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1、1 / 20 不等式解法 2 难题汇编 一选择题（共5 小题） 1设函数 f（x）的定义域是 4，4 ，其图象如图， 那么不等式的解集为 （） A 2，1 B 4， 2 1，4 C 4， ） 2，0） 1， ）D 4， ）（ 1， ） 2已知函数，则不等式f（1x 2）f（2x）的解集是 （ ） AB CD 3已知 f（x）的定义在（ 0，3）上的函数， f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx 0 的解集是（） A （0，1）（ 2，3）BCD （ 0， 1）（ 1，3） 4已知 e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为R，2 f（x）?2f （x）2，f（0） =8，则 不等式
2、1 的解集为（） A （ ，0）B （0，+）C （1，+）D （ ，1） 5设函数 f（x）=x 3 3x2+（8 a）x5 a，若存在唯一的正整数 x0，使得 f（x0）0， 则 a 的取值范围是（） ABCD 二填空题（共15 小题） 2 / 20 6定义： 关于 x 的两个不等式f（x）0 和 g（x）0 的解集分别为 （a，b）和， 则称这两个不等式为对偶不等式如果不等式与不等式 2x 2+4xsin2 +10 为对偶不等式，且 ，则 = 7设函数，则实数a 的取值范围是 8若函数的定义域用D 表示，则使f（x） 0 对 x D 均成立的实数k 的范围是 9定义区间（c，d ， c，
3、d） ， （c，d） ，c，d 的长度均为dc，其中 dc则满足不等 式的 x 构成的区间长度之和为 10若函数则不等式的解集为 11若对一切 x 0 恒成立，则a的取值范围是 12已知函数f（x）=ax 2+xb（a，b 均为正数），不等式 f（x） 0 的解集记为 P，集合 Q=x| 2tx 2+t，若对于任意正数t，P Q?，则的最大值是 13 f（x）= x（x x ） ， x为 x 的整数部分， g（x）=x1，当 0x2012 时， f（ x） g（x）的解集为 14? xR，且 x0不等式恒成立， 则实数 a 的取值范围是 15 已知数列 an 中 a1=1， a2=2， 当整数
4、 n 1时，Sn+1+Sn1=2 （Sn+S1） 都成立， 则 S15= 16已知函数，若，则实数 a 的取值 范围是 17设 f（ x）=x 4tanx+2， x 1，1 ，则关于a的不等式f（a 21） +f（1 a） 4 的 解集为 18已知则 f（f（x） ） 1 的解集是 3 / 20 19使得： Cn 1+2C n 2+3C n 3+ +nC n n 2006 成立的最大正整数n的值为 20已知常数a，bR，且不等式xalnx+a b0 解集为空集，则ab 的最大值为 三解答题（共6 小题） 21已知函数f（x）=log2（| x+1|+| x2| m） （1）当 m=7 时，求函
5、数f（x）的定义域； （2）若关于x 的不等式f（x） 2 的解集是R，求 m 的取值范围 22若不等式5x7| x+1| 与不等式ax 2+bx20 同解，而 | xa|+| xb| k 的解集为空 集，求实数k 的取值范围 23已知不等式2| x3|+| x4| 2a （）若a=1，求不等式的解集； （）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围 24设函数f（x） =| x a| ax，其中 a为大于零的常数 （1）解不等式：f（x） 0； （2）若 0x2 时，不等式f（x） 2 恒成立，求实数a的取值范围 25 （1）解不等式：+2x5 （2）解关于x 的不等式：（aR） 26设函
