空间向量和立体几何练习题及答案.pdf

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1、1如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD 平面 ABCD ， 点 M 在线段 PB上，PD 平面 MAC，PA=PD= ，AB=4 （1）求证： M 为 PB的中点； （2）求二面角 BPDA 的大小； （3）求直线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值 【分析】 （1）设 AC BD=O ，则 O 为 BD的中点，连接 OM，利用线面平行的性 质证明 OMPD，再由平行线截线段成比例可得M 为 PB的中点； （2）取 AD中点 G，可得 PG AD，再由面面垂直的性质可得PG 平面 ABCD ， 则 PG AD，连接 OG ，则 PGOG ，再证明 OGAD以 G为坐

2、标原点，分别以 GD、GO、GP所在直线为 x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面 PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角BPDA 的大小； （3）求出的坐标，由与平面 PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直 线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：如图，设AC BD=O ， ABCD为正方形， O为 BD的中点，连接 OM， PD 平面 MAC，PD? 平面 PBD ，平面 PBD 平面 AMC=OM， PD OM，则，即 M 为 PB的中点； （2）解：取 AD中点 G， PA=PD ，PG AD， 平面 PAD 平面 ABCD ，且平

3、面 PAD 平面 ABCD=AD ， PG 平面 ABCD ，则 PGAD，连接 OG，则 PG OG， 由 G是 AD的中点， O是 AC的中点，可得 OG DC ，则 OGAD 以 G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为 x、y、z轴距离空间直角坐标 系， 由 PA=PD=，AB=4，得 D（2，0，0） ，A（2，0，0） ，P（0，0，） ，C（2， 4，0） ，B（2，4，0） ，M（1，2，） ， ， 设平面 PBD的一个法向量为， 则由，得，取 z=，得 取平面 PAD的一个法向量为 cos = 二面角 BPD A 的大小为 60 ； （3）解：，平面 BDP的一个法向量

4、为 直 线MC与 平 面BDP所 成 角 的 正 弦 值 为 | cos | =| =| = 【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中 档题 2如图，在三棱锥 PABC中，PA 底面 ABC ，BAC=90 点 D，E ，N 分别为 棱 PA ，PC ，BC的中点， M 是线段 AD的中点， PA=AC=4 ，AB=2 （）求证： MN平面 BDE ； （）求二面角 CEMN 的正弦值； （）已知点 H 在棱 PA上，且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，求线 段 AH的长 【分析】 （）取 AB中点 F，连接 MF、NF，由已知可证 MF平面 BDE ，N

5、F平 面 BDE 得到平面 MFN平面 BDE ，则 MN平面 BDE ； （）由 PA 底面 ABC ，BAC=90 可以 A为原点，分别以AB、AC、AP所在 直线为 x、y、z轴建立空间直角坐标系求出平面MEN与平面 CME的一个法向 量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN 的余弦值， 进一步求得正弦 值； （）设 AH=t，则 H（0，0，t） ，求出的坐标，结合直线NH 与直线 BE 所成角的余弦值为列式求得线段 AH的长 【解答】 （）证明：取 AB中点 F，连接 MF、NF， M 为 AD中点， MFBD ， BD ? 平面 BDE ，MF?平面 BDE ，MF平面 BDE

6、 N 为 BC中点， NFAC， 又 D、E分别为 AP、PC的中点， DEAC ，则 NFDE DE ? 平面 BDE ，NF?平面 BDE ，NF平面 BDE 又 MFNF=F 平面 MFN平面 BDE ，则 MN平面 BDE ； （）解： PA 底面 ABC ，BAC=90 以 A 为原点，分别以 AB、AC 、AP所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 PA=AC=4 ，AB=2 ， A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C （0，4，0） ，M（0，0，1） ，N（1，2，0） ，E （0，2，2） ， 则， 设平面 MEN 的一个法向量为， 由，得，取 z=2，得 由图可得

