2017年江苏省南通市中考数学试卷(含答案).pdf

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1、2017 年江苏省南通市中考数学试卷 一、选择题（每小题3 分，共 30分） 1 （3 分）在 0、2、1、2 这四个数中，最小的数为（） A0 B2 C1 D2 2 （3 分）近两年，中国倡导的 “ 一带一路 ” 为沿线国家创造了约180000 个就业岗位，将 180000用科学记数法表示为（） A1.810 5B1.8104 C0.1810 6 D1810 4 3 （3 分）下列计算，正确的是（） Aa2a=a Ba2?a3=a 6 Ca9a3=a3 D （a3）2=a 6 4 （3 分）如图是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（） ABCD 5 （3 分）在平面直角坐

2、标系中点P（1，2）关于 x 轴的对称点的坐标是（） A （1，2） B （1，2）C （1，2）D （2，1） 6 （3 分）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为 6，则侧面积为（） A4 B6 C12D16 7 （3 分）一组数据： 1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（） A平均数B中位数C众数D方差 8 （3 分）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后 的 8min 内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与 时间 x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（） A5L B3.75L C2.5L D

3、1.25L 9 （3 分）已知 AOB，作图 步骤 1：在 OB上任取一点 M，以点 M 为圆心， MO 长为半径画半圆，分别交OA、OB于 点 P、Q； 步骤 2：过点 M 作 PQ的垂线交于点 C； 步骤 3：画射线 OC 则下列判断：=； MCOA； OP=PQ ； OC平分 AOB ， 其中正确的个数为（） A1 B2 C3 D4 10 （3 分）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5 ，点 E，F，G，H 分别在矩形 ABCD各边 上，且 AE=CG ，BF=DH ，则四边形 EFGH周长的最小值为（） A5 B10C10D15 二、填空题（每小题3 分，共 24分） 11 （3

4、 分）若在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 12 （3 分）如图所示， DE是ABC的中位线， BC=8 ，则 DE= 13 （3 分）四边形 ABCD内接于圆，若 A=110 ，则 C=度 14 （3 分）若关于 x 的方程 x26x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 15 （3 分）如图，将 AOB绕点 O按逆时针方向旋转45 后得到 COD ，若 AOB=15 ， 则AOD=度 16 （3 分）甲、乙二人做某种机械零件已知甲每小时比乙多做4 个，甲做 60 个所用 的时间比乙做 40 个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 17（3 分） 已知 x=m时， 多项式 x2+2

5、x+n2的值为 1， 则 x=m 时， 该多项式的值为 18 （3 分）如图，四边形 OABC是平行四边形，点C在 x 轴上，反比例函数y= （x0） 的图象经过点 A（5，12） ，且与边 BC交于点 D若 AB=BD ，则点 D 的坐标为 三、解答题（本大题共10 小题，共 96 分） 19 （10 分） （1）计算： | 4| （2）2+（）0 （2）解不等式组 20 （8 分）先化简，再求值： （m+2）?，其中 m= 21 （9 分）某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50 名学生，并统计他们平 均每天的课外阅读时间t（单位： min） ，然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计

6、表 课外阅读时间 t频数百分比 10t3048% 30t50816% 50t70a40% 70t90 16b 90t11024% 合计50100% 请根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）a=，b=； （2）将频数分布直方图补充完整； （3） 若全校有 900 名学生， 估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？ 22 （8 分）不透明袋子中装有2 个红球， 1 个白球和 1 个黑球，这些球除颜色外无其他 差别，随机摸出 1 个球不放回，再随机摸出1 个球，求两次均摸到红球的概率 23 （8 分）热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋楼顶部 B 的仰角 为 45 ，看这栋