6、数f（x） =e 1x+lnxx2 （I）若 f（x）的定义域为（，+） ，解不等式f（x） 0； （）证明： f（x）在区间（ 0，）上有唯一极值点 4 / 20 不等式解法 2 难题汇编 参考答案与试题解析 一选择题（共5 小题） 1 （2013?山东模拟） 设函数 f（x）的定义域是 4，4 ，其图象如图， 那么不等式 的解集为（） A 2，1 B 4， 2 1，4 C 4， ） 2，0） 1， ）D 4， ）（ 1， ） 【分析】 根据函数的图象可得，f（x）小于 0 时， x 的范围； f（ x）大于 0 时， x 的范围，； 且根据正弦函数图象可知，sinx 大于 0 时，x（ 4
7、， ）（ 0， ） ；当 sinx 小于 0 时， x（ ，0） ，则把所求的式子化为f（x）与 sinx 异号，即可求出不等式的解集 【解答】 解：由函数图象可知：当f（x） 0 时， 4x 2，1 x4， 或当 f（x） 0 时， 2x1； 而 sinx 中的 x 4，4 ，当 sinx0 时， x（ 4， ）（ 0， ） ； 当 sinx0 时， x（ ，0） ， 0，转化化为：，或， 结合图象得到x（ 4， ） 2，0） 1， ） ， 所以所求不等式的解集为（4， ） 2，0） 1， ） 故选 C 2 （ 2011?天津校级模拟）已知函数，则不等式f（1x 2） f （2x）的解集是（
8、） AB CD 【分析】 把原不等式化为，或 ，分别求出 的解集和 的解集，再取并集即得所求 【解答】 解：函数，则由不等式f（1x2） f（2x）可得 5 / 20 ，或 解 得 x，解 得x 1+或 x 1 故原不等式的解集为， 故选 D 3 （ 2002?北京）已知f（x）的定义在（ 0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不 等式 f（x）cosx0 的解集是（） A （0，1）（ 2，3）BCD （ 0， 1）（ 1，3） 【分析】 根据函数的图象可得，f（x）小于 0 时，x 大于 0小于 1；f（x）大于 0 时， x 大于 1 小于 3， ； 且根据余弦函数图象可知，co
9、sx 大于 0 时，x 大于 0 小于； 当 cosx 小于 0 时， x 大于小于 3，则把所求的式子化为f（x）与 cosx 异号，即可求出不等式的解集 【解答】 解：由函数图象可知：当f（x） 0 时， 0x1；当 f（x） 0 时， 1x3； 而 cosx 中的 x（ 0，3） ，当 cosx0 时， x（ 0，） ；当 cosx0 时， x（，3） ， 则 f（x）cosx0，可化为：或即或， 解得： x3 或 0x1， 所以所求不等式的解集为：（0，1）（，3） ， 故选 C 4已知 e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为R，2 f（x）?2f （x）2，f（0） =8，则 不
10、等式1 的解集为（） A （ ，0）B （0，+）C （1，+）D （ ，1） 6 / 20 【分析】 由题意可得到f（x）+f（x）1，而令 g（x）=ex f（x）1 ，从而可得到g（x） 0，这便说明g（x）在 R 上为增函数，而可求得g（0）=7，从而便可得到 g（x） g（ 0） ，这样即可得出原不等式的解集 【解答】 解： 2f （x）?2f（x）=2f（x）+f（x）2； f（x）+f （x） 1； 令 g（x）=ex f（x） 1 ，则 g（x）=exf（x） +f （x） 1 0； g（x）在 R 上为增函数； f（0）=8； g（0）=f（0） 1=7； 由得，； g（x）
11、 g（0） ； x0； 即原不等式的解集为（0， +） 故选： B 5 （ 2016 秋?唐山月考）设函数f（x） =x 33x2+（8 a）x5 a，若存在唯一的正整数 x0，使得 f（ x0） 0，则 a 的取值范围是（ ） ABCD 【分析】 设 g （ x）=x33x2+8x5，h （x）=a （x+1） ，在同一个坐标系中画出它们的图象， 结合图象找出满足条件的不等式组解之即可 【解答】 解：设 g（x）=x33x2+8x5，h（x） =a（x+1） ， g（x）=x 26x+8=（x2） （ x4） ，所以 x4 或者 x2 时函数递增， 2x4 时递减，并 且 g（1）=，g（