7、平面 CME的一个法向量为 cos = 二面角 CEMN 的余弦值为，则正弦值为； （）解：设 AH=t，则 H（0，0，t） ， 直线 NH与直线 BE所成角的余弦值为， | cos| =| =| = 解得： t=或 t= 当 H 与 P重合时直线 NH与直线 BE所成角的余弦值为，此时线段 AH的长 为或 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考 查计算能力，是中档题 3如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB边所在 直线为旋转轴旋转120 得到的， G是的中点 （）设 P是上的一点，且 APBE ，求 CBP的大小； （）当 AB=

8、3，AD=2时，求二面角 EAGC的大小 【分析】 （）由已知利用线面垂直的判定可得BE 平面 ABP ，得到 BE BP ，结 合EBC=120 求得 CBP=30 ； （）法一、取的中点 H，连接 EH，GH，CH，可得四边形 BEGH为菱形，取 AG中点 M，连接 EM，CM，EC ，得到 EMAG，CMAG，说明EMC为所求二 面角的平面角求解三角形得二面角EAGC的大小 法二、以 B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA所在直线为 x，y，z轴建立空间直 角坐标系求出A，E，G，C 的坐标，进一步求出平面AEG与平面 ACG的一个 法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角EAGC

9、的大小 【解答】 解： （） AP BE，ABBE ，且 AB，AP? 平面 ABP ，ABAP=A ， BE 平面 ABP ，又 BP? 平面 ABP ， BE BP，又 EBC=120 ， 因此 CBP=30 ； （）解法一、 取的中点 H，连接 EH，GH，CH ， EBC=120 ，四边形 BECH 为菱形， AE=GE=AC=GC= 取 AG中点 M，连接 EM，CM，EC ， 则 EMAG，CMAG， EMC为所求二面角的平面角 又 AM=1，EM=CM= 在BEC中，由于 EBC=120 ， 由余弦定理得： EC 2=22+22222cos120 =12， ，因此 EMC为等边三

10、角形， 故所求的角为 60 解法二、以 B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA所在直线为 x，y，z 轴建立空间 直角坐标系 由题意得： A（0，0，3） ，E（2，0，0） ，G（1，3） ，C （1，0） ， 故， 设为平面 AEG的一个法向量， 由，得，取 z1=2，得； 设为平面 ACG的一个法向量， 由，可得，取 z2=2，得 cos = 二面角 EAG C的大小为 60 【点评】本题考查空间角的求法， 考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角 的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题 4如图，在以 A，B，C，D，E ，F为顶点的五面体中， 面 ABEF为正方形，AF=2F

11、D ， AFD=90 ，且二面角 DAFE与二面角 CBEF都是 60 （）证明平面 ABEF 平面 EFDC ； （）求二面角 EBC A 的余弦值 【分析】 （）证明AF平面 EFDC ，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 ABEF 平面 EFDC ； （）证明四边形EFDC为等腰梯形，以 E为原点，建立如图所示的坐标系，求 出平面 BEC 、平面 ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角EBCA的余 弦值 【解答】 （）证明： ABEF为正方形， AFEF AFD=90 ，AF DF， DF EF=F ， AF 平面 EFDC ， AF ? 平面 ABEF ， 平面 ABEF 平面

12、EFDC ； （）解：由 AFDF，AFEF ， 可得 DFE为二面角 DAFE的平面角； 由 ABEF为正方形， AF平面 EFDC ， BE EF ， BE 平面 EFDC 即有 CE BE ， 可得 CEF为二面角 CBE F的平面角 可得 DFE= CEF=60 ABEF ，AB?平面 EFDC ，EF ? 平面 EFDC ， AB平面 EFDC ， 平面 EFDC 平面 ABCD=CD ，AB? 平面 ABCD ， ABCD ， CD EF ， 四边形 EFDC 为等腰梯形 以 E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a ， 则 E（0，0，0） ，B（0，2a，0） ，C（，0，a

13、） ，A（2a，2a，0） ， =（0，2a，0） ，=（，2a，a） ，=（2a，0，0） 设平面 BEC的法向量为=（x1，y1，z1） ，则， 则，取=（，0，1） 设平面 ABC的法向量为=（x2，y2，z2） ，则， 则，取=（0，4） 设二面角 EBC A 的大小为 ，则 cos= =， 则二面角 EBC A 的余弦值为 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建 立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键 5如图，菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O，AB=5，AC=6 ，点 E，F 分 别在 AD，CD上，AE=CF= ，EF交