7、楼底部 C的俯角 为 60 ，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留 根号） 24 （8 分）如图， RtABC中， C=90 ，BC=3 ，点 O 在 AB上，OB=2，以 OB为半径的 O 与 AC相切于点 D，交 BC于点 E，求弦 BE的长 25 （9 分）某学习小组在研究函数y= x32x 的图象与性质时，已列表、描点并画出了 图象的一部分 x4 3.5 3210123 3.5 4 y0 （1）请补全函数图象； （2）方程x32x=2 实数根的个数为； （3）观察图象，写出该函数的两条性质 26 （10 分）如图，在矩形 ABCD中，E是 AD 上一点，PQ垂直平分

8、 BE ，分别交 AD、BE 、 BC于点 P、O、Q，连接 BP 、EQ （1）求证：四边形BPEQ是菱形； （2）若 AB=6，F为 AB的中点， OF +OB=9，求 PQ的长 27 （13 分）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线 与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形若有一个图形与原三角形 相似，则把这条线段叫做这个三角形的“ 內似线 ” （1）等边三角形 “ 內似线” 的条数为； （2）如图， ABC中，AB=AC ，点 D 在 AC上，且 BD=BC=AD ，求证： BD是ABC的“ 內 似线” ； （3）在 RtABC中， C=90

9、，AC=4 ，BC=3 ，E、F分别在边 AC、BC上，且 EF是ABC 的“ 內似线 ” ，求 EF的长 28 （13 分）已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax 2（a0）相交于 A、B两点（点 A 在点 B的 左侧） ，与 y 轴正半轴相交于点C，过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D （1）若 AOB=60 ，ABx 轴，AB=2，求 a 的值； （2）若 AOB=90 ，点 A 的横坐标为 4，AC=4BC ，求点 B的坐标； （3）延长 AD、BO相交于点 E，求证： DE=CO 2017 年江苏省南通市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3 分，共 30分） 1

10、 （3 分） （2017?南通）在 0、2、1、2 这四个数中，最小的数为（） A0 B2 C1 D2 【分析】 根据正数大于 0，0 大于负数，可得答案 【解答】 解：在 0、2、1、2 这四个数中只有 210，02 在 0、2、1、2 这四个数中，最小的数是2 故选： D 【点评】本题考查了实数大小比较， 任意两个实数都可以比较大小正实数都大于 0，负 实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小 2 （3 分） （2017?南通）近两年，中国倡导的“ 一带一路 ” 为沿线国家创造了约180000 个 就业岗位，将 180000 用科学记数法表示为（） A1.810 5

11、B1.8104 C0.1810 6 D1810 4 【分析】 科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1| a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】 解：将 180000 用科学记数法表示为1.8105， 故选： A 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其 中 1| a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值 3 （3 分） （2017?南通）下列计算，正确的是（） Aa2

12、a=a Ba2?a3=a 6 Ca9a3=a3 D （a3）2=a 6 【分析】 根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可 【解答】 解：A、a2a，不能合并，故 A 错误； B、a2?a3=a 5，故 B 错误； C、a9a3=a 6，故 C错误； D、 （a3）2=a 6，故 D 正确； 故选 D 【点评】 本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解 题的关键 4 （3 分） （2017?南通）如图是由4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图 是（） ABCD 【分析】 左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案 【解答】

13、解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形 故选 A 【点评】 此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图 的观察位置 5 （3 分） （2017?南通）在平面直角坐标系中点P（1，2）关于 x 轴的对称点的坐标 是（） A （1，2） B （1，2）C （1，2）D （2，1） 【分析】 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案 【解答】 解：点 P（1，2）关于 x 轴的对称点的坐标是（ 1，2） ， 故选： A 【点评】 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律 6 （3 分） （2017?南通）如图，圆锥的底

14、面半径为2，母线长为 6，则侧面积为（） A4 B6 C12D16 【分析】 根据圆锥的底面半径为2，母线长为 6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧 面积 【解答】 解：根据圆锥的侧面积公式：rl= 26=12 ， 故选 C 【点评】 本题主要考查了圆锥侧面积公式熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题 的关键 7 （3 分） （2017?南通）一组数据： 1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计 量是（） A平均数B中位数C众数D方差 【分析】 依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可 【解答】 解：A、原来数据的平均数是2，添加数字 2 后平均数扔为 2，故 A 与要求

