2009—历年安徽高考数学理试卷答案.pdf

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1、1 2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理）试题 第 I 卷(选择题共 50 分) 一.选择题：本大题10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 （1）i 是虚数单位，若 17 ( ,) 2 i abi a bR i ，则乘积ab的值是 （B） （ A）-15 （B）-3 （C）3 （D）15 （2）若集合 21 |21| 3 ,0 , 3 x AxxBx x 则 A B是 （D） （ A） 1 123 2 xxx或 (B) 23xx (C) 1 2 2 xx (D) 1 1 2 xx （3）下列曲线中离心率为 6 2 的

2、是 （B） （A） 22 1 24 xy （B） 22 1 42 xy （C） 22 1 46 xy （D） 22 1 410 xy (4)下列选项中， p 是 q 的必要不充分条件的是（A） （A）p:acb+d , q:ab 且 cd （B）p:a1,b1，q:( )(10) x f xaba的图像不过第二象限 （C）p: x=1 , q: 2 xx （D）p:a1, q: ( )log(10) a f xxa在(0,)上为增函数 （5）已知 n a为等差数列， 1 a+ 3 a+ 5 a=105， 246 aaa=99.以 n S表示 n a的前n项和， 则使得 n S达到最大值的 n是

3、（ B） （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 （6）设ab, 函数 2 () ()yxaxb的图像可能是 （C） 2 （7）若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx分为面积相等的两部分，则 k的值是 （A）（A） 7 3 （B） 3 7 （C） 4 3 （D） 3 4 （8）已知函数( )3sincos(0)f xxx， ( )yfx 的图像与直线2y的两个相邻交 点的距离等于，则( )f x的单调区间是 （ C） （A） 5 , 1212 kkkZ （B） 511 , 1212 kkkZ （C） , 36 kkkZ （D） 2 , 63

4、 kkkZ （9）已知函数( )fx在 R 上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx，则曲线( )yf x在点 (1,(1)f处的切线方程是（A） （A）21yx（B）y x （C）32yx（D）23yx （10）考察正方体6 个面的中心， 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点 中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（D） （A） 1 75 （B） 2 75 （C） 3 75 （D） 4 75 二填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置。 (11）若随机变量X 2 ( ,)，则()P X=_. 解答：

5、1 2 (12)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单 位。已知直线的极坐标方程为() 4 R，它与曲线 12cos 22sin x y （为参数） 相交 于两点 A 和 B，则 |AB|=_. 解答：14 (13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_. 解答： 127 3 （14）给定两个长度为1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为120 o . 如图 所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动 .若,OCxOAyOB其中 , x yR,则xy的最大值是 =_. 解答： 2 （15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编

6、号）。 1 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面； 2 由顶点 A 作四面体的高，其垂足是BCD 的三条高线的交点； 3若分别作 ABC 和ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； 4 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； 5 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 解答：14 5 三解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解 答写在答题卡的指定区域内。 （16） （本小题满分12 分） 在ABC 中， sin(C-A)=1, sinB= 1 3 。 （I）求 sinA 的值； (II) 设 AC=6

7、，求ABC 的面积。 （16） 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、 解三角形等有关知识，考查运算求解能力。 本小题满分12 分 解： （I）由sin()1,CACA知 2 CA。 又,ABC所以2, 2 AB即2,0. 24 ABA 故 213 cos2sin,12sin,sin. 33 ABAA (II) 由（ I）得： 6 cos. 3 A 又由正弦定理，得： sin ,3 2, sinsinsin BCACA BCAC ABB 所以 11 sincos3 2. 22 ABC SAC BCCAC BCA （17） （本小题满分12 分） 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型H1N

8、1 流感，其中只有A 到过疫区 B 肯定是 受 A 感染的。 对于 C，因为难以断定他是受A 还是受 B 感染的， 于是假定他受A 和受 B 感 4 染的概率都是 1 2 。同样也假定D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 1 3 。在这种假定之下，B、C、 D 中直接 受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量。写出X 的分布列 (不要求写出计算过程),并 求 X 的均值（即数学期望）. （17） 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布 列和均值的概念， 通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。 体现数学的科学价值。本小题满分12