14、于 BD于点 H，将DEF沿 EF折到 D EF 的位 置，OD = （）证明： D H 平面 ABCD ； （）求二面角 BD A C的正弦值 【分析】 （）由底面 ABCD为菱形，可得 AD=CD ，结合 AE=CF可得 EF AC ，再 由 ABCD是菱形，得 ACBD，进一步得到 EF BD，由 EF DH，可得 EF D H ， 然后求解直角三角形得D H OH，再由线面垂直的判定得D H 平面 ABCD ； （）以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的 坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD 与平面 AD C的一个法向 量，设二面角二面角 BD AC的平面角

15、为 ，求出| cos | 则二面角 B D A C的正弦值可求 【解答】 （）证明： ABCD是菱形， AD=DC ，又 AE=CF= ， ，则 EF AC ， 又由 ABCD是菱形，得 ACBD，则 EF BD， EF DH，则 EF D H ， AC=6 ， AO=3， 又 AB=5，AOOB， OB=4 ， OH=1，则 DH=D H=3 ， | OD | 2=| OH|2+| D H |2，则 D H OH， 又 OHEF=H ， D H 平面 ABCD ； （）解：以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， AB=5 ，AC=6 ， B（5，0，0） ，C（1，3，0） ，D

16、（0，0，3） ，A（1，3，0） ， ， 设平面 ABD 的一个法向量为， 由，得，取 x=3，得 y=4，z=5 同理可求得平面 AD C的一个法向量， 设二面角二面角 BD A C的平面角为 ， 则| cos | = 二面角 BD A C的正弦值为 sin = 【点评】本题考查线面垂直的判定， 考查了二面角的平面角的求法，训练了利用 平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题 6在三棱柱 ABC A1B1C1中，CA=CB ，侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，点 E， F分别在线段 AA1、A1B1上，且 AE= ，A1F= ，CE EF （）证明：平面ABB1

17、A1平面 ABC ； （）若 CA CB ，求直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值 【分析】 （I）取 AB的中点 D，连结 CD，DF，DE 计算 DE，EF ，DF，利用勾股 定理的逆定理得出DEEF ，由三线合一得CD AB，故而 CD平面 ABB1A1，从 而平面 ABB 1A1平面 ABC ； （II）以 C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面 CEF的法向量，则直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值等于 | cos| 【解答】 证明： （I）取 AB的中点 D，连结 CD，DF，DE AC=BC ，D 是 AB的中点， CD AB 侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，

18、AE= ，A1F= A1E= ，EF=，DE=， DF=， EF 2+DE2=DF2，DE EF ， 又 CE EF ，CE DE=E ，CE ? 平面 CDE ，DE ? 平面 CDE ， EF 平面 CDE ，又 CD? 平面 CDE ， CD EF ， 又 CD AB，AB? 平面 ABB1A1，EF ? 平面 ABB1A1，AB，EF为相交直线， CD 平面 ABB1A1，又 CD? ABC ， 平面 ABB 1A1平面 ABC （II）平面 ABB1A1平面 ABC ， 三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱， CC 1平面 ABC CA CB ，AB=2，AC=BC= 以 C为原点

19、，以 CA ，CB ，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 A（，0，0） ，C （0，0，0） ，C1（0，0，2） ，E （，0， ） ，F （， 2） =（，0，2） ，=（，0，） ，=（，2） 设平面 CEF的法向量为=（x，y，z） ，则， ，令 z=4，得=（，9，4） =10，| =6，| = sin= 直线 AC 1与平面 CEF所成角的正弦值为 【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中 档题 7 如图， 在四棱锥中 PABCD ， PA平面 ABCD ， ADBC ， ADCD ， 且 AD=CD=2， BC=4，PA=2 （1）求