15、不符； B、原来数据的中位数是2，添加数字 2 后中位数扔为 2，故 B与要求不符； C、原来数据的众数是2，添加数字 2后众数扔为 2，故 C与要求不符； D、原来数据的方差 =， 添加数字 2 后的方差 =，故方差发生了变化 故选： D 【点评】 本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是 解题的关键 8 （3 分） （2017?南通）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不 出水，在随后的 8min 内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的 水量 y（L）与时间 x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（） A5L

16、 B3.75L C2.5L D1.25L 【分析】 观察函数图象找出数据，根据“ 每分钟进水量 =总进水量放水时间 ” 算出每分钟 的进水量，再根据 “ 每分钟的出水量 =每分钟的进水量每分钟增加的水量” 即可算出结 论 【解答】 解：每分钟的进水量为：204=5（升） ， 每分钟的出水量为： 5（3020）（ 124）=3.75（升） 故选： B 【点评】 本题考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象找出数据结合数量关系列式 计算 9 （3 分） （2017?南通）已知 AOB，作图 步骤 1：在 OB上任取一点 M，以点 M 为圆心， MO 长为半径画半圆，分别交OA、OB于 点 P、Q；

17、 步骤 2：过点 M 作 PQ的垂线交于点 C； 步骤 3：画射线 OC 则下列判断：=； MCOA； OP=PQ ； OC平分 AOB ， 其中正确的个数为（） A1 B2 C3 D4 【分析】 由 OQ为直径可得出 OAPQ，结合 MCPQ可得出 OAMC，结论正确；根 据平行线的性质可得出PAO= CMQ，结合圆周角定理可得出COQ= POQ= BOQ ， 进而可得出=， OC平分 AOB ， 结论正确；由AOB的度数未知，不能得出 OP=PQ ， 即结论错误综上即可得出结论 【解答】 解： OQ为直径， OPQ=90 ，OAPQ MCPQ ， OAMC，结论正确； OAMC， PAO=

18、 CMQ CMQ=2COQ ， COQ= POQ= BOQ ， =，OC平分 AOB ，结论正确； AOB的度数未知， POQ和PQO互余， POQ不一定等于 PQO ， OP不一定等于 PQ，结论错误 综上所述：正确的结论有 故选 C 【点评】 本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判 定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键 10 （3 分） （2017?南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5 ，点 E，F，G，H 分别在矩 形 ABCD各边上，且 AE=CG ，BF=DH ，则四边形 EFGH周长的最小值为（） A5 B10C10D

19、15 【分析】 作点 E关于 BC的对称点 E ，连接 EG交 BC于点 F，此时四边形 EFGH周长取最 小值，过点 G作 GG AB于点 G ，由对称结合矩形的性质可知： EG =AB=10、GG =AD=5 ， 利用勾股定理即可求出EG的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值 【解答】 解：作点 E关于 BC的对称点 E ，连接 EG交 BC于点 F，此时四边形 EFGH周长 取最小值，过点 G作 GG AB于点 G ，如图所示 AE=CG ，BE=BE ， EG =AB=10， GG =AD=5 ， EG=5， C四边形EFGH=2EG=10 故选 B 【点评】本题考查了轴对称中的

20、最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形 EFGH周长取 最小值时点 E、F、G之间为位置关系是解题的关键 二、填空题（每小题3 分，共 24分） 11 （3 分） （2017?南通）若在实数范围内有意义，则x 的取值范围为x2 【分析】 根据二次根式有意义的条件可得x20，再解即可 【解答】 解：由题意得： x20， 解得： x2， 故答案为： x2 【点评】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是 非负数 12 （3 分） （2017?南通）如图所示， DE是ABC的中位线， BC=8 ，则 DE=4 【分析】 易得 DE是ABC的中位线，那么DE应等于 BC长

