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1、北京市东城区（南片） 2018-2018学年下学期高一年级期末统一测试 数学试卷 本试卷共100 分。考试时间120 分钟。 一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分。在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项。 1. 下列命题中正确的是 A. ABOBOAB. 0BAAB C. 00 ABD. ADCDBCAB 2. 函数Rx x xf 42 sin3 的最小正周期为 A. 2 B. C. 2D. 4 3. 已知向量2, 1a，3 ,2b，4, 3c，且bac 21 ，则 21， 的值分别为 A. 2，1 B. 1， 2 C. 2，1D. 1，2 4. 已知 5 4
2、2 cosx ，且x在第三象限，则 xtan 的值为 A. 3 4 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 3 5. 不等式ba和 ba 11 同时成立的充要条件是 A. 0baB. 0,0 ba C. 0abD. 0 11 ba 6. 将函数xysin的图象上所有的点向右平移 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，所得图象的函数解析式是 A. 10 2sinxyB. 5 2sinxy C. 102 1 sinxyD. 202 1 sinxy 7. 如图， 3, 3AC ， 3 , 3BC ，FE，是AB上的三等分点，则ECFcos的值为 A. 85 852
3、 B. 2 3 C. 2 1 D. 5 4 8. 已知等比数列 n a中，各项都是正数， 且 1 a， 3 2 1 a， 2 2a成等差数列，则 987 1098 aaa aaa 的值为 A. 223B. 21C. 21D. 223 9. 若 有 实 数a， 使 得 方程 2 sin a x在2,0上 有 两 个 不 相 等 的实 数 根 21 xx， 则 21 co sxx的值为 A. 1B. 0 C.1 D. a 2 3 10. 在ABC中 ， 内 角CBA，的 对 边 分 别 是cba， 若 bcba3 22 ， BCsin32sin，则A的值为 A. 30B. 60C. 120D. 1
4、50 二、填空题：本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分。 11. 在区间2, 1上随机取一个数x，则1 , 0x的概率为 _。 12. 在数列 n a中，0 1 a， * 1 ,22Nnnaa nn ，前n项和为 n S，则 2 4 a S =_。 13. 若0a，20bab，则下列不等式对一切满足条件的ba，恒成立的是 _（写出所有正确命题的编号）。 1ab； 2ba ；2 22 ba； 3 33 ba2 11 ba 。 14. 已知3 4 tan 。则2tan_。 15. 如图所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其它各面 用钢筋网围成。现有36m 长的钢
5、筋网材料，则可围成的每间虎笼面积最大为_m 2。 16. 已知M是ABC内的一点，且3032BACACAB，。定义：Mf zyx,，其中zyx，分别为MABMCAMBC，的面积，若Mf 2 1 , yx，则 yx 2 2 1 的最小值为 _，此时Mf_。 三、解答题：本大题共6 小题，共52 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17. （本题 9 分）甲袋中有3 只白球、 7 只红球、 15 只黑球；乙袋中有10 只白球、 6 只红 球、 9 只黑球。 （1）从甲袋中任取一球，求取到白球的概率； （2）从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率； （3）从两袋中各取一球，求两球颜色不同的
6、概率。 18. （本题 9 分）在平面直角坐标系xOy中，点 2, 1A 、 3, 2B 、 1, 2C 。 （1）求以线段ACAB、为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）当t为何值时，OCtAB与OC垂直； （3）当t为何值时，OBOAt与OBOA2平行，平行时它们是同向还是反向。 19. （本题 8 分）在ABC中，角CBA、所对的边分别为cba， 已知 4 1 2cos C。 （1）求Csin的值； （2）当2a，CAsinsin2时，求b及c的长。 20. （本题 8分）已知等差数列 n a满足：267 753 aaa， n a的前n项和为 n S。 （1）求 n a及 n S；
7、（2）令 n a n Cb（其中C为常数，且 * 0NnC，） ，求证数列 n b为等比数列。 21. （本题 9 分）设函数,0 2 cos2 3 2 cos 2 x x xxf，。 （1）求 3 f的值； （2）求xf的最小值及xf取最小值时x的集合； （3）求xf的单调递增区间。 22. （本题 9 分）给出下面的数表序列： 表 1 表 2 表 3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12 其中表3, 2, 1nn有n行，第 1 行的n个数是1，3， 5，12n，从第 2 行起， 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 （1）写出表4，验证表4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数