20、证： ABPC ； （2）在线段 PD上，是否存在一点 M，使得二面角 MAC D的大小为 45 ，如 果存在，求 BM 与平面 MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用直角梯形的性质求出AB，AC的长，根据勾股定理的逆定理得 出 ABAC ，由 PA 平面 ABCD得出 ABPA ，故 AB平面 PAC ，于是 ABPC ； （2）假设存在点 M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M 到平面 ABCD 的距离从而确定 M 的位置，利用棱锥的体积求出B 到平面 MAC的距离 h，根据 勾股定理计算 BM，则即为所求角的正弦值 【解答】 解： （1）证明：四边形 AB

21、CD是直角梯形， AD=CD=2，BC=4， AC=4 ，AB=4， ABC是等腰直角三角形，即ABAC ， PA 平面 ABCD ，AB? 平面 ABCD ， PA AB， AB平面 PAC ，又 PC ? 平面 PAC ， ABPC （2）假设存在符合条件的点M，过点 M 作 MNAD于 N，则 MNPA， MN平面 ABCD ，MNAC 过点 M 作 MGAC于 G，连接 NG，则 AC 平面 MNG， AC NG，即 MGN 是二面角 MACD 的平面角 若MGN=45，则 NG=MN，又 AN=NG=MN， MN=1，即 M 是线段 PD的中点 存在点 M 使得二面角 MAC D的大

22、小为 45 在三棱锥 MABC中，VMABC=SABC?MN=， 设点 B到平面 MAC的距离是 h，则 VBMAC=， MG=MN=，SMAC=2， =，解得 h=2 在ABN中，AB=4，AN=，BAN=135 ，BN=， BM=3， BM 与平面 MAC所成角的正弦值为= 【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算， 属于中 档题 8如图，在各棱长均为2 的三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 A1ACC1底面 ABC ， A1AC=60 （1）求侧棱 AA1与平面 AB1C所成角的正弦值的大小； （2）已知点 D 满足=+，在直线 AA1上是否存在点 P，使 DP平

23、面 AB1C？ 若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）推导出 A1O平面 ABC ，BOAC，以 O 为坐标原点，建立如图所 示的空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出侧棱AA1与平面 AB1C所成角的 正弦值 （2）假设存在点P 符合题意，则点P 的坐标可设为P（0，y，z） ，则 利用向量法能求出存在点P，使 DP平面 AB1C，其坐标为（0， 0，） ，即恰好为 A1点 【解答】 解： （1）侧面 A1ACC 1底面 ABC ，作 A1OAC于点 O， A1O平面 ABC 又ABC= A1AC=60 ，且各棱长都相等， AO=1，OA1=OB=，BOAC （2

24、 分） 故以 O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则 A（0，1，0） ，B（，0，0） ，A1（0，0，） ，C （0，1，0） ， =（0，1，） ，=（） ，=（0，2，0） （4 分） 设平面 AB1C的法向量为， 则，取 x=1，得 =（1，0，1） 设侧棱 AA1与平面 AB1C所成角的为 ， 则 sin = | cos， | =| =， 侧棱 AA1与平面 AB1C所成角的正弦值为 （6 分） （2）=，而， =（2，0，0） ，又 B（） ，点 D（，0，0） 假设存在点 P符合题意， 则点 P的坐标可设为 P （0，y，z） ， DP 平面 AB1C， =（

25、1，0，1）为平面 AB1C的法向量， 由=，得，y=0 （10 分） 又 DP?平面 AB1C，故存在点 P，使 DP平面 AB1C，其坐标为（ 0，0，） ， 即恰好为 A1点 （12 分） 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与 求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 9在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 ABB1A1为矩形， AB=2，AA1=2，D 是 AA1 的中点， BD与 AB1交于点 O，且 CO 平面 ABB1A1 （）证明：平面AB1C平面 BCD ； （）若 OC=OA ，AB1C的重心为 G，求直线 GD与平面 AB