9、分。 解：随机变量X 的分布列是 11111 123 3266 EX。X的均值 附： X 的分布列的一种求法 共有如下6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是 1 6 ： A BCD A BC D ABC D ABD C ACD B 在情形和之下，A 直接感染了一个人；在情形、之下，A 直接感染了两个人； 在情形之下，A 直接感染了三个人。 （18） （本小题满分13 分） 如图，四棱锥F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线AC=2， BD=2，AE、CF 都与平面ABCD 垂直， AE=1，CF=2。 （I）求二面角B-AF-D 的大小； （II ）求四棱锥E-ABCD 与四棱

10、锥F-ABCD 公共部分的体积。 (18) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位 置关系、 相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识， 考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立 体几何问题的能力。本小题满分13 分。 解： （I）(综合法 )连接 AC 、BD 交于菱形的中心O，过 O 作 OGAF，G 为垂足。 连接 BG、 DG。 由 BDAC,BD CF,得： BD 平面 ACF，故 BD AF. 于是 AF平面 BGD, 所以 BGAF,DG AF,BGD 为二面角B-AF-D 的平面角。 由 FCAC,FC=AC=2, 得 FAC= 4 ,OG

11、= 2 2 . 由 OBOG,OB=OD= 2 2 ,得 BGD=2 BGO= 2 . X 1 2 3 P 1 3 1 2 1 6 5 (向量法 )以 A 为坐标原点，BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空 间直角坐标系 (如图 ).于是 22 (,1,0),(,1,0),(0,2,2). 22 BDF 设平面 ABF 的法向量 1 ( , , )nx y z，则由 1 1 0 0 nAB nAF 得 2 0 2 220 xy yz 。 令1,z得 2 1 x y ， 1 (2, 1,1)n 同理，可求得平面ADF 的法向量 2 ( 2, 1,1)n。 由 12 0n n知，

12、平面 ABF 与平面 ADF 垂直， 二面角 B-AF-D 的大小等于 2 。 （II ） 连 EB、 EC、 ED， 设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H， 则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 的公共部分为四棱锥H-ABCD 。 过 H 作 HP平面 ABCD ，P 为垂足。 因为 EA平面 ABCD ，FC平面 ABCD ， ，所以平面ACFE平面 ABCD ， 从而,.PAC HPAC 由1, HPHPAPPC CFAEACAC 得 2 3 HP。 又因为 1 2, 2 ABCD SAC BD 菱形 故四棱锥 H-ABCD的体积 12 2 . 39 ABCD VSHP 菱

13、形 （19） （本小题满分12 分） 已知函数 2 ( )(2ln ),0f xxax a x ，讨论( )f x的单调性 . (19)本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思 6 想方法和运算求解的能力。本小题满分12 分。 解：( )f x的定义域是 (0,+), 2 22 22 ( )1. axax fx xxx 设 2 ( )2g xxax,二次方程( )0g x的判别式 2 8a. 当 2 80,0aa，即02 2a时，对一切0x都有( )0fx. 此时( )f x在(0,)上是增函数。 当 2 80,0aa,即2 2a时，仅对2x有( )0fx,

14、对其余的0x都有 ( )0fx, 此时( )f x在(0,)上也是增函数。 当 2 80,0aa，即2 2a时， 方程( )0g x有两个不同的实根 2 1 8 2 aa x, 2 2 8 2 aa x,120xx. x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x ( )fx+ 0 _ 0 + ( )f x 单调递增极大单调递减极小单调递增 此时( )f x在 2 8 (0,) 2 aa 上单调递增, 在 22 88 (,) 22 aaaa 是上单调递减, 在 2 8 (,) 2 aa 上单调递增 . （20） （本小题满分13 分） 点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) x