21、的一半 【解答】 解：根据三角形的中位线定理，得：DE= BC=4 故答案为 4 【点评】 考查了三角形的中位线定理的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半 13 （3 分） （2017?南通）四边形 ABCD内接于圆，若 A=110 ，则C=70度 【分析】 根据圆内接四边形的性质计算即可 【解答】 解：四边形 ABCD内接于 O， A+C=180 ， A=110 ， C=70 ， 故答案为： 70 【点评】 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关 键 14 （3 分） （2017?南通）若关于 x 的方程 x 26x+c=0有两个相等的实数根，则 c 的值为

22、 9 【分析】 根据判别式的意义得到=（6）24c=0，然后解关于 c的一次方程即可 【解答】 解：根据题意得 =（6）24c=0， 解得 c=9 故答案为 9 【点评】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a0）的根与 =b24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的 实数根；当 0 时，方程无实数根 15 （3 分） （2017?南通）如图，将 AOB绕点 O 按逆时针方向旋转45 后得到 COD ， 若AOB=15 ，则 AOD=30度 【分析】 根据旋转的性质可得 BOD，再根据 AOD= BOD AOB计算即可得解 【

23、解答】 解： AOB绕点 O按逆时针方向旋转45 后得到 COD ， BOD=45 ， AOD= BODAOB=45 15 =30 故答案为： 30 【点评】 本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记 16 （3 分） （2017?南通）甲、乙二人做某种机械零件已知甲每小时比乙多做4 个，甲 做 60 个所用的时间比乙做40 个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为8 【分析】 设乙每小时做 x 个，则甲每小时做（ x+4）个，甲做 60 个所用的时间为，乙 做 40 个所用的时间为；根据甲做 60 个所用的时间比乙做40 个所用的时间相等，列 方程求解 【解答】解：设乙每小时

24、做 x 个，则甲每小时做 （x+4）个，甲做 60 个所用的时间为， 乙做 40 个所用的时间为， 列方程为：=， 解得： x=8， 经检验： x=4是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙每小时做 8 个 故答案是： 8 【点评】 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出 合适的等量关系，列方程求解，注意检验 17 （3 分） （2017?南通）已知 x=m 时，多项式 x 2+2x+n2 的值为 1，则 x=m 时，该多 项式的值为3 【分析】 根据非负数的性质，得出m=1，n=0，由此即可解决问题 【解答】 解：多项式 x2+2x+n2=（x+1）2+n21，

25、（x+1）20，n20， （x+1）2+n21的最小值为 1， 此时 m=1，n=0， x=m 时，多项式 x2+2x+n2的值为 m22m+n2=3 故答案为 3 或解：多项式 x2+2x+n2的值为 1， x2+2x+1+n2=0， （x+1）2+n2=0， （x+1）20，n20， ， x=m=1，n=0， x=m 时，多项式 x2+2x+n2的值为 m22m+n2=3 故答案为 3 【点评】 本题考查代数式求值，非负数的性质等知识、学会整体代入的思想解决问题是 解题的关键 18 （3 分） （2017?南通）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在 x 轴上，反比例函 数 y=（x0）

26、的图象经过点 A（5，12） ，且与边 BC交于点 D若 AB=BD ，则点 D 的坐 标为（8，） 【分析】 先根据点 A（5，12） ，求得反比例函数的解析式为y=，可设 D（m，） ， BC的解析式为 y=x+b，把 D（m，）代入，可得 b=m，进而得到 BC的解析 式为 y=x+m，据此可得 OC=m =AB，过 D作 DE AB于 E，过 A作 AFOC 于 F， 根据 DEB AFO ， 可得 DB=13， 最后根据 AB=BD ， 得到方程 m=13， 进而求得 D 的坐标 【解答】 解：反比例函数y= （x0）的图象经过点A（5，12） ， k=125=60， 反比例函数的解