26、C所成角的正弦值 【分析】 （）通过证明 AB1BD，AB1CO ，推出 AB1平面 BCD ，然后证明平 面 AB1C平面 BCD （）以 O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为 x，y，z 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系Oxyz求出平面 ABC的法向量，设直线GD 与平面 ABC所成角 ，利用空间向量的数量积求解直线GD与平面 ABC所成角的正弦值 即可 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （） ABB1A1为矩形， AB=2 ，D是 AA1的中点， BAD=90 ， ， 从而， ABD= AB1B， （2 分） ，从而 AB1BD （4 分） CO 平面 ABB1A1

27、，AB1? 平面 ABB1A1，AB1CO ，BDCO=O ，AB1平 面 BCD ， AB1? 平面 AB1C ， 平面 AB1C平面 BCD （6 分） （）如图，以 O为坐标原点， 分别以 OD，OB1，OC所在直线为 x，y，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 在矩形 ABB1A1中，由于 ADBB1，所以 AOD和B1OB相似， 从而 又， ， ，G 为 AB1C 的重心， ， （8 分） 设平面ABC的法向量为， ， 由可得， 令 y=1，则 z=1，所以 （10 分） 设直线GD与平面ABC所成角，则 = ， 所以直线 GD与平面 ABC所成角的正弦值为 （12 分）

28、 【点评】 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法， 考查空间想象能力以及计算能力 10在矩形 ABCD中，AB=4，AD=2，将 ABD沿 BD折起，使得点 A 折起 至 A ，设二面角 A BDC的大小为 （1）当 =90时，求 AC 的长； （2）当 cos= 时，求 BC与平面 ABD 所成角的正弦值 【分析】 （1）过 A 作 BD的垂线交 BD于 E，交 DC于 F，连接 CE ，利用勾股定理 及余弦定理计算 AE ，CE ，由 AE CE得出 AC ； （2）利用余弦定理可得AF=，从而得出 AF 平面 ABCD ，以 F 为原点建立 坐标系，求出和平面

29、ABD 的法向量，则 BC与平面 ABD 所成角的正弦值为 | cos| 【解答】解： （1）在图 1 中，过 A 作 BD的垂线交 BD于 E，交 DC于 F，连接 CE AB=4，AD=2，BD=10 ，BE=8，cosCBE= 在BCE中，由余弦定理得CE=2 =90，AE 平面 ABCD ，AE CE | AC | =2 （2）DE=2 tanFDE=，EF=1 ，DF= 当即 cosAEF=时， AE 2=AF2+EF2， AFE=90 又 BDAE ，BDEF ，BD平面 AEF ，BDAF AF平面 ABCD 以 F 为原点，以 FC为 x 轴，以过 F的 AD 的平行线为 y

30、轴，以 FA 为 z轴建立空 间直角坐标系如图所示： A （0，0，） ，D（，0，0） ，B（3，2，0） ，C（3，0，0） =（0，2，0） ，=（4，2，0） ，=（，0，） 设平面 ABD 的法向量为=（x，y，z） ，则， ，令 z=1得 =（，2，1） cos = BC与平面 ABD所成角的正弦值为 【点评】 本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题 11如图，由直三棱柱ABC A1B1C1和四棱锥DBB1C1C 构成的几何体中， BAC=90 ，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面 CC1D平面 ACC1A1 （）求证： AC DC1； （）若

31、M 为 DC1的中点，求证： AM平面 DBB1； （）在线段 BC上是否存在点 P，使直线 DP与平面 BB1D 所成的角为？若存 在，求的值，若不存在，说明理由 【分析】 （）证明 AC CC 1，得到 AC 平面 CC1D，即可证明 AC DC1 （）易得 BAC=90 ，建立空间直角坐标系Axyz， 依据已知条件可得A（0，0，0） ，B（0，0，1） ， B1（2，0，1） ， 利用向量求得 AM 与平面 DBB 1所成角为 0，即 AM平面 DBB1 （）利用向量求解 【解答】 解： （）证明：在直三棱柱ABC A1B1C1中，CC 1平面 ABC ，故 AC CC 1， 由平面

