2017年湖南省长沙市中考数学试卷(含答案).pdf

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1、2017 年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36分） 1 （3 分）下列实数中，为有理数的是（） ABCD1 2 （3 分）下列计算正确的是（） A=Ba+2a=2a 2 Cx（1+y）=x+xy D （mn2）3=mn6 3（3 分） 据国家旅游局统计， 2017 年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000 人次，数据 82600000 用科学记数法表示为（） A0.82610 6 B8.2610 7 C82.610 6 D8.2610 8 4 （3 分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A 直角三角形 B 正五

2、边形C 正方形 D 平行四边形 5 （3 分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（） A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰直角三角形 6 （3 分）下列说法正确的是（） A检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 C数据 3，5，4，1，2 的中位数是 4 D“367 人中有 2 人同月同日出生 ” 为必然事件 7 （3 分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（） A长方形B圆柱C球D正三棱柱 8 （3 分）抛物线 y=2（x3） 2+4 顶点坐标是（ ） A （3，4） B （3，4）C （3，4）D （

3、2，4） 9 （3 分）如图，已知直线ab，直线 c 分别与 a，b 相交， 1=110 ，则 2 的度数为 （） A60B70C80D110 10 （3 分）如图，菱形 ABCD的对角线 AC ，BD的长分别为 6cm，8cm，则这个菱形的周 长为（） A5cm B10cm C14cm D20cm 11 （3 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初日 健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关” 其大意是，有人要去某关口，路程为 378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一 共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）

4、A24 里B12 里C6 里 D3 里 12 （3 分）如图，将正方形 ABCD折叠，使顶点 A 与 CD边上的一点 H 重合（H 不与端点 C，D 重合） ，折痕交 AD 于点 E，交 BC于点 F，边 AB折叠后与边 BC交于点 G设正方形 ABCD的周长为 m，CHG的周长为 n，则的值为（） AB CD随 H 点位置的变化而变化 二、填空题（本大题共6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13 （3 分）分解因式： 2a2+4a+2= 14 （3 分）方程组的解是 15 （3 分）如图， AB为O 的直径，弦 CDAB于点 E，已知 CD=6 ，EB=1 ，则O 的半 径为 16 （

5、3 分）如图， ABO 三个顶点的坐标分别为A（2，4） ，B（6，0） ，O（0，0） ，以 原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到 ABO，已知点 B 的坐标 是（3，0） ，则点 A 的坐标是 17 （3 分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10 次跳高的平均成绩恰好是1.6 米，方 差分别是 S甲 2=1.2， S 乙 2=0.5， 则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填“ 甲” 或“ 乙” ） 18 （3 分）如图，点 M 是函数 y=x 与 y= 的图象在第一象限内的交点，OM=4，则 k 的值为 三、解答题（本大题共8 小题，共 66 分） 19 （6 分）计算

6、： | 3|+ （ 2017） 02sin30 +（） 1 20 （6 分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来 21 （8 分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“ 经典诵读进校园 ” 活动，某 校团委组织八年级100 名学生进行 “ 经典诵读 ” 选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行 整理，得到下列不完整的统计图表 组别分数段频次频率 A60x70170.17 B70x8030a C80x90b0.45 D90x10080.08 请根据所给信息，解答以下问题： （1）表中 a=，b=； （2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数； （3）已知有四名同学均取得98 分的最

7、好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同 学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、 乙两名同学都被选中的概率 22 （8 分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理， 如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50 海里的速度向正东方航行， 在 A 处测得灯 塔 P在北偏东 60 方向上，继续航行1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P在北偏东 30 方向 上 （1）求 APB的度数； （2）已知在灯塔 P的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 23 （9 分）如图， AB与O 相切于点 C，OA，OB分别

8、交 O 于点 D，E，= （1）求证： OA=OB ； （2）已知 AB=4，OA=4，求阴影部分的面积 24 （9 分）自从湖南与欧洲的 “ 湘欧快线 ” 开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁， 某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000 元采购 A 型商品的件数是 用 7500 元采购 B 型商品的件数的2 倍，一件 A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多 10 元 （1）求一件 A，B型商品的进价分别为多少元？ （2）若该欧洲客商购进A，B 型商品共 250 件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80 件已知 A 型商品的售价为240 元/件，B