27、析式为y=， 设 D（m，） ， 由题可得 OA的解析式为 y=x，AOBC ， 可设 BC的解析式为 y=x+b， 把 D（m，）代入，可得m+b=， b=m， BC的解析式为 y=x+m， 令 y=0，则 x=m，即 OC=m ， 平行四边形 ABCO中，AB=m， 如图所示，过 D 作 DE AB于 E，过 A 作 AFOC于 F，则 DEB AFO ， =，而 AF=12，DE=12 ，OA=13， DB=13， AB=DB ， m=13， 解得 m1=5，m2=8， 又D 在 A 的右侧，即 m5， m=8， D 的坐标为（ 8，） 故答案为：（8，） 【点评】本题主要考查了反比例函

28、数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用， 解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角 形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用 三、解答题（本大题共10 小题，共 96 分） 19 （10 分） （2017?南通） （1）计算： | 4|（ 2） 2+ （）0 （2）解不等式组 【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义计算，第 三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果 （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【解答】 解： （1）原式 =44+31=2； （2） 解不等式得， x1，

29、解不等式得， x4， 所以不等式组的解集是1x4 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解 求 不等式组解集的口诀： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 也 考查了实数的运算 20 （8 分） （2017?南通）先化简，再求值： （m+2）?，其中 m= 【分析】 此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算 【解答】 解： （m+2）?， =?， =?， =2（m+3） 把 m=代入，得 原式=2（+3）=5 【点评】 本题考查了分式的化简求值分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因 式分解的先因式分解 21 （

30、9 分） （2017?南通）某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50 名学生， 并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min） ，然后利用所得数据绘制成如下不完 整的统计表 课外阅读时间 t频数百分比 10t3048% 30t50816% 50t70a40% 70t90 16b 90t11024% 合计50100% 请根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）a=20，b=32%； （2）将频数分布直方图补充完整； （3） 若全校有 900 名学生， 估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？ 【分析】 （1）利用百分比 =，计算即可； （2）根据 b 的值计算即可；

31、 （3）用一般估计总体的思想思考问题即可； 【解答】 解： （1）总人数 =50人， a=5040%=20，b=100%=32% ， 故答案为 20，32% （2）频数分布直方图，如图所示 （3）900=684， 答：估计该校有 684 名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min 【点评】 本题考查表示频数分布直方图、频数分布表、总体、个体、百分比之间的关系 等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型 22 （8 分） （2017?南通）不透明袋子中装有2 个红球， 1 个白球和 1 个黑球，这些球除 颜色外无其他差别，随机摸出1 个球不放回，再随机摸出1 个球，求两次均摸到红球的

32、概率 【分析】 利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可 【解答】 解：如图所示： ， 所有的可能有 12 种，符合题意的有2 种，故两次均摸到红球的概率为：= 【点评】 此题主要考查了树状图法求概率，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关 键 23 （8 分） （2017?南通）热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋楼顶部 B 的仰角 为 45 ，看这栋楼底部 C的俯角 为 60 ，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度 （结果保留根号） 【分析】 根据正切的概念分别求出BD、DC ，计算即可 【解答】 解：在 RtADB中， BAD=45 ， BD=AD=100m

33、， 在 RtADC中，CD=AD tanDAC=100m BC= （100+100）m， 答：这栋楼的高度为（ 100+100）m 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键 24 （8 分） （2017?南通）如图， RtABC中， C=90 ，BC=3 ，点 O在 AB上，OB=2 ，以 OB为半径的 O与 AC相切于点 D，交 BC于点 E，求弦 BE的长 【分析】 连接 OD，首先证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF 的长，然后利用垂径定 理求得 BE的长即可 【解答】 解：连接 OD，作 OF BE于点 F BF=

34、 BE ， AC是圆的切线， ODAC， ODC= C= OEC=90 ， 四边形 ODCF是矩形， OD=OB=FC=2 ，BC=3 ， BF=BC FC=BC OD=32=1， BE=2BF=2 【点评】 本题考查了切线的性质、勾股定理及垂径定理的知识，解题的关键是能够利用 切线的性质构造矩形形，难度不大 25 （9 分） （2017?南通）某学习小组在研究函数y=x 32x 的图象与性质时，已列表、 描点并画出了图象的一部分 x4 3.5 3210123 3.5 4 y0 （1）请补全函数图象； （2）方程x32x=2 实数根的个数为3； （3）观察图象，写出该函数的两条性质 【分析】