12、2）=，g（3）=1，g（4）=，图象如图，函数h（ x）经过（ 1，0） ， 要使存在唯一的正整数x0，使得 f（x0） 0，即 g（ x） h（x）有唯一正整数解，所以 只要 a 0 并且即解得； 故选： A 7 / 20 二填空题（共15 小题） 6 （2014?怀化三模） 定义： 关于 x 的两个不等式f（x）0 和 g （ x）0 的解集分别为 （a， b）和，则称这两个不等式为对偶不等式如果不等式 与不等式2x2+4xsin2 +10 为对偶不等式，且，则 = 【分析】 先设出不等式的对应方程两个根为a、b， 推出不等式的对应方程两个根为a、b， 利用韦达定理，求得关于的三角方程，
13、根据 的范围求解即可 【解答】 解：不等式与不等式2x2+4xsin2 +10 为对偶不等式， 设不等式的对应方程两个根为a、 b， 则不等式2x2+4xsin2 +10 对应方程两个根为： 所以 即： tan2 =因为，所以 故答案为： 8 / 20 7 （ 2015?海南模拟）设函数，则实数a 的取值 范围是3a1 【分析】 由于函数为分段函数，可分别讨论当a0 和 a0 两种情况，进而求出实数a的取 值范围 【解答】 解：函数f（x）为分段函数，当a0 时，1，得 0a1 当 a0 时，1，解得 a 3，即 3a0， 故答案为： 3a1 8 （ 2013?浙江模拟）若函数的定义域用D 表
14、示，则 使 f （x） 0 对 xD 均成立的实数k 的范围是k或 k或 k=1 【分析】 由 f（x） 0 对 xD 均成立，分子分母同时大于0 或者小于0，分类讨论，可得 结论 【解答】 解： k+1=0 时，f（x）=0 等价于 2x100，x5，不满足题意， 舍去； 2k1=0 时， f（x）=0 等价于（ 3x 2+7x14） （3x7） 0，解得 x （，）（，+） ，不满足x，舍去； k 1 且 k时，分子分母同号，可得（k+1） （2k1）0 且判别式均小于0，可得 k 或 k 当系数对应成比例时，k=1 时， f（x）=20，满足题意 故答案为： k或 k或 k=1 9 （
15、2013?江苏模拟）定义区间（c， d ， c，d） ， （c，d） ，c，d 的长度均为dc，其中 d c则满足不等式的 x 构成的区间长 度之和为 9 / 20 【分析】 将原不等式转化为一端为乘积，另一端为0，利用穿根法，计算即可求得不等式中 的 x 构成的区间长度之和 【解答】 解：依题意，得0， 即0?0， 由 a1a2x22 （a1+a2）x+3=0，得其两根为： x1，2= （其中 =4（ a1 ） 2+ ） ， x3，x4=，或； 不妨设 a1a2，判断一下四个根的大小，得到： ， 所以解集为： ， ， ， 区间长度 = （） + （） = （） + = 10（ 2009?北京
16、） 若函数则不等式的解集为 3， 1 【分析】 先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式， 再由分式不等式的解法和绝对值 不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集 【解答】 解： 由 由 不等式的解集为x| 3x1， 10 / 20 故答案为： 3， 1 11 （2010?扬州二模） 若对一切 x0 恒成立， 则 a 的取值范围是（ ， 2 【分析】转化为函数y=| xa| 与 y=，通过函数的图象，即可求出a 的取值范围 【解答】 解：转化为函数y=| xa| 与 y=， 由函数的图象，y=，且 x=2 时 y=0， 可知 a 的取值范围是（，2 故答案为：（ ，2 12 （2016?盐城
