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1、第 1 页 U A B 2017-2018 年呼伦贝尔市高考模拟统一考 试( 一) 数学 ( 理工类 ) 注意事项： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，本卷满 分 150 分，考试时间 120分钟. 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号，填写在答题卡 内的相关空格上 3. 第卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 4. 第卷每题的答案填写在答题卡相应题号下的空格内 第卷 一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数 z满足 3
2、 1 i i z ，i是虚数单位，则 |z（） A2 B. 2 C5 D5 2. 已知全集 U=R,集合 A=x| 00, 0)z ax by ab的最小值为 2, 则ab的最大值为（） A1 B 1 2 C 1 4 D 1 6 10. 若函数1)1( 2 1 3 1 )( 23 xaaxxxf在区间4, 1内为减函数 , 在区间 , 6为增函数 , 则实数a的取值范围是（） A. 2, B.7 ,5 C. 6, 4 D,75, 11. 设 F1，F2是双曲线1 22 22 b y a x )0,0(ba的左、右焦点，过F2与 双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若点 M在以
3、F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（） A)2, 1 ( B. )3,2( C)2,3( D. ),2( 12已知定义在 R上的函数( )yf x对任意的x都满足(1)( )f xf x， 当 11x 时， 3 ( )f xx，若函数( )( )logag xf xx至少 6 个零点，则 a取值范围是（） A),5( 5 1 ,0( B),5) 5 1 ,0( C)7,5( 5 1 , 7 1 ( D )7, 5) 5 1 , 7 1 ( 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第13 题第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第 22 题第 24 题为选考题， 考生根据要 第
4、 4 页 求作答 二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在 答题卷相应位置上） 13. 设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点 ,ABAD 2 1 ,BCBE 3 1 , ACABDE 21 ( 21，为实数), 则21的值为 _. 14. 由 O(0,0) 、A(0，1)、B(1，1) 、C(1，0) 连成正方形 OABC, 曲线 y=x 2 和曲线 y=围成叶形图，向正方形OABC 内随机投一点（该点落 在正方形 OABC 内任何一点是等可能的） ， 则所投的点落在叶形图内的 概率是 . 15已知 A、B、C是球 O的球面上三点， AB=2 ，BC=4 ，且
5、ABC=60 ， 球心到平面 ABC的距离为 错误！未找到引用源。 , 则球 O的表面积 为 . 16. 三角形 ABC中,角 A、B、C所对的边分别是a、b、c，且 2b=a+c， 2A=C则 cosA= . 三解答题（本大题共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明 过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是公差不为零的等差数列， 2 3a =，且 5 a是 48 ,aa的 等比中项 . （I ）求数列 na的通项公式； 第 5 页 （II ）设 n S为数列 n a的前n项和，求使 nn aS=成立的所有n的值. 18.( 本小题满分 12 分) 已知四棱锥
6、 PABCD的底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，FEABAD,1,2分别是线段AB，BC的中 点， （I ）在PA上找一点G，使得EG平面PFD； （II ）若PD与平面 ABCD所成角的余弦值是错误！未找到引用 源。 ， 求二面角 APDF的余弦值 19(本小题满分 12 分) 在一个盒子中 , 放有标号分别为1,2,3 的三张卡片 , 现从这 个盒子中 , 有放回 的随机抽取两张卡片 , 记第一次抽取卡片的标 号为x, 第二次抽取卡片的标号为y. 设O为坐标原点 , 点P的坐 标为(2,),xxy记 2 |OP. ()求随机变量的最大值 ,并求事件“取得最大值”的概率 ; ()求随机
7、变量的分布列和数学期望 . 20 （本小题满分 12 分） 设椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，上顶点 为A，以 1 F为圆心 12 F F为半径的圆恰好经过点A且与直线 :330lxy相切 （I ）求椭圆 C的方程； 第 6 页 （II ）过右焦点 2 F作斜率为k的直线与椭圆C交于N、M两点，在 x 轴上是否存在点(,0)P m使得以,PM PN为邻边的平行四边形是菱形， 如 果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由 21. （本小题满分 12 分） 已知函数()1lnfxaxx()aR （I ）讨论函数 ( )f x在定义域内的极
