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1、1 小专题（六）圆中常见的最值问题 类型 1 利用对称求最值 1如图， A点是O 上直径 MN所分的半圆的一个三等分点，B点是 AN 的中点， P点是 MN上 一动点， O的半径为3，则 AP BP的最小值32 类型 2 利用垂线段最短求最值 2如图，已知一次函数y x22的图象与坐标轴分别交于A，B 两点， O 的半径为 1，P是线段 AB上一动点，过点P作O 的切线 PM ，切点为M ，则 PM的最小值为3 提示：当 OP AB时， PM取得最小值 类型 3 利用两点之间线段最短求最值 3如图， M的半径为2，圆心 M的坐标为（ 3，4），点 P是M上的任意一点，PA PB， 且 PA ，
2、PB与 x 轴分别交于A，B两点若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为6 提示：连接PO ，由题意可知PO 1 2AB ，所以 AB最小转化为 PO最小，点 O，P，M三点共 线时 PO取得最小值 类型 4 利用直径是圆中最长的弦求最值 4如图， PA ，PB分别切O于 A，B两点，已知O的半径为 4，劣弧 AB 的度数为120， Q 2 是O 上一动点，则PQ长的最大值是（B） A123 B12 C83 D43 第 4 题图第 5 题图 5（2018安徽四模）如图，AB是O 的一条弦，点C是O 上一动点，且 ACB 30， 点 E，F 分别是 AC ，BC的中点，直线EF与O 交于 G
3、，H两点若O的半径为6，则 GE FH的最大值为（B） A6 B9 C10 D12 提示： EF为ABC的中位线，所以EF1 2AB ，所以当 GH最大时， GH EF最大，即 GE FH取得最大值 6如图， AB是O 的弦， AB 8，点 C是O 上的一个动点，且 ACB 45. 若点 M ， N分 别是 AB ，AC的中点，则MN长的最大值是42 第 6 题图第 7 题图 7（2018内江） 如图，以 AB为直径的O的圆心 O到直线 l 的距离 OE 3， O的半径 r 2，直线 AB不垂直于直线l ，过点 A，B分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D，C ，则四 边形 ABCD 的面积的最大值为12 拓展类型隐圆问题 8如图，在矩形ABCD中， AB4，BC6，E 是矩形内部的一个动点，且AE BE ，则线段 CE的最小值为（B） A. 3 2 B2102 C2132 3 D4 提示：点 E在以RtABE斜边为直径的圆上 4