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1、专门安排“数学广角”这一单元, 向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的旧教 材相比 , 这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子, 借助实际操作, 向学生介 绍“鸽巢问题” , 使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上, 对一些简单的实际问题 加以“模型化” , 会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中, 有一类与“存在性”有关的问 题。 在这类问题中, 只需要确定某个物体( 或某个人 ) 的存在就可以了, 并不需要指出是哪个物 体( 或人 ) 。这类问题依据的理论, 我们称之为 “抽屉原理” 。 “抽屉原理”最先是由19 世界的 德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的, 所以
2、又称“狄利克雷原理” , 也称为“鸽巢问题” 。 “鸽巢问题”的理论本身并不复杂, 甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是 千变万化的 , 用它可以解决许多有趣的问题, 并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此 , “ 鸽 巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。 “抽屉原理” 的变式很多 , 在生活中运用广泛, 学生在生活中常常遇到此类问题。教学时 , 要引导学生先判断某个问题是否属于“抽屉原理” 可以解决的范畴。 能不能将这个问题同 “抽 屉原理” 结合起来 , 是本次教学能否成功的关键。所以 , 在教学中 , 应有意识地让学生理解“抽 屉原理”的“一般化模型”。六年级
3、的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握 本章内容的程度。 教材选取的是学生熟悉的, 易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结 合起来 , 有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。 1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动, 经历探究“抽屉原理”的过程,初步了 解“抽屉原理”, 会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 2.提高学生解决简单的实际问题的能力。 3.通过“抽屉原理”的灵活应用, 感受数学的魅力。 1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画 草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“抽屉原理”的过程是一种数学证明的 雏形
4、。通过这样的方式, 有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准 备。 2.有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体问题时, 能否将这个具体问 题和“抽屉问题”联系起来, 能否找到该问题中的具体情境与“抽屉问题”的“一般化模型” 之间的内在关系, 找出该问题中什么是“待分的东西”, 什么是“抽屉”, 是解决该问题的关 键。教学时 , 要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理” 可以解决的范畴; 再思考如 何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题” 的一般模型。 这个过程是学生经历将具体问题“数学化” 的过程 , 从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型, 是学生数学思维和