17、模拟）已知函数f（x）=ax 2+xb（a，b 均为正数），不等式 f（x）0 的解 集记为 P，集合 Q=x| 2tx 2+t ，若对于任意正数t，P Q?，则的最大值 是 【分析】 根据不等式解集对应的关系，得到2P，然后利用基本不等式进行求解即可 【解答】 解：不等式f（ x） 0 的解集记为P，集合 Q= x| 2 tx 2+t ，若对于任 意正数 t，P Q?， 2P，即 f（ 2） 0， 则 4a2b0， 即 12a，又由题意知，的最大值必是正数， 则=（） 1=（）（ 2a） 2+=2= 2=， 即的最大值是， 11 / 20 故答案为： 13 （2013?颍泉区校级二模）f（x
18、）= x （x x） ， x 为 x 的整数部分，g（x）=x1， 当 0x2012 时， f（ x） g（x）的解集为 1，2012 【分析】 根据 0x2012，分两种情况考虑：当0x1 时， x =0，可得出 x 1 小于 0， 进而确定出f（x）=0，g（ x）小于 0，进而得到此时f（x）大于 g（x） ，不合题意；当1x 2012 时，假设nxn+1，则 x =n，表示出f（x） ，利用作差法判断出f（x） g（ x） 的符合为负，可得出不等式f（x） g（x）的解集 【解答】 解：当 0x1 时， x =0，x10， f（x）=0，g（x） =x1 0，即 f（x） g（x） ，
19、不合题意； 当 1x2012 时，假设nxn+1，则 x =n， f（x）=n（xn） ，又 g（x）=x1， f（x） g（x）=n（xn） x+1=（n1）xn2+1（ n1） （n+1） n2+1=0， 不等式f（x） g（x）的解集为 1，2012 故答案为： 1，2012 14 （2012?洞口县校级模拟）? xR，且 x0不等式恒成立，则实 数 a 的取值范围是4a 6 【分析】 不等式对于一切非零实数x 均成立，可以先求出的最 小值，然后利用| a5|+ 1 小于这个最小值即可求解a 的取值范围 【解答】 解：当 x0 时，； 当 x0 时， 从而恒成立， 所以不等式对于一切非零
20、实数x 均成立， 可转化为 | a5|+ 12，即 | a5| 1 即 1a51 所以 4a 6 故答案为： 4a6 15（ 2012?五华区校级模拟） 已知数列 an 中 a1=1， a2=2， 当整数 n1时， Sn+1+Sn1=2 （Sn+S1） 都成立，则S15= 211 【分析】 将 n1 时， Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）转化为： n1 时， an+1an=2，利用等差数列的 求和公式即可求得答案 【解答】 解：数列 an 中，当整数n1 时， Sn+1+Sn1=2（ Sn+S1）都成立， ? Sn+1Sn=SnSn1+2 ? an+1an=2（ n1） 当 n 2时， an
21、 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列 12 / 20 S15=14a2+2+a1=142+ 2+1=211 故答案为： 211 16 （2012?盱眙县校级模拟）已知函数，若 ，则实数 a 的取值范围是 【分析】 根据分段函数g（x）的解析式作出其图象，如图所示再对x 进行分类讨论： 当 x时， g（x）是增函数，若； 当 x时， g（x）=，若 ， 得出关于a 的不等关系， 最后综上 所述，即可得出实数a 的取值范围 【解答】 解：根据函数g（x）的解析式作出其图象，如图所示 当 x时， g（x）是增函数， 若， 则，解得： 1a0 或 a 1； 当 x时， g（x）=， 若， 则，解
22、得：a； 综上 所述，实数a的取值范围是 故答案为： 13 / 20 17 （2012?铁东区校级模拟）设f（x）=x4tanx+2，x 1，1 ，则关于 a的不等式f（a 2 1）+f（1a） 4 的解集为 a| 0a1 【分析】 令 h（x）=x4tanx，x 1，1 ，不等式可化为h（a21）+h（1a） 0再 由由 h（ x）=x4tanx 是奇函数，定义域为 1， 1 ，不等式进一步化为h（a21） h （a1） 解不等式组求得 a 的范围，即为所求 【解答】 解：令 h（x）=x4tanx，x 1，1 ，则f（x） =h（x） +2，关于 a 的不等式f （a2 1）+f（1a）
