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1、第 2 题 2018 年乐清中学自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点： 1全卷共三大题，满分120 分，考试时间为100 分钟。 2全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷 的相应位置上。 做在试题卷上无效。 3请用钢笔或圆珠笔在 答题卷 密封区上填写学校、 姓名、试场号和准考证号， 请勿遗漏。 4答题过程不准使用计算器。 祝你成功 ! 一、选择题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求） 1 如果一直角三角形的三边为a、 b、 c， B=90， 那么关于 x 的方程 a(x 2-1)2cx
2、+b(x2+1)=0 的根的情况为 A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根D 无法确定根的情况 2如图，是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形 ，设它们的面积分别是，则 A B C D 3如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为90 0 的扇形内作半圆，交弦AB 于点 D，连 接 CD，则阴影部分的面积是 A 1 B 2 C 1 2 1 D 2 2 1 第 3 题 第 5 题 4由 3 25 xya xya xy am 得 a3, 则 m的取值范围是 A m3 B m3 C m3 D m y2D y1与 y2的大小不能确定 二、填空题（本题共6 小题
3、，每小题5 分，共 30 分把答案填写在题中横线上） 7 二次函数y ax 2+(ab）xb 的图象如图所示， 那么化简 22 2|aabbb a 的结果是 _ _. 8 如图所示，在正方形 ABCD中， AO BD 、OE 、 FG 、HI 都垂 直于 AD，EF、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知SA JI=1， 则S正方形 ABCD= 9将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64 个同样大小的小正方体,其中 所有恰有2 面涂有颜色的小正方体表面积之和为 10用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案： （ 1）第 4 个图案中有白色纸片张 （ 2）第
4、n 个图案中有白色纸片张 （ 3）从第 1 个图案到第100 个图案，总共有白色纸片张 第 7 题 第 8 题 11. 如图所示 , 线段 AB与 CD都是 O中的弦 , 其中108 ,36 , OO ABABa CDCDb, 则 O的半径 R= 12阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中， ABDC，ACBD，ADBC，求证：四边形ABCD 是 等腰梯形 读后完成下列各小题 (1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： (2)作 DEAB 的目的是： (3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 (5)若题设中没有ADBC，
5、那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗？为什么？ 答 第 10 题 第 11 题 第 12 题 2018 年乐清中学自主招生考试 数学标准答案 一、选择题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求） 题 号1 2 3 4 5 6 答 案A D A C C A 二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分把答案填写在题中横线上） 7 _ 1_ 8256 9576 10 （ 1）13 （2）3n+1 （3）15250 11. abab或 12(1)没有错误(2)为了证明ADBC (3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (4)梯形及等腰梯
6、形的定义(5)不一定，因为当ADBC 时，四边形ABCD 是矩形 三、解答题（本题共5 小题，共60 分解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说 明） 13. （本小题10 分）某公园门票每张10 元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也 为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的 售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C 三类： A 类年票每张120 元，持票者进人公园时无需再购买门票；B类年票每张60 元，持票者 进入公园时，需再购买门票，每次2 元； C类年票每张40 元，持票者进入该公园时， 需再购买门票，每次3 元。