5、能力的重要体 现。 3.要适当把握教学要求。 “抽屉原理”本身或许并不复杂, 但它的应用广泛且灵活多变。 因此 , 用“抽屉原理”解决实际问题时, 经常会遇到一些困难。例如, 有时要找到实际问题与 “抽屉原理”之间的联系并不容易, 即使找到了 , 也很难确定用什么作为“抽屉”, 要用几个 “抽屉”。因此 , 教学时 , 不必过于要求学生“说理”的严密性, 只要能结合具体问题, 把大致 意思说出来就可以了, 鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。 1 鸽巢问题1 课时 2 “鸽巢问题”的具体应用1 课时 鸽巢问题 教材第 68、第 69 页。 1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上, 使
6、学生会用此原理解决简单的实际问题。 2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题, 激发学生的学习兴趣, 使学生感受数学的 魅力。 重点 :引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。 难点 :找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。 铅笔、笔筒、书等。 师: 同学们 , 老师给大家表演一个“魔术”。一副牌 , 取出大小王 , 还剩 52 张牌 ,请 5 个同 学上来 , 每人随意抽一张, 我知道至少有2 人抽到的是同花色的, 相信吗 ?试一试。 师生共同玩几次这个“小魔术”, 验证一下。 师: 想知道这是为什么吗?通过今天的学习, 你就能解释这个
7、现象了。下面我们就来研究 这类问题 ,我们先从简单的情况入手研究。 【设计意图 :紧紧扣住学生的好奇心,从学生喜欢的扑克牌“小魔术”开始 ,激活认知热情。 使学生积极投入到对问题的研究中。同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】 1. 讲授例 1。 ( 1) 认识“抽屉原理” 。(课件出示例题) 把 4 支铅笔放进3 个笔筒中 , 那么总有一个笔筒里至少放进2 支铅笔。 学生读一读上面的例题, 想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。 教师指出 : 上面这个问题, 同学们不难想出其中的道理, 但要完全清楚地说明白, 就需给 出证明。 ( 2) 学生分小组活动进行证明。 活动要求 : 学生先
8、独立思考。 把自己的想法和小组内的同学交流。 如果需要动手操作, 要分工并全面考虑问题。(谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉”、谁记录 等) 在全班交流汇报。 ( 3) 汇报。 师: 哪个小组愿意说说你们是怎样证明的? 列举法证明。 学生证明后 , 教师提问 : 把 4 支铅笔放进3 个笔筒里 , 共有几种不同的放法? (共有 4 种不同的放法。 在这里只考虑存在性问题,即把 4 支铅笔不管放进哪个笔筒,都视 为同一种情况 ) 根据以上 4 种不同的放法, 你能得出什么结论?(总有一个至少放进2 支铅笔 ) 数的分解法证明。 可以把4 分解成三个数 , 共有四种情况:( 4, 0, 0),( 3, 1
9、,0),( 2, 2, 0),( 2, 1, 1), 每一种结 果的三个数中 , 至少有一个数是不小于2 的。 反证法 ( 或假设法 ) 证明。 让学生试着说一说, 教师适时指点 : 假设先在每个笔筒里放1 支铅笔。那么 , 3 个笔筒里就放了3 支铅笔。 还剩下 1 支铅笔 , 放进任意一个笔筒里, 那么这个笔筒里就有2 支铅笔。 ( 4) 揭示规律。 请同学们继续思考: 把 5 支铅笔放进4 个笔筒中 , 那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔, 为什么 ? 如果把6 支铅笔放进5 个笔筒中 , 结果是否一样呢?把 7 支铅笔放进6 个笔筒中呢 ? 把 10 支铅笔放进9 个笔筒中呢 ?把 1