8、值点的个数； （II ）当xye1 时，求证：. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分，作答时请写清楚题号。 22. （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图 , 已知 O 是ABC的外接圆,ADBCAB,是BC边上的 高,AE是O的直径 . （I ）求证 :AEADBCAC; 来源: 学+科+网 Z+X+X+K （II ）过点C作O 的切线交BA的延长线于点F, 若4,2 CFAF, 求 AC的长. A C E F D B O 第 7 页 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1 C的极坐标方程是2
9、，曲线 2 C的参数方程是 , 2 , 6 ,0( 2 1 sin2 , 1 t ty x 是参数） （I ）写出曲线 1 C的直角坐标方程和曲线 2 C的普通方程； （II ）求t的取值范围，使得 1 C， 2 C没有公共点 24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数( )|1|fxx. （I ）解关于x的不等式 2 ( )10f xx; （II ）若( )|3|,( )( )g xxm f xg x的解集非空 , 求实数m的取值范 围. 第 8 页 2017-2018 年呼伦贝尔市高考模拟统一考试(一)答案 数学 ( 理工类 ) 一选择题：本大题共12 小题，每小题
10、5 分，共 60 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选 项 C B A A C B A C D B D A 二填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分。 13 1 2 141/3 15. 错误！未找到引用源。16. 4 3 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本题满分 12 分） 已知数列 n a是公差不为零的等差数列， 2 3a =，且 5 a是 48 ,a a的等比中 项. （I ）求数列 n a的通项公式； （II ）设 n S为数列 n a的前n项和，求使 nn aS=成立的所有n的值. 17 解： （I ）因为 5 a是 48
11、,a a的等比中项，所以 2 548 aa a=. 第 9 页 设等差数列 n a的公差为d，则 2 222 (3 )(2 )(6 )adadad+=+. 因为 2 3a =， 所以 2 20dd+=. 因为0d 1，所以2d = -. 所以27 n an= -+. -6分 （II ）由27 n an= -+可知： 1 5a =. 所以 1 () 2 n n aan S + = 2(572 ) 6 2 n n nn +- =-. 由 nn aS=可 得 ： 2 276nnn-+=-. 所 以1n=或7n =. -12分 18.( 本小题满分 12 分) 已知四棱锥 PABCD底面ABCD是矩形
12、，PA平面ABCD，AD2，AB 1，EF分别是线段AB，BC的中点， （I ）在PA上找一点G，使得EG平面PFD； （II ）若 PD与平面 ABCD所成角的余弦值 错误！未找 到引用源。， 求二面角 APDF的余弦值 18. 解： （）过点E作EHFD交AD于点H，则EH平面PFD且 AH 1 4AD 再过点H作HGDP交PA于点G，则HG平面PFD且AG1 4A P， 平面EHG平面PFDEG平面PFD 从而满足AG1 4AP的点 G为所求 - 6分 （II ）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA平面ABCD，所以 PDA是 PD与平面 ABCD所成的角 第 10 页 又已知 cos
13、 错误！未找到引用源。，所以 PA=1 ，所以 0,0,0 ,1,0,0 ,(1 ,1,0),(0,2,0),(0,0,1)ABFDP 设平面 PFD的法向量为 , ,nx y z，由 0 0 n PF n DF 得 0 0 xyz xy ，令1z，解得： 1 2 xy所以 1 1 ,1 2 2 n 又因 为ABPAD平面， 所以AB是 平 面PAD的 法 向 量 ， 易 得 1,0,0AB， 所以 1 6 2 cos, 6 11 1 44 AB n AB n ABn 由图知，所求二面角 APDF的余弦值为 6 6 -12分 19(本小题满分 12 分) 在一个盒子中 ,放有标号分别为1,2,
14、3的三张卡片 , 现从这个盒 子中, 有放回 的随机抽取两张卡片 , 记第一次抽取卡片的标号为x, 第 二次抽取卡片的标号为y. 设O为坐标原点 , 点P的坐标为(2,),xxy 记 2 |OP. ()求随机变量的最大值 , 并求事件“取得最大值”的概率 ; ()求随机变量的分布列和数学期望 . 第 11 页 19. 解: ()解法一 : 由题意可知 ,x,y的取值构成有序数对 (x,y) 如下 表: (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) x-2,x-y的取值构成有序数对 (x-2,x-y) 如下表 : (-1,0) (-1
15、,-1) (-1,-2) (0,1) (0,0) (0,-1) (1,2) (1,1) (1,0) 有上表知=, 5)()2( 22 yxx且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时， =5 . 因此随机变量的最大值是 5. -4 分 有放回的随机抽两张卡片的所有情况有33=9种， P( =5)= 9 2 -6分 解法二： x,y可能的取值为 1,2,3 |x-2|1, |y-x|2. =, 5)()2( 22 yxx且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时， =5 因此随机变量的最大值是 5. -4分 有放回的随机抽样两张卡片的所有情况有33=9 种，P( =5)= 9 2 第 12