9、 型商品的售价为220 元/件，且全部售出设购进A 型商品 m 件，求该客商销售这批商品的利润v 与 m 之间 的函数关系式，并写出m 的取值范围； （3）在（ 2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最 大收益 25 （10 分）若三个非零实数x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒 数的和，则称这三个实数x，y，z构成“ 和谐三组数 ” （1）实数 1，2，3 可以构成 “ 和谐三组数 ” 吗？请说明理由； （2）若 M（t，y1） ，N（t+1，y2） ，R（t+3

10、，y3）三点均在函数（k 为常数， k0）的图 象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“ 和谐三组数 ” ，求实数 t 的值； （3）若直线 y=2bx+2c（bc0）与 x 轴交于点 A（x1，0） ，与抛物线 y=ax 2+3bx+3c（a0） 交于 B（x2，y2） ，C（x3，y3）两点 求证： A，B，C三点的横坐标 x1，x2，x3构成“ 和谐三组数 ” ； 若 a2b3c，x2=1，求点 P（，）与原点 O的距离 OP的取值范围 26 （10 分）如图，抛物线y=mx 216mx+48m（m0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在 点 A 左侧） ，与 y 轴交于点 C，

11、点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、 BD、AC 、AD，延长 AD交 y 轴于点 E （1）若 OAC为等腰直角三角形，求m 的值； （2）若对任意 m0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含 m 的式子表示）； （3）当点 D运动到某一位置时，恰好使得ODB= OAD ，且点 D 为线段 AE的中点，此 时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有 n+4my0212y050 成立，求实 数 n 的最小值 2017 年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36分） 1 （3 分） （2017?长沙）下列

12、实数中，为有理数的是（） ABCD1 【分析】 根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案 【解答】 解：， ，是无理数， 1 是有理数， 故选： D 【点评】 本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题关键 2 （3 分） （2017?长沙）下列计算正确的是（） A=Ba+2a=2a 2 Cx（1+y）=x+xy D （mn2）3=mn6 【分析】 分别利用合并同类项法则以及单项式乘以多项式和积的乘方运算法则化简判断 即可 【解答】 解：A、+无法计算，故此选项错误； B、a+2a=3a，故此选项错误； C、x（1+y）=x+xy，正确； D、 （mn 2）3=m

13、3n6，故此选项错误； 故选： C 【点评】 此题主要考查了合并同类项以及单项式乘以多项式和积的乘方运算等知识，正 确掌握运算法则是解题关键 3 （3 分） （2017?长沙）据国家旅游局统计，2017 年端午小长假全国各大景点共接待游 客约为 82600000 人次，数据 82600000 用科学记数法表示为（） A0.826106B8.26107C82.6106D8.26108 【分析】 科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1| a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值 1 时，n 是正数；

14、当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】 解：将 82600000用科学记数法表示为： 8.26107 故选 B 【点评】 此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式， 其中 1| a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值 4 （3 分） （2017?长沙）在下列图形中， 既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 （） A 直角三角形 B 正五边形C 正方形 D 平行四边形 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】 解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称

15、图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误 故选 C 【点评】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分 重合 5 （3 分） （2017?长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一 定是（） A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰直角三角形 【分析】 根据三角形内角和等于180 计算即可 【解答】 解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x， 则 x+2x+3x=180

16、， 解得， x=30 ， 则 3x=90 ， 这个三角形一定是直角三角形， 故选： B 【点评】 本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180 是解题的 关键 6 （3 分） （2017?长沙）下列说法正确的是（） A检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 C数据 3，5，4，1，2 的中位数是 4 D“367 人中有 2 人同月同日出生 ” 为必然事件 【分析】 根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不 可能事件、随机事件的概念进行判断即可 【解答】 解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏

17、性，应采用抽样调查，此选 项错误； B、可能性是 1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误； C、数据 3，5，4，1，2 的中位数是 3，此选项错误； D、“ 367人中有 2 人同月同日出生 ” 为必然事件，此选项正确； 故选： D 【点评】 本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机 事件，熟练掌握基本定义是解题的关键 7 （3 分） （2017?长沙）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（） A长方形B圆柱C球D正三棱柱 【分析】 从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫 做俯视图 【解答】 解：从正面看，是一个矩形；从左面看，