10、00 支铅笔放进99 个笔筒中呢 ? 学生回答的同时教师板书: 数量 ( 支 ) 笔筒数 ( 个 ) 结果 5总有一个笔筒里 提问 :观察板书 , 你有什么发现? 小组讨论 , 引导学生得出一般性结论。 (只要放的铅笔数比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少放进2 支铅笔 ) 追问 :如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2,多 3, 多 4 呢? 学生根据具体情况思考并解决此类问题。 教师小结。 上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原理”, 可以概括为 : 把 m 个物体任意 放到 m-1 个抽屉里 , 那么总有一个抽屉中至少放进了2 个物体。 2.教学例 2。 师: 把 7 本书放进 3 个抽
11、屉 ,不管怎么放 , 总有一个抽屉里至少放进3 本书。为什么 ?自己 想一想 , 再跟小组的同学交流。 学生独立思考后, 进行小组交流; 教师巡视了解情况。 组织全班交流,学生可能会说: ?我们可以动手操作, 选用列举的方法: 第一个抽屉765433 第二个抽屉011112 第三个抽屉001232 通过操作 , 我们把 7 本书放进3 个抽屉 , 总有一个抽屉至少放进3 本书。 ?我们可以用数的分解法:把7分解成三个数,有 ( 7, 0, 0),( 6, 1, 0),( 5, 1, 1),( 4, 1, 2),( 3, 1, 3),( 3, 2, 2) 这样六种情况。在任何一种情况中, 总有一
12、个数不小于3。 师: 同学们 , 通过上面两种方法, 我们知道了把7 本书放进3 个抽屉 , 不管怎么放 , 总有 1 个抽屉里至少放进3 本书。 但随着书的本书增多, 数据变大 , 如果有 8 本书会怎样呢 ?10 本呢 ? 甚至更多呢 ?用列举法、数的分解法会怎样?( 繁琐 ) 我们能不能找到一种适用各种数据的一般 方法呢 ?请同学们自己想一想。 学生进行独立思考。 师: 假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉, 看每个抽屉能分到多少本书, 你们能用什么 算式表示这一平均分的过程呢? 生: 73=2 1 师: 有余数的除法算式说明了什么问题? 生: 把 7 本书平均放进3 个抽屉 , 每个抽屉
13、放2 本书 ,还剩 1本 ; 把剩下的 1 本不管放到哪 个抽屉 , 总有一个抽屉至少放3 本书。 师: 如果有 8 本书会怎样呢 ? 生: 83=2 2, 可以知道把8 本书平均放进3 个抽屉 , 每个抽屉放2 本书 , 还剩 2 本; 把 剩下的 2 本中的 1 本不管放到哪个抽屉, 总有一个抽屉至少放3 本书。 师: 10 本书呢 ? 生: 103=3 1, 可知把 10 本书平均放进3 个抽屉 ,每个抽屉放3 本书 , 还剩 1 本; 把剩 下的 1 本不管放到哪个抽屉, 总有一个抽屉至少放4 本书。 师: 你发现了什么 ? 师生共同小结:要把 a个物体放进n 个抽屉 , 如果 an=
14、b c( c0), 那么一定有一个抽 屉至少放 ( b+1) 个物体。 【设计意图 :在渗透研究问题、探索规律时 ,先从简单的情况开始研究。证明过程中 ,展示 了不同学生的证明方法和思维水平,使学生既互相学习、触类旁通,又建立“建模”思想 ,突出了 学习方法】 师: 通过今天的学习, 你有什么收获? 生: 物体数除以抽屉数, 那么总会有一个抽屉里放进比商多1 的物体个数。 师: 你能在生活中找出这样的例子吗? 学生举例说明。 师: 之所以把这个规律称之为“原理” , 是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理 解决的问题 , 研究出这个规律是非常有价值的。同学们继续努力吧! 【设计意图 :研究
15、的问题来源于生活,还要还原到生活中去。在教学的最后 ,请学生总结这 节课学会的规律,再让学生举一些能用“鸽巢问题”解释的生活现象,以达到巩固应用的目的】 鸽巢问题 1.学生对“至少”理解不够, 给“建模”带来了一定的难度。 2.培养学生的问题意识, 借助直观操作和假设法, 将问题转化成“有余数的除法”形式, 可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。 3.经历将具体问题“数学化”的过程, 有利于提高学生的数学思维能力, 让学生在运用新 学知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中, 进一步体验数学的价值, 感受数学的魅力, 培养学 习数学的兴趣 A类 1.1001 只鸽子飞进50 个鸽舍 , 无论怎