16、页 -6分 ( )的所有取值为 0，1，2，5 =0 时，只有 x=2,y=2 这一种情况： =1 时，有 x=1,y=1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四种情况 =2 时，有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况 P( =0)= 9 1 ，P( =1)= 9 4 ，P( =2)= 9 2 -8分 则随机变量的分布列是： 0 1 2 5 P 9 1 9 4 9 2 9 2 -10分 因 此 ， 数 学 期 望E=0 9 1 + 1 9 4 + 2 9 2 + 5 9 2 = 2 -12分 20 （本题满分 12 分） 设椭圆C： 22 22 1(0) xy
17、 ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，上顶点 为 A， 以 1 F为圆心 12 F F为半径的圆恰好经过点A且与直线:330lxy 相切 （I ）求椭圆 C的方程； （II ）过右焦点 2 F作斜率为 K的直线与椭圆 C交于 M 、N两点，在 x 轴上是否存在点(,0)P m使得,PM PN以为邻边的平行四边形是菱形， 如 果存在，求出 m的取值范围，如果不存在，说明理由。 第 13 页 20.（I ）因为圆 1F 经过点 A且半径为 2C，所以| 211 FFAF，根据圆的 几何性质aAF | 1 ，所以2ac， 因为以点 1 F为圆心以2c为半径的圆与直 线 :330lxy相切
18、， 所以 3 2 1 3 c ，因为0c，所以1c，2a，所以 222 413bac 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy -4分 （II ）由（ 2）知 2(1,0) F, 所以设:(1)lyk x所以 1 34 ) 1( 22 yx xky 代入得 01248)43( 2222 kxkxk 设 11 (,)M x y， 22 (,)N xy，则 2 12 2 8 34 k xx k ， 1212(2)yyk xx 11221212 (,)(,)(2,)PMPNxm yxm yxxm yy 由于菱形对角线垂直，则()0PMPNMN，而 2121 (,)MNxx yy所以 12211221
19、(2)()()()0xxm xxyyyy即 2112 ()20k yyxxm，所以 2 1212 (2)20kxxxxm所以 22 2 22 88 (2)20 3434 kk km kk ，由已知条件可知 0k且kR（11 分）所以 2 2 2 1 3 34 4 k m k k ，所以 1 0 4 m 故存在满足题 意的点 P且m的取值范围是 1 0 4 m .-12分 21. （本题满分 12 分） 已知函数()1lnfxaxx()aR （I ）讨论函数 ( )f x在定义域内的极值点的个数； （II ）当xye1 时，求证： 21. 解： （I）， 第 14 页 当 a0 时，f （x）0
20、 在（0，+）上恒成立， 函数 f （x）在（ 0，+）单调递减， f （x）在（0，+）上没有极 值点； 当 a0 时，f （x）0 得，f （x）0 得， f （x）在上递减，在上递增，即 f （x）在处 有极小值 当 a0 时 f（x）在（0，+）上没有极值点， 当 a0 时，f （x）在（0，+）上有一个极值点 -5分 （注：分类讨论少一个扣一分 ） （II ）证明：， 令， 则只要证明 g（x）在（e1，+）上单调递增， -7分 又， 显然函数在（e1，+）上单调递增 ，即 g （x）0， g（x）在（ e1，+）上单调递增，即， 当 xye1 时，有-12分 请考生在第 22、23
21、、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第 15 页 第一题计分。 22. （本小题满分 10 分）选修 41: 几何证明选讲 如图, 已知 O 是 ABC的外接圆 ,ADBCAB,是BC边上的高 ,AE 是O的直径 . （I ）求证 :AEADBCAC; 来源: 学+科+网 Z+X+X+K （II ） 过点C作O的切线交 BA的延长线于点F, 若4,2 CFAF, 求AC的长. 22. 解：解 :(I)证明: 连结BE, 由题意知 ABE为直角三角形 . 因为 ,90ACBAEBADCABE所以 ABEADC 则 AC AE AD AB , 则AEADACAB. 又 BCAB, 所以
22、AEADBCAC -5分 (II)因为FC是O的切线 ,所以BFAFFC 2 , 又4,2 CFAF, 所以6,8AFBFABBF 因为AFCCFBFBCACF又, 所以 AFCCFB 则 BC AC FC AF , 即3 CF BCAF AC -10分 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4: 坐标系与参数方程 已 知 曲 线 1 C的 极坐 标 方 程是2， 曲线 2 C的 参 数 方 程 是 A C E F D B O 第 16 页 , 2 , 6 ,0( 2 1 sin2 , 1 t ty x 是参数） （I ）写出曲线 1 C的直角坐标方程和曲线 2 C的普通方程； （II ）
23、求t的取值范围，使得 1 C， 2 C没有公共点 23 解： （I ）曲线 1 C的直角坐标方程是2 22 yx， 曲线 2 C的普通方程是) 2 1 2 2 1 (1tytx -5分 （II ）当且仅当 1 2 1 2 0 1 2 1 0 t t t t 或时， 1 C， 2 C没有公共点， 解得 2 1 4 1 0tt或-10分 24. （本小题满分 10 分）选修 45；不等式选讲 已知函数( )|1|f xx. （I ）解关于x的不等式 2 ( )10f xx; （II ）若( )|3|,( )( )g xxm f xg x的解集非空 , 求实数m的取值范 围. 24. 解:(I)由题意原不等式可化为: 2 |1| 1xx 即: 2 11xx或 2 11xx 由 2 11xx得1x或2x 由 2 11xx得1x或0x 综上原不等式的解集为|10x xx或 -5分 (II)原不等式等价于|1|3|xxm的解集非空 第 17 页 令( )|1|3|h xxx,即 min ( )(|1|3|)h xxxm, 由|1|3| |13|4xxxx 所以 min ( )4h x所以4m -10分