15、y ab ab 上， 00 cos ,sin,0. 2 xayb直线 2 l与直线 00 122 :1 xy lxy ab 垂直， O 为坐标原点， 直线 OP 的倾斜角为，直线 2 l的倾斜角 为. （I）证明 : 点P是椭圆 22 22 1 xy ab 与直线 1 l的唯一交点； （II ）证明 :tan,tan,tan构成等比数列。 （20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数 7 列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13 分。 解： （I） （方法一）由 00 22 1 xy xy ab 得 2 2 0 2 0 (),

16、 b yax x a y 代入椭圆 22 22 1 xy ab , 得 2222 200 24222 000 21 ()(1)0 b xb xb xx aa ya yy . 将 0 0 cos sin xa yb 代入上式 ,得 222 2 coscos0,xaxa从而cos .xa 因此 ,方程组 22 22 00 22 1 1 xy ab xy xy ab 有唯一解 0 0 xx yy ,即直线 1 l与椭圆有唯一交点P. (方法二 )显然 P 是椭圆与 1 l的交点， 若 Q 111 (cos, sin),02ab是椭圆与 1 l的交点， 代入 1 l的方程 cossin 1xy ab

17、，得 11 coscossinsin1, 即 11cos()1,故 P 与 Q 重合。 （方法三）在第一象限内，由 22 22 1 xy ab 可得 2222 00 , bb yaxyax aa 椭圆在点P 处的切线斜率 2 00 0 2 22 0 0 (), bxb x ky x a y a ax 切线方程为 2 0 002 0 (), b x yxxy a y 即 00 22 1 x xy y ab 。 因此， 1 l就是椭圆在点P处的切线。 根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线 1 l的唯一交点。 （II ） 0 0 tantan, yb xa 1 l的斜率为 2 0 2 0 , x b

18、 y a 2 l的斜率为 2 0 2 0 tantan, y aa x bb 由此得 2 tantantan0, tan,tan,tan构成等比数列。 （21） （本小题满分13 分） 首项为正数的数列 n a满足 2 1 1 (3),. 4 nn aanN （I）证明：若 1 a为奇数，则对一切2, n na都是奇数； 8 （II ）若对一切nN 都有 1nn aa，求 1 a的取值范围。 （21）本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、 运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解： （I）已知 1 a是奇

19、数，假设21 k am是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得 2 1 3 (1)1 4 k k a am m是奇数。 根据数学归纳法，对任何nN ， n a都是奇数。 （II ） （方法一）由 1 1 (1)(3) 4 nnnn aaaa知， 1nn aa当且仅当1na或3na。 另一方面，若01, k a则 1 13 01 4 k a；若3ka，则 2 1 33 3. 4 k a 根据数学归纳法， 11 01,01,;33,. nn aanNaanN 综合所述，对一切nN 都有 1nnaa 的充要条件是 101a 或 13a 。 （方法二）由 2 1 21 3 , 4 a aa得 2 11

20、 430,aa于是 1 01a或 1 3a。 22 111 1 33()() , 444 nnnnnn nn aaaaaa aa 因为 2 11 3 0, 4 n n a aa所以所有的 n a均大于 0，因此 1nn aa与 1nn aa同号。 根据数学归纳法，nN ， 1nn aa与 21 aa同号。 因此，对一切nN 都有 1nn aa的充要条件是 1 01a或 1 3a。 9 2010年普通高等学校招生全国统一考试( 安徽卷 ) 理科数学测试 第卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 （

21、1）i是虚数单位， i i 33 （A） 12 3 4 1 （B）i 12 3 4 1 （C）i 6 3 2 1 （D）i 6 3 2 1 （2）若集合 2 1 log| 2 1x xA，则 ACR （A） , 2 2 0 ,(（B）, 2 2 （C） , 2 2 0 ,(（D）, 2 2 （3）设向量) 2 1 , 2 1 (),0, 1(ba，则下列结论中正确的是 （A）|ba（B） 2 2 ba（C）bba与垂直 （D）ba/ （4）若)(xf是 R 上周期为5 的奇函数，且满足,2)2(, 1)1 (ff则)4()3(ff= （A）-1 （B）1 （C）-2 （D）2 （5）双曲线方程