16、么飞 , 我们一定能找到一个鸽子最多的鸽舍,它里 面至少有 ( ) 只鸽子。 2.从 8 个抽屉中拿出17个苹果 , 无论怎么拿 , 我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽屉, 从它里面至少拿出了( ) 个苹果。 3.从 ( )( 填最大数 ) 个抽屉中拿出25 个苹果 , 才能保证一定能找到一个抽屉, 从它当 中至少拿了7 个苹果。 ( 考查知识点 :鸽巢问题 ;能力要求 :灵活运用所学知识解决简单的具体问题) B类 你能证明在任意的37 人中 , 至少有 4 人的属相相同吗?说明理由。 ( 考查知识点 :鸽巢问题 ;能力要求 :灵活运用所学知识解决生活中的实际问题) 课堂作业新设计 A 类:
17、1. 212. 33. 4 B 类: 把 12 个属相看作12 个抽屉。 37 12=3 13+1=4即在任意的37 人中 , 至少有 4 人属相相同。 教材习题 第 68 页“做一做” 1. 我们可以假设3 只鸽子分别飞进了三个鸽笼, 那么剩余的2 只鸽子无论飞进哪个鸽笼, 都会出现“总有一个鸽笼至少飞进了2 只鸽子”这个结果。 2. 因为 5 人抽 4 种花色的扑克牌, 假设其中的4 人每人分别抽到其中一种花色,那么剩 下的 1 个人无论抽到什么花色, 就出现“至少有2 张牌是同花色”这个结果。 第 69 页“做一做” 1. 11 4=2( 只) 3( 只), 可知如果每个鸽笼飞进2 只鸽
18、子 , 剩下的 3 只鸽子飞进其中任 意 3 个鸽笼 , 那么至少有3 只鸽子飞进了一个鸽笼。 2. 5 4=1( 人) 1( 人 ), 可知如果每把椅子上坐1人, 剩下的 1 人再生其中任意的1把椅 子上 , 那么至少有1 把椅子上坐了2 人。 “鸽巢问题”的具体应用 教材第 70、第 71 页。 1.在了解简单的“抽屉原理”的基础上, 使学生会用此原理解决简单的实际问题。 2.提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 3.通过用“抽屉原理”解决简单的实际问题, 激发学生的学习兴趣, 使学生感受数学的魅 力。 引导学生把具体问题转化为“抽屉问题” , 找出这里的 “抽屉” 是什么 ,“
19、抽屉” 有几个 , 再利用“抽屉原理”进行反向推理。 课件、纸盒1 个,红球、蓝球各4 个。 1.讲月黑风高穿袜子的故事。 一天晚上 , 毛毛房间的电灯忽然坏了, 伸手不见五指。这时他又要出去, 于是他就摸床底 下的袜子。 他有蓝、 白、灰色的袜子各一双, 由于他平时做事随便,袜子乱丢 , 在黑暗中 , 无法 知道哪两只是颜色相同的。毛毛想拿最少数目的袜子出去, 在外面借街灯配成相同颜色的一 双。你们知道最少应该拿几只袜子出去吗? 2.在学生猜测的基础上揭示课题。 教师 :这节课我们利用“抽屉原理”解决生活中的实际问题。 ( 板书 :“抽屉原理”的具体应用) 1.课件出示例3。 盒子里有同样大
20、小的红球和蓝球各4个, 要想摸出的球一定有2个同色的 , 至少要摸出几 个球 ? 2.学生自由猜测。 可能出现 : 摸 2 个、 3 个、 4 个、 5 个等。说说你的理由。 3.学生摸球验证。 按猜测的不同情况逐一验证, 说明理由。 摸 2 个球可能出现的情况: 1 红 1 蓝; 2 个红球 ; 2 个蓝球。 摸 3 个球可能出现的情况: 2 红 1 蓝; 2 蓝 1 红; 3 红 ;3 蓝。 摸 4 个球可能出现的情况: 2 红 2 蓝; 3 蓝 1 红; 3 红 1 蓝; 4 红 ;4 蓝。 摸 5 个球可能出现的情况: 4 红 1 蓝; 3 蓝 2 红; 3 红 2 蓝; 4 蓝 1
21、红。 教师 :通过验证 , 说说你们得出了什么结论。 小结 :盒子里有同样大小的红球和蓝球各4 个。 要想摸出的球一定有2 个同色的 ,至少要 摸 3 个球。 4.引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”。 教师 : 生活中像这样的例子很多, 我们不能总是猜测或动手试验吧, 能不能把这道题与 前面所讲的“抽屉原理”联系起来进行思考呢? ( 1) 思考。 “摸球问题”与“抽屉原理”有怎样的联系? 应该把什么看成“抽屉”?有几个“抽屉”?要分放的东西是什么? 得出什么结论? ( 2) 小组讨论。 ( 3) 学生汇报 , 引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”。 教师讲解 : 因为一共有红、 蓝两种颜色的
