) ， 阴影部分的面积1040628412 ( 平方厘 米) 【答案】 412 【例11】 ( 09 年第十四届华杯赛初赛) 如下图所示， AB是半圆的直径， O 是圆心， ACCDDB ，M是 CD 的中点，H是弦 CD 的中点若N 是 OB 上一点， 半圆的面积等于12 平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米 6 M CD H NOBA 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 如下图所示，连接OC 、 OD 、 OH H N M O D C BA 本题中由于C 、D是半圆的两个三等分点，M是 CD 的中点，H是弦 CD 的中点，可见 这个图形是对称的，由对称性可知CD

12、与 AB平行 由此可得 CHN 的面积与CHO 的面 积相等， 所以阴影部分面积等于扇形COD 面积的一半， 而扇形 COD 的面积又等于半圆面 积的 1 3 ，所以阴影部分面积等于半圆面积的 1 6 ，为 1 122 6 平方厘米 【答案】 2 【巩固】如图，C 、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O 是圆心，且半径为6求图 中阴影部分的面积 DC BAO DC BAO 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 如图，连接 OC 、 OD 、 CD 由于 C 、D是半圆的三等分点，所以AOC 和COD 都是正三角形， 那么 CD 与 AO 是平 行的所以ACD 的面积与OCD

13、的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD 的面 积，为 21 618.84 6 【答案】 18.84 【例12】 如图，两个半径为1 的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心， 求图中两块阴影部分的面积之差(取 3) O D C B A 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再 7 计算它们的差，但是这样较为繁琐由于是要求面积之差，可以考虑先从面积 较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积 如右图所示， 可知弓形 BC 或 CD 均与弓形AB相同， 所以不妨割去弓形BC 剩下的

14、图形 中，容易看出来 AB与 CD 是平行的，所以BCD 与ACD 的面积相等，所以剩余图形的 面积与扇形ACD 的面积相等，而扇形ACD 的面积为 260 10.5 360 ，所以图中两块阴 影部分的面积之差为0.5 【答案】 0.5 【例13】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是 多少？ ( 圆周率取 3.14 ) A F E D CB M A F E D CB 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 方 法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD的面积均为 122aa阴影部分为：大正方形梯形三角形ABF右上角不规则部 分大

15、 正 方 形右 上 角 不 规 则 部 分 1 4 圆 因 此 阴 影 部 分 面 积 为 ： 3.1412124113.04 方法二：连接AC 、DF，设AF与 CD 的交点为M，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯 形蝴蝶定理有 ADMCMF SS ，所以 DCF SS 阴影 扇形 3.14 12124113.04 【答案】 113.04 【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10 和 6，求阴影部分的面积(取 3) 610 GF ED CBA610 GF ED CBA 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 8 【解析】( 法 1) 观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙

16、BCD 的面积， 那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键 月牙 BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆： 1 66 669 4 ； 则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为： 1 1066939 2 S阴影 ( 法 2) 观察可知 AF和BD是平行的，于是连接AF、BD、DF 则ABD与BDF面积相等，那么阴影部分面积等于BDF与小弓形的面积之和，也就 等于DEF与扇形BED的面积之和，为： 211 (106)6 639 24 【答案】 39 【例14】 如图， ABC 是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC 是半圆的直径已知 10ABBC，那么阴影

17、部分的面积是多少？( 圆周率取 3.14) D B P C A D B P C A 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 连接PD、AP、BD，如图，PD平行于AB，则在梯形ABDP中，对角线交于 M点，那么ABD与ABP面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP与圆内 的小弓形的面积和 ABP的面积为： 10102225 ； 弓形面积：3.145545527.125 ； 阴影部分面积为：257.12532.125 【答案】 32.125 【例15】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为 半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为；( 3.14