7、（ 5分） 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80 元花在该公 园的门票上，试通过计算，找出可使进人该公园的次数最多的购票方式； （ 5分）求一年中进人该公园至少超过多少次时，购买A 类票比较合算。 14 （本小题12 分）如图1 所示，在正方形ABCD中， AB=1 ，AC是以点B为圆心。 AB长 为半径的圆的一段弧，点E是边 AD上的任意一点（点E与点 A 、D不重合），过 E作 AC 所在圆的切线，交边DC于点 F，G为切点。 （ 4 分）当 DEF 45 时，求证点 G为线段 EF的中点； （ 4 分）设 AE=x， FC=y，求 y 关于 x 的函数解 析式；并写出
8、函数的定义域； （ 4 分） 图 2 所示，将 DEF沿直线 EF翻折后得 D1EF，当 EF= 5 6 时，讨论 AD1D与 ED1F 是否 相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只 要求写出结论，不要求写出理由。图 1 图 2 解： 15 （本小题12 分）二次函数 2 yaxbxc的图象的一部分如图所示。已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A（1，0）和点 B（0， l ） 。 （1） （4 分）请判断实数a 的取值范围，并说明理由； （2） （4 分）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C， 当AMC 面积等为 ABC面积的 5 4 倍时，求 a 的值。 （3） （4 分）是否存
9、在实数a，使得 ABC为直角三角形若 存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由。 （3）由 1a0，设 ABC为直角，由 222 BCABAC，得 2 2 11 (1)2(1) aa 解得1a，不合题意所以不存在。 16 （本小题12 分）如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点 A 处 有一个水声监测点，另两个监测点B，C 分别在 A 的正东方20 km 处和 54 km 处。某时 刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波， 8s 后监测 点 A，20 s 后监测点C 相继收到这一信号。在当时气象条件 下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s。 （1）（6 分）设
10、 A 到 P 的距离为xkm， 用x表示 B,C 到 P 的 距离，并求x值； （2） （6分）求静止目标P到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.01 km） 。 解： 依题意， PAPB=1. 5 8=12 (km) ，PCPB=1.520=30（km ） 因此PB（ x 一 12）km， PC=（18x）km. 在 PAB 中， AB= 20 km ， 222222 20(12)332 cos 22205 PAABPBxxx PAB PA ABxx 同理，在 PAC 中， 72 cos 3 x PAC x 由于coscosPABPAC 即 33272 53 xx xx 解得 132 7 x
11、（km） (2)作 PDa,垂足为 D. 在 RtPDA 中， PD =PAcosAPD=PAcos PAB = 132 332 332 7 55 x x x 17.71（km） 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17. 71 km. 17(本小题 14 分)已知 AB 是半圆 O 的直径，点C 在 BA 的延长线上运动（点C 与点 A 不重合），以 OC 为直径的半圆M 与半圆 O 交于点 D， DCB 的平分线与半圆M 交于点 E。 （1） （4 分）求证： CD 是半圆 O 的切线（图1） ； （2） （5 分）作 EFAB 于点 F（图 2） ，猜想 EF 与已有的哪条线段的一
12、半相等，并加 以证明； （3） （5 分）在上述条件下，过点E 作 CB 的平行线交CD 于点 N，当 NA 与半圆 O 相切时（图3） ，求 EOC 的正切值。 图 1 图 3 图 2 （1）证明：如图1，连结 OD，则 OD 为半圆 O 的半径 OC 为半圆 M 的直径 CDO=90 CD 是半圆 O 的切线。 （2）猜想： 1 2 EFOA。 证法一：如图，连结 OD、 OE， 延长 OE 交 CD 于点 K， 作 EGCD 于点 G， 则 EG/OD 。 CE 平分 DCB OCE=KCE EF AB EG=EF OC 是半圆 M 的直径， E 为半圆 M 上的一点 CEO=CEK=9
13、0 CE 为公共边 COE CKE OE=KE EG/OD DG=GK 证法二： 如图，以 OC 为直径作 M，延长 EF 交 M 于点 P，连结 OD。 EF CO EFPFEPEOPO 1 2 ， CE 平分 DCB DCE= ECO OD=EP 证法三： 如图，连结OD、ME ，OD、ME 相交于点H CE 平分 DCB OEDEMEOD， OH EF CO MFE= MHO=90 EMF= OMH ，ME=MO MEF MOH 图 EF=OH （3）解：如图3，延长 OE 交 CD 于点 K 设 OF=x，EF=y，则 OA=2y NE/CB ，EFCB ，NA 切半圆 O 于点 A
14、四边形AFEN 是矩形 同（ 2）证法一，得E 是 OK 的中点 N 是 CK 的中点 RtCEF RtEOF ，即 解得 当时， y x EOC EF OF y x 33tan， 当时，点与点重合，不符合题意，故舍去 y x CA1 tan EOC=3 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 图 3 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有