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1、训练目标 会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置 关系 训练题型 (1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、 面垂直的性质证 明线线垂直 解题策略 证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直 关系 (如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用 线面垂直的性质证明线线垂直. 1.如图所示， 已知 PA 垂直于圆 O 所在的平面， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上任意一点， 过 A 作 AEPC 于 E，AFPB 于 F，求证： (1)AE平面 PBC； (2)平面 PAC平面 PBC
2、； (3)PBEF. 2(2016 福州质检 )如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点， O 为底面正方 形对角线 B1D1与 A1C1的交点 (1)求证： AC1平面 B1D1C； (2)过 E 构造一条线段与平面B1D1C 垂直，并证明你的结论 3.(2016张掖第二次诊断)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中， AA1底面 ABC，且 ABC 为正 三角形， AA1AB6，D 为 AC 的中点 (1)求证：直线AB1平面 BC1D； (2)求证：平面BC1D平面 ACC1A1； (3)求三棱锥CBC1D 的体积 4(2016 山东省实验中学质检)如图所示， AB
3、CA1B1C1是底面边长为 2，高为 3 2 的正三棱 柱，经过 AB 的截面与上底面相交于PQ，设 C1PC 1A1(0 1) (1)证明： PQA1B1； (2)是否存在 ，使得平面CPQ截面 APQB？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明 理由 答案精析 1证明(1)因为 AB 是圆 O 的直径，所以ACB90 ， 即 ACBC. 因为 PA 垂直于圆O 所在平面， 即 PA平面 ABC，而 BC? 平面 ABC， 所以 BCPA. 又因为 AC PAA， AC? 平面 PAC，P A? 平面 PAC， 所以 BC平面 PAC. 因为 AE? 平面 PAC，所以 BCAE. 又已知
4、AE PC，PC BCC， PC? 平面 PBC，BC? 平面 PBC， 所以 AE平面 PBC. (2)由(1)知 AE平面 PBC， 且 AE? 平面 P AC， 所以平面 PAC平面 PBC. (3)因为 AE平面 PBC， 且 PB? 平面 PBC， 所以 AEPB. 又 AFPB 于 F， 且 AFAE A，AF? 平面 AEF， AE? 平面 AEF，所以 PB 平面 AEF. 又因为 EF? 平面 AEF，所以 PBEF. 2(1)证明AA1平面 A1B1C1D1， B1D1? 平面 A1B1C1D1，AA1B1D1， A1C1B1D1，且 AA1A1C1A1， AA1? 平面
5、AA1C1， A1C1? 平面 AA1C1， B1D1平面 AA1C1， AC1? 平面 AA1C1，B1D1AC1. 同理 AC1B1C，B1D1 B1CB1，B1D1? 平面 B1D1C，B1C? 平面 B1D1C， AC1平面 B1D1C. (2)解连接 EO，则线段EO 与平面 B1D1C 垂直证明如下： E 是 AA1的中点， O 是 A1C1的中点， EOAC1. AC1平面 B1D1C， EO平面 B1D1C. 3.(1)证明连接 B1C 交 BC1于点 O，连接 OD，如图， 则点 O 为 B1C 的中点 D 为 AC 的中点， AB1OD. OD? 平面 BC1D，AB1?
6、平面 BC1D， 直线 AB1平面 BC1D. (2)证明AA1底面 ABC， BD? 底面 ABC，AA1BD. ABC 是正三角形， D 是 AC 的中点， BD AC. AA1 AC A， AA1? 平面 ACC1A1， AC? 平面 ACC1A1， BD平面 ACC1A1. BD? 平面 BC1D， 平面 BC1D平面 ACC1A1. (3)解由(2)知，在 ABC 中， BD AC，BDBCsin 6033， SBCD 1 2 3 3 3 9 3 2 ， 11 C BC DCBCD VV 三棱三棱锥锥 1 3 93 2 693. 4(1)证明由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1平面
7、 ABC， 又因为平面APQB平面 A1B1C1PQ，平面 APQB平面 ABCAB，所以 PQAB. 又因为 AB A1B1，所以 PQA1B1. (2)解假设存在这样的 满足题意，分别取AB 的中点 D，PQ 的中点 E，连接 CE，DE， CD.由(1)及正三棱柱的性质可知CPQ 为等腰三角形，APQB 为等腰梯形，所以CEPQ， DEPQ， 所以 CED 为二面角APQC 的平面角连接C1E 并延长交 A1B1于点 F，连接 DF . 因为 C1P C1A1 C1E C1F ， C1A12，C1F 3， 所以 C1E 3 ，EF3(1 ) 在 RtCC1E 中可求得 CE 23 43 2， 在 RtDFE 中可求得DE 23 43(1 ) 2. 若平面 CPQ截面 APQB，则 CED90 ， 所以 CE 2DE2CD2，代入数据整理得 3 23 3 40，解得 1 2，即存在满足题意的 ， 1 2. 精品文档强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有