35、（1）用光滑的曲线连接即可得出结论； （2）根据函数 y= x32x 和直线 y=2 的交点的个数即可得出结论； （3）根据函数图象即可得出结论 【解答】 解： （1）补全函数图象如图所示， （2）如图 1， 作出直线 y=2 的图象， 由图象知，函数 y=x32x 的图象和直线 y=2 有三个交点， 方程x32x=2 实数根的个数为 3， 故答案为 3； （3）由图象知， 1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值， 2、此函数在 x2 和 x2，y 随 x 的增大而增大， 3、此函数图象过原点， 4、此函数图象关于原点对称 【点评】 此题主要考查了函数图象的画法，利用函数图象确定方程

36、解的个数的方法，解 本题的关键是补全函数图象 26 （10 分） （2017?南通）如图，在矩形 ABCD中，E是 AD上一点， PQ垂直平分 BE，分 别交 AD、BE 、BC于点 P、O、Q，连接 BP 、EQ （1）求证：四边形BPEQ是菱形； （2）若 AB=6，F为 AB的中点， OF +OB=9，求 PQ的长 【分析】 （1）先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE ，由 ASA证明 BOQ EOP ，得 出 PE=QB ，证出四边形 ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论； （2）根据三角形中位线的性质可得AE +BE=2OF +2OB=18 ，设 AE=x ，则 B

37、E=18 x，在 Rt ABE中，根据勾股定理可得62+x2=（18x） 2，BE=10 ，得到 OB= BE=5 ，设 PE=y ，则 AP=8y，BP=PE=y ，在 RtABP中，根据勾股定理可得62+（8y）2=y 2，解得 y= ， 在 RtBOP中，根据勾股定理可得PO=，由 PQ=2PO即可求解 【解答】 （1）证明： PQ垂直平分 BE ， QB=QE ，OB=OE ， 四边形 ABCD是矩形， ADBC ， PEO= QBO ， 在BOQ与EOP中， ， BOQ EOP （ASA ） ， PE=QB ， 又ADBC ， 四边形 BPEQ是平行四边形， 又QB=QE ， 四边形

38、 BPEQ是菱形； （2）解： O，F分别为 PQ，AB的中点， AE+BE=2OF +2OB=18， 设 AE=x ，则 BE=18 x， 在 RtABE中，62+x2=（18x） 2， 解得 x=8， BE=18 x=10， OB= BE=5 ， 设 PE=y ，则 AP=8y，BP=PE=y ， 在 RtABP中，62+（8y）2=y 2，解得 y= ， 在 RtBOP中，PO=， PQ=2PO= 【点评】 本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段 垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度 27 （13 分） （2017?南通）我们知道，三角

39、形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内 心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形若有一个图 形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“ 內似线 ” （1）等边三角形 “ 內似线” 的条数为3； （2）如图， ABC中，AB=AC ，点 D 在 AC上，且 BD=BC=AD ，求证： BD是ABC的“ 內 似线” ； （3）在 RtABC中， C=90 ，AC=4 ，BC=3 ，E、F分别在边 AC、BC上，且 EF是ABC 的“ 內似线 ” ，求 EF的长 【分析】 （1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案； （2）由等腰三角形的性质得出ABC=

40、 C=BDC ，A=ABD，证出 BCD ABC ，再 由三角形的外角性质证出BD平分 ABC即可； （3）分两种情况：当=时，EF AB，由勾股定理求出AB=5，作 DNBC于 N，则 DNAC，DN是 RtABC的内切圆半径，求出DN= （AC +BC AB）=1， 由几何平分线定理得出=，求出 CE= ，证明 CEF CAB ，得出对应边成比例 求出 EF=； 当=时，同理得： EF=即可 【解答】 （1）解：等边三角形 “ 內似线 ” 的条数为 3 条；理由如下： 过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1 所示： 则AMNABC ，CEF CBA ，BGHBAC ， MN、EF 、