8、列，并将结论 推广到表3nn（不要求证明） ； （2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12， 记此数列为 n b， 求数列 n b的前n项和。 【试题答案】 一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共 30 分。 题目1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D D B A B C D C A A 二、填空题：本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分。 11. 3 1 12. 2 15 13. ，（少选一个扣1 分） 14. 3 4 15. 2 27 16. 9， 2 1 3 1 , 6 1 ，（第一空2 分，第二空1 分） 三、解答题：本大题共6 小题，共5
9、2 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17. 解： （1）从甲袋中任取一球，取到白球的概率为 25 3 ；3 分 （2）从两袋中各取一球，两球颜色相同的概率 625 207 25 9 25 15 25 6 25 7 25 10 25 3 P；6 分 （3）从两袋中各取一球，两球颜色不同的概率 625 418 625 207 1P。 9 分 18. 解： （1） （方法一）由题设知 5 , 3AB ， 1 , 1AC ，则 6,2ACAB ， 4,4ACAB 。 所以102ACAB，24ACAB。 故所求的两条对角线的长分别为24、102。3 分 （方法二）设该平行四边形的第四个顶点
10、为D，两条对角线的交点为E，则： E为CB、的中点，1 ,0E 又1 , 0E为DA、的中点，所以4, 1D 故所求的两条对角线的长分别为 10224ADBC、 ； （2）由题设知：1, 2OC，ttOCtAB523，。 由OCtAB与OC垂直，得：0OCOCtAB。 即 01, 2523tt， ， 从而115t，所以 5 11 t。6 分 （3）由题设知：ttOBOAt23 ,2，8, 52OBOA。 由OBOAt/OBOA2，得1681510tt。解得： 2 1 t。 此时，8,5 2 1 4, 2 5 OBOAt，所以它们方向相反。 9 分 19. （1）解：因为 4 1 sin212c
11、os 2 CC，及C0， 所以 4 10 sin C。4 分 （2）解：当2a，CAsinsin2时，由正弦定理 C c A a sinsin ，得4c。 由 4 1 1cos22cos 2 CC，及C0得 4 6 cosC。 由余弦定理Cabbaccos2 222 ，得0126 2 bb。 解得6b或62。 所以 .4 ,6 c b 或 .4 ,62 c b 8 分 20. 解： （1）设等差数列 n a的公差为d，因为7 3 a，26 75 aa，所以有 .26102 ,72 1 1 da da 解得23 1 da，。 所以12123nnan ；nn nn nSn22 2 1 3 2 。
12、4 分 （2）由（ 1）知 12nan ，所以 2 1 1 1 CC C C b b nn n n aa a a n n 。 （常数， * 2Nnn，） 所以，数列 n b是以 3 1 Cb为首项。 2 C为公比的等比数列。8 分 21. 解： （1） 2 1 2 3 21 6 cos2 3 2 3 cos 3 2 2 f。 3 分 （2） 2 cos2 3 2 cos 2x xxf 1c o s 3 2 s i ns i n 3 2 c o sc o sxxx 1s i n 2 3 c o s 2 1 xx 1 6 s i nx 。 因为,0x，所以 666 5 x，所以 2 1 6 sin
13、1x 。 所以函数xf的最小值为0。 此时 26 x，即 3 2 x。所以x的取值集合为 3 2 。 6 分 （3）由（ 2）可知：,01 6 sinxxxf，。 设 66 5 6 x，则原函数为1siny。 因为x 6 为减函数，所以1siny的减区间就是复合函数xf的增区间。 由 266 5 x，得x 3 2 。 所以，函数xf的单调递增区间是, 3 2 。9 分 22. 解： （1）表 4 为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第 1， 2，3，4 行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为 2 的等比数列。 将这一结论推广到表3nn， 表n的第 1 行是 1，3，5，12n，其平均数是n n n12531 。 即表 3nn 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2 的等比数 列。4 分 （2）由（ 1）知，表n中最后一行的唯一一个数为 1 2 n n nb。 设 nn bbbbS 321 1210 2232221 n n 设 n n nS22322212 321 由得， nn n nS222222 13210 整理，得 121 n n nS9 分 精品推荐强力推荐值得拥有