22、为12 22 yx，则它的右焦点坐标为 （A）)0, 2 2 (（B）)0, 2 5 (（C）)0, 2 6 (（D）)0 ,3( （6）设0abc，二次函数cbxaxxf 2 )(的图象可能是 10 （7）设曲线C 的参数方程为 sin31 cos32 y x （为参数）， 直线l的方程为023yx，则曲线C 到直线l的距 离为 10 107 的点的个数为 （A）1 （B）2 （C） 3 （D）4 （8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为 （A）280 （B）292 （C） 360 （D）372 （9）动点),(yxA在圆1 22 yx上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转

23、一周 . 已知定时 t=0 时，点 A 的坐标是) 2 3 , 2 1 (，则当120t时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 （A）0，1 （B）1，7 （C）7，12 （D）0，1和7，12、 （10）设 n a是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前 3n 项和分别为X，Y，Z， 则下列等式中恒成立的是 （A）YZX2（B）)()(XZZXYY （C）XZY 2 （D）)()(XZXXYY 第卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置 （11）命题“对任何3|4|2| ,xxR

24、x”的否定是 （12） 6 x y y x 的展开式中， 3 x的系数等于 （13） 设yx,满足约束条件 ,0,0 ,048 ,022 yx yx yx 若目标函数)0, 0(bayabxz的最大值 为 8，则ba的最小值为 （14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x （15）甲罐中有5 个红球， 2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红 球， 3 个白球和3 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 11 分别以 A1，A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球 的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球 是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结 论的

25、编号） 5 2 )( 1 BP； 11 5 )|( 1 ABP； 事件 B 与事件 A1相互独立； A1，A2，A3是两两互斥的事件； )(BP的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答写在答题卡上的指定区域内 （16） （本小题满分12 分） 设ABC是 锐 角 三 角 形 ，cba,分 别 是 内 角A ， B ， C所 对 边 长 ， 并 且 .s i n) 3 s i n () 3 s i n (s i n 22 BBBA （）求角A 的值； （）若72,12 aACAB，求cb,（

26、其中cb） （17） （本小题满分12 分） 设 a 为实数，函数.,22)(Rxaxexf x （I）求)(xf的单调区间与极值； （II）求证：当012lnxa且时，.12 2 axxe x （18） （本小题满分13 分） 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形， EF/AB ，EFFB，AB=2EF ， ,90BFCBF=FC ，H 为 BC 的中点 . （I）求证： FH/平面 EDB； （II）求证： AC 平面 EDB； （III ）求二面角BDEC 的大小 . (19） （本小题满分13 分） 已知椭圆E 经过点 A（2，3） ，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2

27、在 x 轴上，离心率. 2 1 e （I）求椭圆 E 的方程； （II）求 21AF F的角平分线所在直线l的方程； （III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在， 12 说明理由 . （20） （本小题满分12 分） 设数列, 21 aa,na中的每一项都不为0. 证 明 ， n a为 等 差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 对 任 何Nn， 都 有 . 111 1113221nnn aa n aaaaaa （21） （本小题满分13 分） 品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外 观相同但品质不同的酒让其

28、品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间， 等其 记忆淡忘之后， 再让其品尝这n 瓶酒， 并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分. 现设 n=4，分别以 4321 ,aaaa表示第一次排序时被排为1，2，3，4 的四种酒在第二 次排序时的序号，并令 . |4|3|2|1| 4321 aaaaX 则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. （I）写出 X 的可能值集合； （II）假设 4321 ,aaaa等可能地为1， 2，3，4 的各种排列，求X 的分布列； （III ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X， （i）试按（ II