41、GH是等边三角形 ABC的內似线 ” ； 故答案为： 3； （2）证明： AB=AC ，BD=BC=AD ， ABC= C= BDC ，A=ABD， BCD ABC ， 又 BDC= A+ABD ， ABD= CBD ， BD平分 ABC ， 即 BD过ABC的内心， BD是ABC的“ 內似线 ” ； （3）解：设 D是ABC的内心，连接 CD， 则 CD平分 ACB ， EF是ABC的“ 內似线 ” ， CEF与ABC相似； 分两种情况：当= 时，EF AB， ACB=90 ，AC=4 ，BC=3 ， AB=5， 作 DNBC于 N，如图 2 所示： 则 DNAC ，DN是 RtABC的内切

42、圆半径， DN= （AC+BC AB）=1， CD平分 ACB ， =， DNAC， =，即， CE= ， EF AB， CEF CAB ， ，即， 解得： EF=； 当=时，同理得： EF=； 综上所述， EF的长为 【点评】 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾 股定理、直角三角形的内切圆半径等知识；本题综合性强，有一定难度 28 （13 分） （2017?南通）已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax 2 （a0）相交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A作 ADx 轴，垂足为 D （1）若 AOB=60 ，

43、ABx 轴，AB=2，求 a 的值； （2）若 AOB=90 ，点 A 的横坐标为 4，AC=4BC ，求点 B的坐标； （3）延长 AD、BO相交于点 E，求证： DE=CO 【分析】 （1）如图 1，由条件可知 AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在 RtAOD 中可求得 AD 和 OD的长，可求得 A 点坐标，代入抛物线解析式可得a 的值； （2）如图 2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF BG ，由 A 的横坐标为 4， 得 B 的横坐标为 1，所以 A（4，16a） ，B（1，a） ，证明 ADO OEB ，则， 得 a 的值及 B的坐标； （3）如图 3，设 AC=nB

44、C 由（2）同理可知： A 的横坐标是 B的横坐标的 n 倍，则设 B （m， am2） ，则 A（mn，am2n2） ，分别根据两三角形相似计算DE和 CO的长即可得出结论 【解答】 解： （1）如图 1，抛物线 y=ax 2 的对称轴是 y 轴，且 ABx 轴， A 与 B 是对称点， O是抛物线的顶点， OA=OB ， AOB=60 ， AOB是等边三角形， AB=2，ABOC， AC=BC=1 ，BOC=30 ， OC=， A（1，） ， 把 A（1，）代入抛物线 y=ax 2（a0）中得： a= ； （2）如图 2，过 B 作 BE x 轴于 E，过 A 作 AGBE ，交 BE延长

45、线于点 G，交 y 轴于 F， CF BG， ， AC=4BC ， =4， AF=4FG ， A 的横坐标为 4， B的横坐标为 1， A（4，16a） ，B（1，a） ， AOB=90 ， AOD +BOE=90 ， AOD +DAO=90 ， BOE= DAO， ADO= OEB=90 ， ADO OEB ， ， ， 16a 2=4， a=， a0， a=； B（1，） ； （3）如图 3，设 AC=nBC ， 由（2）同理可知： A 的横坐标是 B的横坐标的 n 倍， 则设 B（m，am2） ，则 A（mn，am2n2） ， AD=am 2n2， 过 B 作 BFx 轴于 F， DEBF， BOF EOD ， =， ， =，DE=am 2 n， =， OC AE， BCO BAE ， ， =， CO=am2n， DE=CO 【点评】 本题是二次函数的综合题，考查了利用三角形相似计算二次函数的解析式、三 角形相似的性质和判定、函数图象上点的坐标与解析式的关系、等边三角形的性质和判 定，要注意第三问不能直接应用（1） （2）问的结论，第三问可以根据第二问中AC=4BC ， 确定 A、B两点横坐标的关系，利用两点的纵坐标和三角形相似列比例式解决问题