18、) 646 4 E D C B A 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 连接小正方形AC , 有图可见 ACDABCSSSS 阴影扇形 2111 44 222 AC 2 32AC 同理 2 72CE，48ACCE 9 1 4824 2 ACD S 290 412.56 360 S扇形 ， 1 448 2 ABC S 2412.56828.56S阴影 【答案】 28.56 【例16】 如图， 图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5 : 0.5的 6 条半圆曲线连成的 问： 涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？ 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答

19、 【解析】 假设最小圆的半径为r ，则三种半圆曲线的半径分别为4r， 3r 和 r 阴影部分的面积为： 22 222111 435 222 rrrrr， 空白部分的面积为： 2 22 4511rrr， 则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11 【答案】 5:11 【例17】 ( 西城实验考题) 奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6 厘米， 外圆直径为8 厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形( 阴影部分 ) 的 面积都相等， 已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米， 求每个小曲边四边形 的面积 ( 3.14 ) 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 每个

20、圆环的面积为： 22 4 3721.98 ( 平方厘米 ) ； 五个圆环的面积和为：21.985109.9 (平方厘米 )； 八个阴影的面积为：109.977.132.8 ( 平方厘米 ) ； 每个阴影的面积为：32.884.1( 平方厘米 ) 【答案】 4.1 【例18】 已知正方形ABCD 的边长为10 厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各 边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图那么，图中阴影部 分的总面积等于_方厘米 ( 3.14 ) 10 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】填空 【解析】39.25 【答案】 39.25 【例19】 如图，ABCD是边长为a的正方形

21、，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求 这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积(取 3) D C B A a D C B A a 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不 能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在 阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了 如图，这样阴影部分就划分成了4 个半圆减去三角形，我们可以求得， 4SSS 阴影半圆三角形 2 11 4 2222 aa a 21 2 a 【答案】 1 2 a 【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4 厘米，分别以B、D为圆心以4

22、厘米为半径在正 方形内画圆求阴影部分面积(取 3) D C B A D C B A 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图 11 形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影 部分的面积 解法一：把两个扇形放在一起得到1 个正方形的同时还重叠了一块阴影部分 则阴影部分的面积为 21 4448 2 ； 解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积， 所以阴影部分面积 21 2 44428 4 （） 【答案】 8 【例20】 ( 四中考题 ) 已知三角形ABC 是直

23、角三角形，4cmAC，2cmBC，求阴影 部分的面积 C B A 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的 面积之差，所以阴影部分的面积为： 22 14121 422.5 43.85 22222 ( 2 cm ) 【答案】 3.85 【例21】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸 片 . 它们的面积都是100平方厘米， 盖住桌面的总面积是144平方厘米， 3张 纸片共同重叠的面积是 42平方厘米 . 那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米. 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题

24、型】填空 【解析】 根据容斥原理得1003242144S阴影，所以 100314S阴影 （平方厘米） 【答案】 72 【例22】 如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E是AD的中点，而F是 BC 的 中点以 C 为圆心、半径为 4cm 的四分之一圆的圆弧交EF于 G ， 以F为圆心、 半径为 2cm 的四分之一圆的圆弧交EF于H点，若图中 1S 和2S 两块面积之差 为 2 (cm )mn( 其中m、n为正整数 ) ，请问mn之值为何？ 12 S2 S1 G H F E D C B A S 图1 S2 S1 G H F E D C B A 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解

25、答 【关键词】国际小学数学竞赛 【解析】( 法 1) 2 248cm FCDE S， 21 44 4 BCD S扇形 2 (cm )， 21 2 4 BFH S扇形 2 (cm )，而 12 4 8 FCDEBCDBFH SSSSS 扇形扇形 3 8 2 (cm )， 所以3m，8n，3811mn ( 法2) 如右上图， 1 SS BFEABFH SS扇形2422 48 2 (cm ) ， 2 4444 4164 ABCDBCD SSSS扇形 2 (cm ) ， 所以， 12 (8 )(164 )3 8SS 2 (cm )，故3811mn 【答案】 11 【巩固】 在图中， 两个四分之一圆弧的