29、）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由. 参考答案 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 （1）B （2） A （3）C （4）A （ 5）C （6）D （7）B （8） C （9）D （10）D 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置 （11）存在,-2-4 | 3xxxR 使得 |+| （12）15（若只写 24 66 CC或，也可） （13）4 （14）12 （15） 三、解答题：本大题共6 小题

30、，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解 答写在答题卡上的指定区域内 （16） （本小题满分12 分） 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的 数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力. 13 解： （I）因为 22 3131 sin(cossin)(cossin)sin 2222 ABBBBB 222 313 c o ss i nsi n, 444 3 s i n,. 23 BBB AAA所以又 为锐角 所以 （II）由12AB AC可得 co s1 2.cbA 由（ I）知, 3 A所以 24cb 由余弦定理知 222

31、 2cos,27acbcbAa将及代入，得 + 2，得()100cb ，所以 10.cb 因此， c，b 是一元二次方程 2 10240tt的两个根 . 解此方程并由6,4.cbcb知 （17） （本小题满分12 分） 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等 式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （I）解：由( )22 ,( )2,. xx f xexa xfxexRR知 令( )0,ln 2.,( ),( )fxxxfxf x得于是当变化时的变化情况如下表： x (,ln 2) ln 2 (ln 2,) ( )fx 0 + ( )f x 单调递减

32、2(1ln 2)a 单调递增 故( )f x的单调递减区间是(,ln 2)，单调递增区间是(ln 2,)， ( )ln 2f xx在处取得极小值， 极小值为 ln 2 (ln 2)2ln 222(1ln 2).feaa （II）证：设 2 ( )21, x g xexaxxR 14 于是( )22 ,. x gxexa xR 由（ I）知当ln 21,( )(ln 2)2(1ln 2)0.agxga时最小值为 ,( )0,( )xgxg xRR于是对任意都有所以在内单调递增 , 于是当ln 21,(0,),( )(0),axg xg时 对任意都有 而(0)0,(0,),( )0.gxg x从而

33、对任意 即 22 210,21. xx exaxexax故 （18） （本小题满分13 分） 本题考查空间线面平行、线面垂直、 面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利 用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 综合法 （1）证：设AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点，连EG，GH， 又 H 为 BC 的中点， 11 / /,/ /,/ /. 22 GHABEFABEFGH又 四边形 EFHG 为平行四边形， EG/FH，而 EG平面 EDB ， FH/平面 EDB. （II）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB BC，又 EF/AB

34、， EFBC. 而 EF FB， EF平面 BFC， EFFH， AB FH. 又 BF=FC， H 为 BC 的中点， FHBC. FH平面 ABCD ， FHAC ， 又 FH/BC ， AC=EG. 又 AC BD， EGBD=G ， AG平面 EDB. （III ）解： EFFB， BFC=90， BF平面 CDEF， 在平面 CDEF 内过点 F 作 FKDE 交 DE 的延长线于K， 则 FKB 为二面角BDEC 的一个平面角 . 设 EF=1，则 AB=2 ，FC=2，DE=3 又 EF/DC ， KEF= EDC， sinEDC=sinKEF= 2 . 3 FK=EFsin K

35、EF= 2 3 ，tanFKB=3, BF FK FKB=60 二面角 BDEC 为 60. 向量法 四边形 ABCD 为正方形， AB BC，又 EF/AB ， EFBC. 又 EF FB， EF平面 BFC. EFFH， AB FH. 又 BF=FC， H 为 BC 的中点， FHBC ， FH平面 ABC. 15 以 H 为坐标原点，HBx为轴正向，HFz为轴正向， 建立如图所示坐标系. 设 BH=1 ，则 A（1， 2，0） ，B（1，0， 0） ， C（ 1，0，0） ，D（ 1， 2，0） ，E（0， 1，1） ， F（0，0，1） . （I）证：设 AC 与 BD 的交点为 G，