23、4 即 h（a21）+2+h（1a）+24， 即h（a21）+h（1a） 0 再由 h（ x）=x4tanx 是奇函数，定义域为 1， 1 ，可得不等式即h（a21） h（1 a）=h（a1） ，即h（a2 1） h（a1） 解得0a1，故不等式的解集为 a| 0a1， 故答案为a| 0a 1 18 （2011?富阳市校级模拟）已知则 f（f（x） ） 1 的解集是 【分析】 分两种情况考虑：当x 大于等于0 时，根据分段函数解析式可得f（x） =，化简 所求不等式的左边，再根据也大于等于0，再根据 f（x）=，可把所求不等式化为关于x 的一元一次不等式，求出不等式的解集与x 大于等于0 求出
24、交集， 即为原不等式的解集；当 14 / 20 x 小于 0 时，根据分段函数解析式得出f（x）=x 2，而 x2 大于 0，再根据 f（x）=，可把所 求不等式化为关于x 的一元二次不等式，分解因式后，根据两数相乘积大于0，可得两因式 同号， 转化为两个不等式组，求出不等式组的解集，与x 小于 0 求出交集， 即为原不等式的 解集，综上，求出两解集的并集即可得到所求不等式的解集 【解答】 解：当 x0 时， f（x）=， 0， f（f（x） ）=f（）=， 所求不等式化为 1， 解得 x 4， 此时原不等式的解集为（4，+） ； 当 x0 时， f（x）=x 2， x 2 0， f（f（x）
25、 ）=f（x 2）= ， 所求不等式可化为1，即（ x+） （x） 0， 可化为或， 解得： x或 x， 此时原不等式的解集为（，） ， 综上，原不等式的解集为 故答案为： 19 （2006?杭州校级模拟）使得：Cn 1+2C n 2+3C n 3+ +nC n n2006 成立的最大正整数 n 的值 为8 【分析】 令不等式左边，即Cn1+2Cn2+3Cn 3 + +nCnn=t，根据 Cnm=Cnn m，得到 t=C n n1+2C n n 2+3C n n3+ +（n1）C n 1+nC n n，两式相加根据组合数的公式可得 2t=n2n+nCnn，进而得 到此式子小于2006 的 2
26、倍，验证即可得到最大正整数n 的值 【解答】 解：由题意令t=Cn1+2Cn2+3Cn3+ +nCn n，则有 t=C n n1+2C n n2+3C n n3+ +（n 1） Cn 1+nC n n， 则可得 2t=n2n+nCnn， 故 n2n+nCnn4012， 验证知，最大的n 是 8 故答案为： 8 20 （2016 秋?沧州月考）已知常数a，bR，且不等式x alnx+ab0 解集为空集，则ab 的最大值为e3 15 / 20 【分析】 由题意可得不等式xalnx+ab0 解集为空集，即任意正数x，xalnx+ab0 恒成立，即x+abalnx 恒成立， a0 是必然的，设曲线y=
27、alnx 的切线 l 与直线 y=x+ab 平行，求出切点，以及切线方程，可得x+ab x+alnaa，aba?a（2lna） ，构造函数f （x）=x 2（2lnx） ，求出导数和单调区间，可得最大值，即可得到 ab 最大值 【解答】 解： 不等式 xalnx+ab0 解集为空集， 即任意正数x， xalnx+ab0 恒成立， 即 x+a balnx 恒成立，当题目条件成立时，a0 是必然的， 设曲线 y=alnx 的切线 l 与直线 y=x+a b平行， 由=1，解得 x=a，切点为（ a， alna） ， 则可以求得直线l 方程为 y=x +alnaa 于是必有x+abx+alnaa，即