26、半径分别是2 和 4，求两个阴影部分的面积差( 圆 周率取 3.14 ) 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解左边的阴影是大扇形减去小扇 形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块 不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形则为： 44224233.1481.42 44 【答案】 1.42 【例23】 如图，矩形ABCD中，AB6 厘米，BC4 厘米，扇形ABE半径AE6 厘米，扇 形CBF的半径CB4 厘米，求阴影部分的面积(取 3) 13 F E D CB A 【考点】圆与扇形【难度】

27、 3 星【题型】解答 【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之 外，还有一个不规则的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成 了解决这个问题的关键 我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD， 所以不规则部分ABFD的面积为 21 64 412 4 ( 平方厘米 ) ， 再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积， 则有阴影部分面积为 21 61215 4 ( 平方厘米 ) 方法二：利用容斥原理 2211 6 44615 44 EABBCFABCD SSSS 阴影扇形扇形长方形 (平方厘米 )

28、【答案】 15 【巩固】求图中阴影部分的面积 12 12 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积 22211211 () 121241.04 2282 【答案】 41.04 【巩固】如右图，正方形的边长为5 厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米， ( 3.14 ) F E D CB A 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 观察可知阴影部分是被以AD为半径的扇形、以AB为直径的半圆形和对角线 BD分割出来的， 分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能 14 求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面

29、积了，我们再观察可 以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD的面积减去扇形ADE的面积， 那么我们的思路就很清楚了 因为45ADB， 所以扇形 ADE的面积为： 224545 3.1459.8125 360360 AD( 平方厘米 ) ， 那么左下边空白的面积为： 1 559.81252.6875 2 ( 平方厘米 ) ， 又因为半圆面积为： 2 15 9.8125 22 ( 平方厘米 )， 所以阴影部分面积为：9.81252.68757.125 ( 平方厘米 ) 【答案】 7.125 【例24】 如图所示，阴影部分的面积为多少？( 圆周率取 3) 3 3 B A 3 3 A 1.5 1.

30、5 1.5 45 45 B 3 3 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积 所以 22927 1.5 1.5343 3328498 416 AB SS 【答案】 27 16 【巩固】图中阴影部分的面积是(取 3.14) 3 3 3 3 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】填空 15 【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即 可得到阴影部分的面积 所分成的弓形的面积为： 2 2131199 3 2242168 ； 另一部分的面积为： 221199 33 8484 ； 所以阴影部分面

31、积为： 99992727 1.923751.92 16884168 【答案】 1.92 【例25】 已知右图中正方形的边长为20 厘米，中间的三段圆弧分别以 1 O 、2O 、3 O 为 圆心，求阴影部分的面积( 3) O 2 O1 O3 B A 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积而这一块的面积， 等于大正方形的面积减去一个90 扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面 积，为： 2 1 42020202020100475 4 SSSS圆 正方形正方形扇形 ( 平方厘 米) ，所以阴影部分的面积为752150( 平方厘米

32、) 【答案】 150 【例26】 一个长方形的长为9，宽为 6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动， 在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是_(取 3) 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处 运动时的情况如左下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以 先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影 部分面积的四倍 阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到： 每个角阴影部分面积为 2901 1 1 1 3604 ； 那么圆无法运动到的部分面积为 1 4

33、1 4 方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为 2 223 11 16 【答案】 1 【例27】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积( 3.14) O DC B A 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算从 图中可以看出， 阴影部分的面积是一个45 的扇形与一个等腰直角三角形的面积 差 由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以 2 62.83.1420OA 因此： 2 2210 AOB SOAOBOA ( 平方厘米 ) 由于AOB 是等腰直角三角形，所以 2 20240

34、AB 因此：扇形ABC 的面积 24545 4015.7 360360 AB( 平方厘米 ) 所以，阴影部分的面积等于：15.7105.7 ( 平方厘米 ) 【答案】 5.7 【例28】 如图，等腰直角三角形ABC的腰为 10；以A为圆心，EF为圆弧， 组成扇形AEF； 两个阴影部分的面积相等求扇形所在的圆面积 F E C B A 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形， 所以看似没有关系 的两个阴影部分通过空白部分联系起来 等腰直角三角形的角A为 45 度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8 倍 而扇形面积与等腰直角三角