36、连 GE， GH， 则(0, 1,0),(0,0,1),(0,0,1)/ /.GCEHFHFGE又 GE平面 EDB ，HF 不在平面EDB 内， FH平面 EBD， （II）证：( 2,2,0),(0,0,1),0,.ACGEAC GEACGE 又 AC BD， EGBD=G ， AC平面 EDB. （III ）解：( 1, 1,1),( 2,2,0).BEBD 设平面 BDE 的法向量为 111 (1,),ny z 则 11111 10,120,BE nyzBD ny 111 22222 2 12 12 12 12 1,0,(1, 1,0). (0, 2,0),(1, 1,1), (1,)

37、,0,0, (1,0, 1), 11 cos, | |2 22 ,60 , yzn CDCE CDEyzCDynn n nn n n nn n n 即 设平面的法向量为则 故 即二面角 BDEC 为 60. （19） （本小题满分13 分） 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质， 直线的点斜式方程与一般方程， 点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合 运算能力、探究意识与创新意识. 解： （ I）设椭圆E 的方程为 22 22 1 xy ab 2222 22 22 11 ,2 ,3, 22 1. 43 c eacbace a xy ce 由即得

38、椭圆方程具有形式 将 A（2，3）代入上式，得 22 13 1,2,c cc 解得 16 椭圆 E 的方程为 22 1. 1612 xy （II）解法 1：由（ I）知 12 ( 2,0),(2,0)FF，所以 直线 AF1的方程为： 3 (2),3460, 4 yxxy即 直线 AF2的方程为：2.x 由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设( , )P x yl为上任一点，则 |346| |2 |. 5 xy x 若346510,280xyxxy得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线 l 的方程为：210.xy 解法 2： 1212 12 12 1 (2,3),( 2,0

39、),(2,0),( 4, 3),(0, 3). 114 ( 4, 3)(0, 3)(1,2). 535 | 2,:32(1),210. AFFAFAF AFAF AFAF klyxxy即 （III ）解法 1： 假设存在这样的两个不同的点 1122 (,)(,),B xyC xy和 21 21 1212 0000 1 ,. 2 (,), 22 BC yy BClk xx xxyy BCM xyxy设的中点为则 由于 M 在 l 上，故 00 210.xy 又 B，C 在椭圆上，所以有 2222 1122 11. 16121612 xyxy 与 两式相减，得 2222 2121 0, 1612

40、xxyy 即 12211221 ()()()() 0. 1612 xxxxyyyy 17 将该式写为 122112 21 11 0 8262 xxyyyy xx ， 并将直线BC 的斜率 BC k和线段 BC 的中点，表示代入该表达式中， 得 0000 11 0,320. 812 xyxy即 2得 20 2,3xy，即 BC 的中点为点A，而这是不可能的. 不存在满足题设条件的点B 和 C. 解法 2： 假设存在 1122 (,),(,)B xyC xyl两点关于直线对称， 则 1 ,. 2 BC lBCk 22 1 ,1, 21612 xy BCyxm设直线的方程为将其代入椭圆方程 得一元二

41、次方程 22221 34()48,120, 2 xxmxmxm即 则 12 xx与是该方程的两个根， 由韦达定理得 12 ,xxm 于是 1212 13 ()2, 22 m yyxxm B，C 的中点坐标为 3 (,). 24 mm 又线段 BC 的中点在直线 3 21,1,4. 4 m yxmm上得 即 B，C 的中点坐标为（2，3） ，与点 A 重合，矛盾 . 不存在满足题设条件的相异两点. （20） （本小题满分12 分） 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能 力. 证：先证必要性 设数列,0, n add的公差为若则所述等式显然成立， 若0d，则

42、18 12231 32121 12233 12231 11 1111 111 1 () 1111111 ()()() 1111 () nn nn nn nn n nn a aa aa a aaaaaa da aa aa a daaaaaa aa daada a 11 . n n a a 再证充分性 . 证法 1： （数学归纳法）设所述的等式对一切n N都成立，首先，在等式 122313 112 a aa aa a 两端同乘 123132123 ,2,a a aaaaa aa即得所以成等差数列， 记公差为 21 ,.daad则 假设 1 (1) ,1 k aakdnk当时，观察如下二等式 122