22、球, 可以把两种 “颜色” 看成两个 “抽屉” ,“同 色”就意味着“同一抽屉”。这样 , 把“摸球问题”转化成“抽屉问题”, 即“只要分的物体 个数比抽屉个数多,就能保证有一个抽屉至少有2 个球”。 从最特殊的情况想起, 假设两种颜色的球各拿了1 个, 也就是在两个“抽屉”里各拿了1 个球 , 不管从哪个“抽屉”里再拿1 个球 , 都有2 个球是同色的 , 假设最少要摸a 个球 , 即 ( a) 2=1 ( b), 当 b=1 时, a 就最小。所以一次至少应拿出1 2+1=3( 个) 球, 就能保证有2 个球同色。 结论 :要保证摸出2 个同色的球 , 摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。
23、 【设计意图 :在实际问题和“鸽巢问题”之间架起一座桥梁并不是一件容易的事。因此,教 师应有意识地引导学生朝这个方向思考,慢慢去感悟。逐步引导学生把具体问题转化为“鸽巢 问题” ,并找出这里的“鸽巢”是什么 ,“鸽巢”有几个】 师: 在本节课的学习中, 你有哪些收获 ? 学生自由交流各自的收获、体会。 “抽屉原理”的具体应用 1.在思考应该把什么看成抽屉, 要分放的东西是什么时, 学生一开始可能会缺乏思考的 方向 , 很难找到切入点。 2.不同颜色的球的个数, 很容易给学生造成干扰。因此教学时 ,教师要允许学生借助实物 操作等直观方式进行猜测、验证。 A类 1.某班有个小书架, 40 个同学可
24、以任意借阅, 小书架上至少要有多少本书, 才能保证至少 有一个同学能借到两本或两本以上的书? 2.有 4 双不同颜色的手套,至少拿几只手套才能保证有两只手套是成对的? ( 考查知识点 :鸽巢问题 ;能力要求 :运用“鸽巢问题”的原理解决实际问题 ) B类 有红色、白色、黑色的筷子各10 根混放在一起, 如果让你闭上眼睛去摸, 你至少要摸出 几根才能保证有2根筷子是同色的?为什么 ?至少摸出几根, 才能保证有4根同色的筷子?为什 么? ( 考查知识点 :鸽巢问题 ;能力要求 :运用“鸽巢问题”的原理解决问题 ) 课堂作业新设计 A 类: 1.将 40 个同学看作40 个“抽屉” , 书看作被分的
25、物体, 由“抽屉原理”知: 要保证有一 个抽屉中至少有两个物体, 物体数至少为40+1=41( 个) 。即小书架上至少要有41 本书。 2. 5 只 B 类: 把三种颜色的筷子当作三个“抽屉”,根据“抽屉原理”可知: 至少拿 4 根筷子 ,才能保证有2 根同色筷子。 从最特殊的情况想起, 假设三种颜色的筷子各拿了3 根, 也就是在三个 “抽屉” 里各拿了 3 根筷子 , 不管在哪个“抽屉”里再拿1 根筷子 ,就有 4 根筷子是同色的, 所以一次至少应拿 出 33+1=10 ( 根) 筷子 , 才能保证有4 根筷子同色。 教材习题 第 70 页“做一做” 1. “六年级里至少有两人的生日是同一天
26、”, 这种说法是正确的。因为如果一年当中每 天都有一名学生过生日( 闰年 366 天), 则最多有 366 名学生的生日都不是在同一天,还剩下 1 名学生 ; 剩下的这一名学生生日无论在哪一天, 都一定会有两人的生日是相同的, 即他们的生 日在同一天。 “六 ( 2) 班中至少有5 人在同一个月出生的” 这种说法是正确的。 因为 4912=4 ( 人) 1( 人), 可知如果每4 人是同一个月出生的, 还剩下 1 人。把剩下的1 人再定为其中任意一个月出生 的, 则六 ( 2) 班中至少有5 人是同一个月出生的。 2. 至少取 5 个球 ,可以保证取到两个颜色相同的球。 第 71 页“练习十三
27、” 1. 若每个属相都有一位老师, 这样只有 12 位老师 , 所以第 13 位老师的属相无论是什么, 他们中至少有2 个人的属相是相同的。 2. 若每一镖都低于9 环, 5 镖的成绩最高是40 环, 因此至少有一镖不低于9 环。 3. 若每一种颜色涂得都少于3个面 ,两种颜色涂得面的总数就少于6个面 , 因此至少有3 个面涂着的颜色相同。 4. 每次至少拿出4 根才能保证一定有2 根同色的筷子 ; 如果要保证有2 双筷子至少要拿 出 6 根。 5. 任意给出的3 个不同的自然数, 有 4 种可能 : 奇数、奇数和偶数; 奇数、偶数和偶数; 奇数、奇数和奇数; 偶数、偶数和偶数。而“奇数+奇数 =偶数” , “偶数 +偶数 =偶数” ,所以 无论是哪种可能的情况下, 都会出现这两种结果当中的一种, 即任意给出3 个不同的自然数, 其中一定有2 个数的和是偶数。 6. 如果只涂两行的话, 至少有三列的涂法是相同的。