35、形面积相等，即 1 101050 2 S扇形 ， 则圆的面积为508400 【答案】 400 【例29】 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且20AB，阴影甲的面积比阴影 乙的面积大7，求BC长 ( 3.14) 17 乙 甲 C B A 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理， 而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块， 则变成 1 个半圆和1 个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解 了 因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7 半 圆 面

36、 积 为 ： 21 10157 2 ， 则 直 角 三 角 形 的 面 积 为1577150， 可 得 BC21502015 【答案】 15 【巩固】 三角形 ABC 是直角三角形， 阴影I的面积比阴影II的面积小 2 25cm ， 8cmAB， 求 BC 的长度 II A BC I 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 由于阴影I的面积比阴影II的面积小 2 25cm ， 根据差不变原理， 直角三角形ABC 面 积 减 去 半 圆 面 积 为 2 25cm， 则 直 角 三 角 形ABC面 积 为 2 18 258 25 22 ( 2 cm ) ， BC 的长度为8 252

37、8 2 6.2512.53 (cm) 【答案】 12.53 【巩固】如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分比阴影部分的面积小28 平方 厘米，AB长 40 厘米求 BC 的长度？ (取 3.14) 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 18 【解析】 图中半圆的直径为AB，所以其面积为 21 20 2003.14628 2 有空白部分与的面积和为628，又 - 28，所以、部分的面积和 62828656 有直角三角形ABC 的面积为 1 2 ABBC 1 40656 2 BC所以32.8BC厘米 【答案】 32.8 【例30】 图中的长方形的长与宽的比为8: 3，求阴影部分的面积

38、204 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】十三分，入学测试题 【解析】 如下图，设半圆的圆心为O ，连接 OC 从图中可以看出，20OC，20416OB，根据勾股定理可得12BC 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积， 为： 21 20(162)12200 384244 2 OAB CD 【答案】 244 【例31】 如图，求阴影部分的面积(取 3) 5 4 3 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我 们还不能直接求出它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分 析下月牙儿状

39、是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析 可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问 题的方法了 阴影部分面积 1 2 小圆面积 1 2 中圆面积三角形面积 1 2 大圆面积 2221111 3 4345 2222 6 19 【答案】 6 【例32】 如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10 ，它的内部放了一个半圆，图中阴影 部分的面积为多少？ 10 6 8O 【考点】圆与扇形【难度】 4 星【题型】解答 【解析】SSS 阴影直角三角形半圆 ， 设半圆半径为r ，直角三角形面积用r 表示为： 610 8 22 rr r 又因为三角形直角边都已知，所以

40、它的面积为 1 6824 2 ， 所以 824r，3r 所以 1 249 =244.5 2 S阴影 【答案】 244.5 【例33】 大圆半径为R，小圆半径为r ，两个同心圆构成一个环形以圆心O 为顶点， 半径R为边长作一个正方形：再以O 为顶点，以r 为边长作一个小正方形图 中阴影部分的面积为50 平方厘米，求环形面积( 圆周率取 3.14 ) O 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】华校第一学期，期中测试，第6 题 【解析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然 不可能题中已知阴影部分的面积，也就是 22 50Rr平方厘米，那么环形的 面

41、积为： 2222 () 50=157RrRr( 平方厘米 ) 【答案】 157 【巩固】图中阴影部分的面积是 2 25cm ，求圆环的面积 20 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设大圆半径为R，小圆半径为r ，依题有 22 25 22 Rr ，即 22 50Rr 则圆环面积为： 22222 ()50 157(cm )RrRr 【答案】 157 【例34】 已 知图中正方形的面积是20 平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和 是(取 3.14 ) 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】 101 中学，考题 【解析】 设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a