18、是一个矩形；从上面看，是圆，这样 的几何体是圆柱， 故选 B 【点评】 本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中 8 （3 分） （2017?长沙）抛物线 y=2（x3） 2+4 顶点坐标是（ ） A （3，4） B （3，4）C （3，4）D （2，4） 【分析】 已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标 【解答】 解：y=2（x3）2+4 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4） 故选 A 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（xh） 2+k，顶点 坐标是（ h，k） ，对称轴是 x=h 9 （

19、3 分） （2017?长沙）如图，已知直线ab，直线 c 分别与 a，b 相交， 1=110 ，则 2 的度数为（） A60B70C80D110 【分析】 直接根据平行线的性质即可得出结论 【解答】 解：直线 ab， 3=1=110 ， 2=180 110 =70 ， 故选 B 【点评】 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等 10 （3 分） （2017?长沙）如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD的长分别为 6cm，8cm，则 这个菱形的周长为（） A5cm B10cm C14cm D20cm 【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACBD，OA= AC，O

20、B= BD，再利用勾 股定理列式求出 AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解 【解答】 解：四边形 ABCD是菱形， ACBD，OA= AC= 6=3cm， OB= BD= 8=4cm， 根据勾股定理得， AB=5cm， 所以，这个菱形的周长 =45=20cm 故选 D 【点评】 本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分， 需熟记 11 （3 分） （2017?长沙）中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“ 三百七十 八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关” 其大意是，有人要去某 关口，路程为378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚

21、痛，每天走的路程都为前 一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（） A24 里B12 里C6 里 D3 里 【分析】 设第一天走了 x里，则第二天走了x 里，第三天走了x 第六天走了（） 5x里，根据路程为 378里列出方程并解答 【解答】 解：设第一天走了x 里， 依题意得： x+x+x+x+x+x=378， 解得 x=192 则（）5x=（）5192=6（里） 故选： C 【点评】 本题考查了一元一次方程的应用根据题意得到（） 5x 里是解题的难点 12 （3 分） （2017?长沙）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点 A 与 CD边上的一点 H 重 合（H 不与端点

22、 C，D 重合） ，折痕交 AD于点 E，交 BC于点 F，边 AB折叠后与边 BC交 于点 G设正方形 ABCD的周长为 m，CHG的周长为 n，则的值为（） AB CD随 H 点位置的变化而变化 【分析】 设 CH=x ，DE=y ，则 DH= x，EH= y，然后利用正方形的性质和折叠可以证 明DEH CHG ，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG ，HG 分别用 x，y 分别表 示，CHG的周长也用 x，y 表示，然后在 RtDEH中根据勾股定理可以得到xx2=y， 进而求出 CHG的周长 【解答】 解：设 CH=x ，DE=y ，则 DH= x，EH= y， EHG=90 ， DH

23、E +CHG=90 DHE +DEH=90 ， DEH= CHG ， 又 D=C=90 ，DEH CHG ， =，即=， CG=，HG=， CHG的周长为 n=CH +CG +HG=， 在 RtDEH中，DH 2+DE2=EH2 即（x）2+y2=（y）2 整理得x2=， n=CH +HG+CG= = 故选： B 【点评】 本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明 比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决本题综合考查了相 似三角形的应用和正方形性质的应用 二、填空题（本大题共6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13 （3 分） （2017?长

24、沙）分解因式： 2a 2+4a+2= 2（a+1） 2 【分析】 原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可 【解答】 解：原式 =2（a2+2a+1） =2（a+1）2， 故答案为： 2（a+1）2 【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 14 （3 分） （2017?长沙）方程组的解是 【分析】 根据加减消元法，可得答案 【解答】 解：两式相加，得 4x=4，解得 x=1， 把 x=1代入 x+y=1，解得 y=0， 方程组的解为， 故答案为： 【点评】 本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键 15 （3 分） （2017?长沙

25、）如图，AB为O的直径，弦 CD AB于点 E，已知 CD=6 ，EB=1 ， 则O的半径为5 【分析】 连接 OC ，由垂径定理知，点E是 CD的中点， AE= CD ，在直角 OCE中，利用 勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可 【解答】 解：连接 OC， AB为O的直径， ABCD， CE=DE= CD= 6=3， 设O的半径为 xcm， 则 OC=xcm ，OE=OB BE=x 1， 在 RtOCE中，OC 2=OE2+CE2， x 2=32+（x1）2， 解得： x=5， O的半径为 5， 故答案为： 5 【点评】 本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题