28、 b2aalna， 当 ab 取得最大值时，必然b0，于是 aba?a（2lna） ， 构造函数f（x）=x 2（2lnx） ，导数 f （x）=3x2xlnx ，x 0， 当 xe时， f （x） 0，f（x）递减；当0xe时， f （x） 0，f（ x）递增 则 x=e时，取得极大值， 也为最大值f（e）=e3（2lne）= （2）e=e 故答案为： 三解答题（共6 小题） 21 （2016?荆州模拟）已知函数f（x）=log2（| x+1|+| x2| m） （1）当 m=7 时，求函数f（x）的定义域； （2）若关于x 的不等式f（x） 2 的解集是R，求 m 的取值范围 【分析】（1
29、）由题设知：| x+1|+| x2| 7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域 （2）由题意可得，不等式即| x+1|+| x2| m+4，由于 xR 时，恒有 | x+1|+| x 2| 3， 故 m+43，由此求得m 的取值范围 【解答】 解： （1）由题设知：| x+1|+| x2| 7， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或 ， 解得函数f（x）的定义域为（， 3）（ 4，+） （2）不等式f（x） 2 即| x+1|+| x2| m+4， xR 时，恒有 | x+1|+| x 2| | （x+1）（ x2）| =3， 不等式 | x+1|+| x 2| m+4 解集是
30、R， m+4 3，m 的取值范围是（， 1 22 （2014?甘肃二模）若不等式5x7| x+1| 与不等式 ax 2+bx20 同解，而 | xa|+| x b| k 的解集为空集，求实数k 的取值范围 16 / 20 【分析】 先将 “ 不等式 5x7| x+1| ” 转化为和两种情 况求解，最后取并集，再由“ 与不等式 ax2+bx2 0 同解 ” ，利用韦达定理求得a，b，最后 由“ | xa|+| xb| k 的解集为空集” 求得 “ | xa|+| xb| ” 最小值即可 【解答】 解：得 或得 2 x 1 （3 分） 综上不等式的解集为， 又由已知与不等式ax2+bx20 同解，
31、 所以解得（7 分） 则| xa|+| xb| | xax+b| =| ba| =5， 所以当 | xa|+| xb| k 的解为空集时，k5 （10 分） 23 （2012?商丘三模）已知不等式2| x 3|+| x4| 2a （）若a=1，求不等式的解集； （）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围 【分析】（）对于不等式2| x3|+| x4| 2，分 x4、3 x4、x3 三种情况分别求 出解集，再取并集，即得所求 （）化简f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，要使不等式的解集不是空集，2a大于 f（x）的最小值，由此求得a 的取值范围 【解答】 解： （）对于不等式2| x3
32、|+| x4| 2， 若 x4，则 3x102，x4，舍去 若 3x4，则 x 22， 3x 4 若 x3，则 103x2，x 3 综上，不等式的解集为 （5 分） （）设f（x）=2| x3|+| x4| ，则 f（x）=， f（x） 1 要使不等式的解集不是空集，2a 大于 f（x）的最小值， 故 2a1， 17 / 20 即 a 的取值范围（， +） （10 分） 24 （2010?苏州模拟）设函数f（x）=| x a| ax，其中 a 为大于零的常数 （1）解不等式：f（x） 0； （2）若 0x2 时，不等式f（x） 2 恒成立，求实数a的取值范围 【分析】（1）把 f（x）的解析式
33、代入到f（x）0 得到一个不等式，当x 小于等于 0 时得到 不等式不成立； 当 x 大于 0 时， 对不等式的两边分别平方，移项后利用平方差公式分解因式， 分 a 大于 1，a 等于 1，a 大于 0 小于 1 三种情况分别求出不等式的解集即可； （2）把 f（x）的解析式代入到f（ x） 2 得到一个不等式，当a小于 1 大于 01 时，由 0 x2，得到 ax2 小于等于 0，原不等式恒成立；当a 大于 1 时，分两种情况去掉绝对值 号，然后把 x 等于 2分别代入到化简的不等式中，得到关于a 的两个不等式， 分别求出解集 与 a 大于 1 求出交集即可得到实数a 的范围， 综上， 把两