42、，则小圆的直径等于正方形的边长， 所以小圆的半径为 2 a ， 大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即 222 (2 ) raa ， 得 2 2 2 a r 所 以 ， 大 圆 的 面 积 与 正 方 形 的 面 积 之 比 为 ： 22 : :2ra， 所 以 大 圆 面 积 为 ： 202 10 ；小圆的面积与正方形的面积之比为： 22 () : :4 2 a a ，所以小圆的面积 为： 204 5 ；两个圆的面积之和为：10 5 15 153.1447.1( 平方厘米 ) 【答案】 47.1 【巩固】图中小圆的面积是30 平方厘米， 则大圆的面积是平方厘米 (取 3.14) 【考点】圆与

43、扇形【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 设图中大圆的半径为r ，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长， 所以小圆的半径为 2 a ， 大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即 222 (2 ) raa ， 得 2 2 2 a r 21 所以，大圆的面积与小圆的面积之比为： 222 222 : ( ):2:1 2424 aaaa rr， 即大圆的面积是小圆面积的2 倍，大圆的面积为30260 ( 平方厘米 ) 【答案】 60 【巩固】 (2008 年四中考题 ) 图中大正方形边长为a，小正方形的面积是 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 设图中小正方形的边长为b

44、，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径 为a， 而 从 图 中 可 以 看 出 ， 圆 的 直 径 等 于 小 正 方 形 的 对 角 线 长 ， 所 以 2222 2abbb ，故 221 2 ba ，即小正方形的面积为 21 2 a 【答案】 21 2 a 【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示已知最小圆的半径为1cm，请问阴 影部分的面积为多少平方厘米？( 取 22 7 ) 1 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛 【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算 内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是 2

45、1222 2 内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中 圈阴影部分面积是 22 (22 )4222 4 中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为 22 228，外部正方形的对角线的平方 即为外圆的直径的平方，即为 8216， 所以外圈阴影部分的面积是 16484 8 所以阴影部分的面积是 22 7 147148 7 ( 平方厘米 ) 【答案】 8 【例35】 图中大正方形边长为6 ，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的 中点连出一个正方形( 如图 ) ，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积 是多少？ ( 3.14 ) 22 【考点】圆与扇

46、形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为： 11111 64 23323 圆的面积为： 2 4 12.56 2 【答案】 12.56 【例36】 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9 个圆，右图中阴影部分 是 16 个圆哪个图中阴影部分的面积大？为什么？ 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 设正方形的边长为a，每一个圆的半径为r ，则正方形的每一条边上都有 2 a r 个 圆，从而正方形内部共有 22 aa rr 个圆，于是这些圆的总面积为： 221 224 aa Sra rr 阴影 可见阴影部分的面积与正方形的面积的比

47、是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方 形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变， 那么阴影部分的面积就是一定的 由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等 【答案】相等 【例37】 如图，在 33 方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1，圆心角 都是 90 的三段圆弧与正方形ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形 的面积之比 12 :?SS 23 S2S1 F E D CB A D 1 D 2 B 1 B 2 A BC D E F S1 【考点】圆与扇形【难度】 5 星【题型】解答 【解析】 如右图，仔细观察图形不难发

48、现带形 1 S 的面积等于曲边三角形BCD 的面积减去 曲边三角形 11 BCD的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正 方形内求出 所以， 1 S 的面积 222211 3 32 251 444 ； 同理可求得带形 2S 的面积： 带形 2 S 的面积曲边三角形11 B CD 的面积曲边三角形22 B CD 的面积 31 4 ； 所以， 12 :5:3SS 【答案】 5:3 【例38】 如图中，正方形的边长是5cm ，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多 少？ ( 圆周率取 3.14 ) 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 223 55522142.75(cm ) 4 【答案】 142.75 【例39】 如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15， AEB 是以C为圆心， AC为半径的圆弧求阴影部分面积 E O A D C B 24 【考点】圆与扇形【难度】 3 星【题型】解答 【解析