26、的关键 16 （3 分） （2017?长沙）如图， ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4） ，B（6，0） ，O （0，0） ，以原点 O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到 ABO，已知 点 B 的坐标是（ 3，0） ，则点 A 的坐标是（1，2） 【分析】 根据位似变换的性质进行计算即可 【解答】 解：点 A 的坐标为（ 2，4） ，以原点 O为位似中心，把这个三角形缩小为原来 的， 点 A 的坐标是（ 2，4） ，即（ 1，2） ， 故答案为：（1，2） 【点评】 本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变换是以原 点为位似中心， 相似比为 k， 那么位似图形

27、对应点的坐标的比等于k 或k 是解题的关键 17 （3 分） （2017?长沙）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10 次跳高的平均成绩恰 好是 1.6 米，方差分别是S甲 2=1.2，S 乙 2=0.5，则在本次测试中， 乙同学的成绩更稳 定（填 “ 甲” 或“ 乙” ） 【分析】 根据方差的意义可作出判断方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越 小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 【解答】 解： S甲 2=1.2，S 乙 2=0.5， S甲S乙， 甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙； 故答案为：乙 【点评】 本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大

28、小的量，方差越大，表 明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组 数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 18 （3 分） （2017?长沙）如图，点 M 是函数 y=x 与 y=的图象在第一象限内的交点， OM=4，则 k 的值为4 【分析】 作 MNx 轴于 N，得出 M（x，x） ，在 RtOMN 中，由勾股定理得出方程， 解方程求出 x=2，得出 M（2，2） ，即可求出 k 的值 【解答】 解：作 MNx 轴于 N，如图所示： 设 M（x，y） ， 点 M 是函数 y=x 与 y=的图象在第一象限内的交点， M（x，x） ，

29、在 RtOMN 中，由勾股定理得： x 2+（ x） 2=42， 解得： x=2， M（2，2） ， 代入 y=得：k=22=4； 故答案为： 4 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析 式的求法；求出点M 的坐标是解决问题的关键 三、解答题（本大题共8 小题，共 66 分） 19 （6 分） （2017?长沙）计算： | 3|+ （ 2017） 02sin30 +（） 1 【分析】 原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三 角函数值计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =3+11+3=6 【点评】 此题考查了实数的运算，绝对

30、值，以及零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运 算法则是解本题的关键 20 （6 分） （2017?长沙）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】 解：解不等式 2x9x，得： x3， 解不等式 5x13（x+1） ，得： x2， 则不等式组的解集为x2， 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组， 正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“ 同 大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到” 的原则是解答此题的关键 21 （8 分） （201

31、7?长沙）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“ 经典诵读进校 园” 活动，某校团委组织八年级100 名学生进行 “ 经典诵读 ” 选拔赛，赛后对全体参赛学生 的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表 组别分数段频次频率 A60x70170.17 B70x8030a C80x90b0.45 D90x10080.08 请根据所给信息，解答以下问题： （1）表中 a=0.3，b=45； （2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数； （3）已知有四名同学均取得98 分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同 学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法

32、求甲、 乙两名同学都被选中的概率 【分析】 （1）首先根据 A 组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求 得 a、b； （2）B组的频率乘以 360 即可求得答案； （2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率； 【解答】 解： （1）本次调查的总人数为170.17=100（人） ， 则 a=0.3，b=1000.45=45（人） ， 故答案为： 0.3，45； （2）360 0.3=108， 答：扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角为108 ； （3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为 C、D， 列树形图得： 共有 12 种等可能的情况，

33、甲、乙两名同学都被选中的情况有2种， 甲、乙两名同学都被选中的概率为= 【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 22 （8 分） （2017?长沙）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常 态化巡航管理，如图， 正在执行巡航任务的海监船以每小时50 海里的速度向正东方航行， 在 A 处测得灯塔 P在北偏东 60 方向上，继续航行 1 小时到达 B处，此时测得灯塔 P在北 偏东 30 方向上 （1）求 APB的度数； （2）

34、已知在灯塔 P的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【分析】 （1）在 ABP中，求出 PAB 、PBA的度数即可解决问题； （2）作 PHAB于 H求出 PH的值即可判定； 【解答】 解： （1） PAB=30 ，ABP=120 ， APB=180 PAB ABP=30 （2）作 PHAB于 H BAP= BPA=30 ， BA=BP=50 ， 在 RtPBH中，PH=PB?sin60 =50=25， 2525， 海监船继续向正东方向航行是安全的 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准 确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念