34、种情况求出的a 的范围求出并集即 可得到所有满足题意的a 的范围 【解答】 解： （1）不等式即为| x a| ax， 若 x0，则 ax0，故不等式不成立； 若 x0，不等式化为（xa）2a2x 2，即 （1+a）xa （1a）xa 0， 当 a 1 时， x或 x（舍）； 当 a=1 时， x； 当 0a1 时， 综上可得，当a1 时，不等式解集为 x| x ； 当 a=1时， 不等式的解集为 x| x ； 当 0a1 时， 不等式解集为 x| ； （2）不等式即为| xa| ax2， 若 0a1，则当 0x2 时有 ax 20，故不等式 | xa| ax2 恒成立 若 a1，则 xaax
35、2 或 xa2 ax 对任意 x 0， 2 恒成立， 即（ 1a）x+2a 0或（ 1+a）xa20 对任意 x 0，2恒成立， 所以（ 1a）?2+2a0 或（ 1+a）?2a20， 解得 a或 a0， 1 综上，实数a 的取值范围为（0， 25 （2015 秋?上海校级期中） （1）解不等式：+2x5 （2）解关于x 的不等式：（aR） 18 / 20 【分析】（1）由+2x5 得，解之即可得到不等式：+2x 5 的解集； （2）（aR）?0，通过对参数a 分 a0、a=0、0a、 a=、a五类讨论，可分别求得不等式的解集 【解答】 解： （1）+2x5， ，即，解得： 1x2， 不等式：
36、+2x5 的解集为 1，2 （2）由（aR）得：= 0 当 a=0 时，解得： x2； 当 a0 时，0?0 当 a0 时，若2=2，即 a=时，解得： x2； 若22，即 0a时，解得： x2 或 x2； 若22，即 a时，解得： x2 或 x2； 当 a0 时，解得：2x 2 综上所述， a0 时，不等式：的解集为 x|2 x2； a=0 时，不等式：的解集为 x| x2； 0a时，不等式：的解集为 x| x2 或 x2； a=时，不等式：的解集为 x| x2； a时，不等式：的解集为 x| 2 或 x2 26设函数f（x） =e 1x+lnxx2 19 / 20 （I）若 f（x）的定义
37、域为（，+） ，解不等式f（x） 0； （）证明： f（x）在区间（ 0，）上有唯一极值点 【分析】（）根据得到e+e x（lnxx2） 0，构造函数 g（x）=lnx x 2，利用导数求出函 数的最值，判断出函数f（ x）的单调性，继而得到不等式的解集； （）先求导，再构造函数h（x）=ex（ 12x） ex，求导，再构造函数t（x） =2x2 4x+1=2（x+1） 2+3，判断出函数的单调性，求出函数的值域，即可 判断函数h（x）的单调性，由函数的单调性证明结论 【解答】 解： （） f（ x）=e1 x+lnxx2， e+e x（ lnxx2） 0， 设 f（x）=0，解得 x=1，
38、设 g（x）=lnx x 2， 则 g （x）=， 当 g （x） 0 时，解得0x，函数 g（x）单调递增， 当 g （x） 0 时，解得x，函数 g（x）单调递减， 当 x=时， g（x）有最大值， 即 g（x）max=g（ ）=ln20， ex（ lnxx 2）为减函数， f（x） 0 的解集为（，1 （2） f（x）= e 1x+ 2x= 令 f（ x）=0，即 ex（12x） ex=0， 设 h（x）=ex（1 2x） ex， h （x）=ex（ 2x24x+1） e， 设 t（x）=2x24x+1=2（x+1）2+3， t（x）在（ 0，）上单调递减， t（） t（x） t（0） ， 即t（x） 1， ex（ 2x 24x+1） e 0， h （x） 0， h（x）在（ 0，）上单调递减， 20 / 20 f（0）=10，f （）=（e） 0， f（x）在区间（ 0，）上有唯一解， f（x）在区间（ 0，）上有唯一极值点