43、3112 1111 , kk k a aa aaaa a 12231111 1111 kkkkk k a aa aaaa aa a ， 将代入，得 1111 11 , kkkk kk a aa aa a 在该式两端同乘 11111 ,(1). kkk a a akaaka得 将 111 (1),. kk aakdaakd代入其中整理后 得 由数学归纳法原理知，对一切 1 (1) , n naandN 都有 所以 n ad是公差为的等差数列 . 证法 2：直接证法 依题意有 19 1223111 111 , nnn n a aa aa aa a 122311212 11111 . nnnnn n

44、 a aa aa aaaa a 得 121211 11 nnnn nn aaa aa a ， 在上式两端同乘 112111 ,(1), nnnn a aaanana得 同理可得 11(1),nnanana 得 12 2() nnn nan aa即 211 , nnnnn aaaaa所以是等差数列， （21） （本小题满分13 分） 本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密 切贴近生产、 生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括 能力、应用与创新意识. 解： （I）X 的可能值集合为0 ，2，4，6，8. 在 1，2，3，4 中奇数与偶

45、数各有两个， 所以 23 ,aa中的奇数个数等于 13 ,a a中的偶数个数，因此 1334 |1|3| 2| 4|aaaa与的奇偶性相同,从而 232 (|1|3|)(|2|4|)Xaaaa必为偶数 . X 的值非负，且易知其值 不大于 8. 容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8 各值的排列的例子. （II）可用列表或树状图列出1， 2，3，4 的一共 24 种排列，计算每种排列下的X 值， 在等可能的假定下，得到 X 0 2 4 6 8 P 1 24 3 24 7 24 9 24 4 24 （III ）（ i） 首先 41 (2)(0)(2) 246 P XP XP X， 将三轮测试

46、都有2X的 概率记做 p，由上述结果和独立性假设，得 3 11 . 2166 p （ii ）由于 15 2161000 p是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试 都有2X的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能， 不是靠随机猜测. 20 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 (1) 设i是虚数单位，复数 1 2 ai i 为纯虚数，则实数a 为 （A） 2 （B） -2 （ C） - 1 2 （D） 1 2 （2） 双

47、曲线 22 28xy的实轴长是 （A）2 (B) 2 2 (C)4 (D) 4 2 （3）设( )f x是定义在R上的奇函数，当0x时， 2 ( )2f xxx, (1)f （A）-3 (B) -1 （）（） （）设变量x，y满足| 1xy，则2xy的最大值和最小值分别为 （），（），（），（）， (5) 在极坐标系中，点(2,) 3 到圆2cos的圆心的距离为 （A）2 (B) 2 4 9 (C) 2 1 9 （D) 3 （6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A） 48 (B)328 17 (C) 488 17 (D) 80 (7) 命题“所有能被2 整除的数都是偶数

48、”的否定 是 （A）所有不能被2 整除的数都是偶数 （B）所有能被2 整除的数都不是偶数 （C）存在一个不能被2 整除的数都是偶数 （D）存在一个不能被2 整除的数都不是偶数 （8）设集合1,2,3,4,5,6,4,5,6,7AB，则满足SA且SB的集合S为 （A）57 （B） 56 （C）49 （D）8 （9）已知函数( )sin(2)f xx，其中为实数，若( )() 6 f xf对xR恒成立，且 ()( ) 2 ff，则( )fx的单调递增区间是 21 （A）,() 36 kkkz （B）,() 2 kkkz （C） 2 ,() 63 kkkz （D）,() 2 kkkz （10）函数( )(1) mn f xnxx在区间上的图像如图所示，则m,n 的值可能是 （A）m=1, n=1 （B）m=1, n=2 （C）m=2, n=1 （D）m=3, n=1 第 II卷（非选择题共 100 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效