35、是解题的关键 23 （9 分） （2017?长沙）如图， AB与O相切于点 C，OA，OB分别交 O于点 D，E， = （1）求证： OA=OB ； （2）已知 AB=4，OA=4，求阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OC ，由切线的性质可知 ACO=90 ，由于=，所以 AOC= BOC ， 从而可证明 A=B，从而可知 OA=OB ； （2）由（ 1）可知： AOB 是等腰三角形，所以AC=2，从可求出扇形OCE的面积以 及OCB的面积 【解答】 解： （1）连接 OC ， AB与O相切于点 C ACO=90 ， 由于=， AOC= BOC ， A=B OA=OB ， （2）由（ 1）

36、可知： OAB是等腰三角形， BC= AB=2， sinCOB=， COB=60 ， B=30 ， OC= OB=2， 扇形 OCE的面积为：=， OCB的面积为：22=2 S阴影=2 【点评】 本题考查切线的性质，解题的关键是求证OA=OB ，然后利用等腰三角形的三线 合一定理求出 BC与 OC的长度，从而可知扇形 OCE与OCB的面积，本题属于中等题型 24 （9 分） （2017?长沙）自从湖南与欧洲的“ 湘欧快线 ” 开通后，我省与欧洲各国经贸往 来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000 元采购 A 型 商品的件数是用 7500 元采购 B型商品的件数的

37、2 倍， 一件 A 型商品的进价比一件B型商 品的进价多 10 元 （1）求一件 A，B型商品的进价分别为多少元？ （2）若该欧洲客商购进A，B 型商品共 250 件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80 件已知 A 型商品的售价为240 元/件，B 型商品的售价为220 元/件，且全部售出设购进A 型商品 m 件，求该客商销售这批商品的利润v 与 m 之间 的函数关系式，并写出m 的取值范围； （3）在（ 2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最 大收益 【分

38、析】 （1）设一件 B 型商品的进价为x 元，则一件 A 型商品的进价为（ x+10）元根 据 16000 元采购 A 型商品的件数是用7500 元采购 B型商品的件数的 2 倍， 列出方程即可 解决问题； （2）根据总利润 =两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题； （3）设利润为 w 元则 w=（80a）m+70（250m）=（10a）m+17500，分三种情 形讨论即可解决问题 【解答】 解： （1）设一件 B型商品的进价为 x 元，则一件 A 型商品的进价为（ x+10）元 由题意：=2， 解得 x=150， 经检验 x=150是分式方程的解， 答：一件 B 型商品的进价为 150

39、元，则一件 A 型商品的进价为 160 元 （2）因为客商购进A 型商品 m 件，所以客商购进B型商品（ 250m）件 由题意： v=80m+70（250m）=10m+17500， 80m250m， 80m125， （3）设利润为 w 元则 w=（80a）m+70（250m）=（10a）m+17500， 当 10a0 时，w 随 m 的增大而增大，所以m=125 时，最大利润为（ 18750125a） 元 当 10a=0时，最大利润为17500元 当 10a0 时，w 随 m 的增大而减小， 所以 m=80 时，最大利润为（1830080a）元 【点评】 本题考查分式方程的应用、一次函数的应用

40、等知识，解题的关键是理解题意， 学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型 25 （10 分） （2017?长沙）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另 外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“ 和谐三组数 ” （1）实数 1，2，3 可以构成 “ 和谐三组数 ” 吗？请说明理由； （2）若 M（t，y1） ，N（t+1，y2） ，R（t+3，y3）三点均在函数（k 为常数， k0）的图 象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“ 和谐三组数 ” ，求实数 t 的值； （3）若直线 y=2bx+2c（bc0）与 x 轴交于点 A（x1，0） ，与抛物线 y=

41、ax 2+3bx+3c（a0） 交于 B（x2，y2） ，C（x3，y3）两点 求证： A，B，C三点的横坐标 x1，x2，x3构成“ 和谐三组数 ” ； 若 a2b3c，x2=1，求点 P（，）与原点 O的距离 OP的取值范围 【分析】 （1）由和谐三组数的定义进行验证即可； （2）把 M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t 和 k 分别表示出 y1、 y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程，可求得 t 的值； （3）由直线解析式可求得x1=，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方 程根与系数的关系可求得x2+x3=，x2x3=，再利用和谐三数组的定义证明即

42、可；由 条件可得到 a+b+c=0，可得 c=（a+b） ，由 a2b3c 可求得的取值范围，令m=， 利用两点间距离公式可得到OP 2 关于 m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP 2 的 取值范围，从而可求得OP的取值范围 【解答】 解： （1）不能，理由如下： 1、2、3 的倒数分别为 1、， + 1，1+，1+ 实数 1，2，3 不可以构成 “ 和谐三组数 ” ； （2）M（t，y1） ，N（t+1，y2） ，R（t+3，y3）三点均在函数（k 为常数， k0）的图 象上， y1、y2、y3均不为 0，且 y1=，y2=，y3=， =，=，=， y1，y2，y3构成“ 和谐三组数

43、 ” ， 有以下三种情况： 当=+时，则=+，即 t=t+1+t+3，解得 t=4； 当=+时，则=+，即 t+1=t+t+3，解得 t=2； 当=+时，则=+，即 t+3=t+t+1，解得 t=2； t 的值为 4、2 或 2； （3） a、b、c 均不为 0， x1，x2，x3都不为 0， 直线 y=2bx+2c（bc0）与 x 轴交于点 A（x1，0） ， 0=2bx1+2c，解得 x1=， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得 2bx+2c=ax 2+3bx+3c，即 ax2+bx+c=0， 直线与抛物线交与B（x2，y2） ，C（x3，y3）两点， x2、x3是方程 ax 2+bx+

44、c=0 的两根， x2+x3=，x2x3=， +=， x1，x2，x3构成“ 和谐三组数 ” ； x2=1， a+b+c=0， c=ab， a2b3c， a2b3（ab） ，且 a0，整理可得，解得， P（，） OP 2=（ ） 2+（ ） 2=（ ）2+（）2=2（）2+2 +1=2（+）2+ ， 令 m=，则m且 m0，且 OP 2=2（m+ ）2+ ， 20， 当m时，OP 2 随 m 的增大而减小，当m=时，OP 2 有最大值，当 m= 时，OP 2 有最小值， 当m时，OP 2 随 m 的增大而增大，当m=时，OP 2 有最小值，当 m=时， OP 2 有最大值， OP 2 且 OP

45、 21， P到原点的距离为非负数， OP 且 OP 1 【点评】 本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根 与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识在（1） 中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三数组得到关于t 的方程是解题的关键， 在（3）中用 a、b、c 分别表示出 x1，x2，x3是解题的关键，在（ 3）中把 OP 2 表示成 二次函数的形式是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问， 难度很大 26 （10 分） （2017?长沙）如图，抛物线y=mx 216mx+48m（m0）与 x 轴交于 A，B 两点

46、（点 B在点 A 左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象 限，连接 OD、BD 、AC、AD，延长 AD交 y 轴于点 E （1）若 OAC为等腰直角三角形，求m 的值； （2）若对任意 m0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含 m 的式子表示）； （3）当点 D运动到某一位置时，恰好使得ODB= OAD ，且点 D 为线段 AE的中点，此 时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有 n+4my0212y050 成立，求实 数 n 的最小值 【分析】 （1）根据 y=mx 216mx+48m，可得 A（12，0） ，C（0，48m） ，再根据 O

47、A=OC ， 即可得到 12=48m，进而得出 m 的值； （2）根据 C、E两点总关于原点对称，得到E （0，48m） ，根据 E （0，48m） ，A（12， 0）可得直线 AE的解析式，最后解方程组即可得到直线AE与抛物线的交点 D 的坐标； （3）根据 ODBOAD，可得 OD=4，进而得到 D（6，2） ，代入抛物线 y=mx 2 16mx+48m，可得抛物线解析式，再根据点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，即可得 出 y0，令 t=2（y0+3） 2+4，可得 t 最大值=2（+3）2+4=，再根 据 n+，可得实数 n 的最小值为 【解答】 解： （1）令 y=mx 216mx+48m=m（x4） （x12）=0，则 x 1=12，x2=4， A（12，0） ，即 OA=12， 又C（0，48m） ， 当 OAC为等腰直角三角形时， OA=OC ， 即 12=48m， m=；