32、CC 1D平面 ACC1A1，且平面 CC1D平面 ACC1A1=CC1， 所以 AC平面 CC 1D， 又 C1D? 平面 CC1D，所以 AC DC1 （）证明：在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1平面 ABC ， 所以 AA1AB，AA1AC ， 又BAC=90 ，所以，如图建立空间直角坐标系Axyz， 依据已知条件可得A（0，0，0） ，B（0，0，1） ， B1（2，0，1） ， 所以， 设平面 DBB1的法向量为， 由即 令 y=1，则，x=0，于是， 因为 M 为 DC1中点，所以，所以， 由，可得， 所以 AM 与平面 DBB1所成角为 0， 即 AM平面 DBB1 （）解

33、：由（）可知平面BB1D的法向量为 设， 0，1 ， 则， 若直线DP与平面DBB1成角为，则 ， 解得， 故不存在这样的点 【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角属于中 档题 12如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD为正方形，平面 AED平面 ABCD ， AB=EA=ED ，EF BD （ I）证明： AE CD （ II）在棱 ED上是否存在点 M，使得直线 AM 与平面 EFBD所成角的正弦值为 ？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由 【分析】 （I）利用面面垂直的性质得出CD 平面 AED ，故而 AE CD ； （II）取 AD的中点

34、O，连接 EO，以 O为原点建立坐标系，设，求出平面 BDEF的法向量，令| cos| =，根据方程的解得出结论 【解答】 （I）证明：四边形ABCD是正方形， CD AD， 又平面 AED 平面 ABCD ，平面 AED 平面 ABCD=AD ，CD ? 平面 ABCD ， CD 平面 AED ，AE? 平面 AED ， AE CD （II）解：取 AD的中点 O，过 O作 ONAB交 BC于 N，连接 EO ， EA=ED ，OE AD，又平面 AED 平面 ABCD ，平面 AED 平面 ABCD=AD ，OE ? 平面 AED ， OE 平面 ABCD ， 以 O为原点建立空间直角坐标

35、系Oxyz，如图所示： 设正方形 ACD的边长为 2， 则 A（1，0，0） ，B（1，2，0） ，D（1，0，0） ，E（0，0，1） ，M（ ，0，1 ） =（ 1，0，1 ） ，=（1，0，1） ，=（2，2，0） ， 设平面 BDEF的法向量为=（x，y，z） ， 则，即，令 x=1得=（1，1，1） ， cos =， 令| =，解得 =0 ， 当 M 与点 E重合时，直线 AM 与平面 EFBD所成角的正弦值为 【点评】 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题 13如图，在四棱锥 PABCD中，ABC= ACD=90 ，BAC= CAD=60 ，PA 平面 AB

36、CD ，PA=2 ，AB=1 （1）设点 E为 PD的中点，求证： CE 平面 PAB ； （2）线段 PD上是否存在一点 N，使得直线 CN与平面 PAC所成的角 的正弦值 为？若存在，试确定点N 的位置，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）取 AD 中点 M，利用三角形的中位线证明EM平面 PAB ，利用同 位角相等证明 MCAB，得到平面 EMC 平面 PAB ，证得 EC 平面 PAB ； （2）建立坐标系， 求出平面 PAC的法向量， 利用直线 CN与平面 PAC所成的角 的正弦值为，可得结论 【解答】 （1）证明：取 AD中点 M，连 EM，CM，则 EMPA EM?平面 PAB

37、 ，PA? 平面 PAB ， EM平面 PAB 在 RtACD中， CAD=60 ，AC=AM=2 ， ACM=60 而BAC=60 ，MCAB MC?平面 PAB ，AB? 平面 PAB ，MC平面 PAB EMMC=M，平面 EMC 平面 PAB EC ? 平面 EMC，EC 平面 PAB （2）解：过 A 作 AFAD，交 BC于 F，建立如图所示的坐标系， 则 A（0，0，0） ， B（，0） ，C（，1，0） ，D（0，4，0） ，P（0，0，2） ， 设平面 PAC的法向量为=（x，y，z） ，则，取 =（，3，0） ， 设= （0 1） ，则=（0，4 ，2 ） ，=（ 1，22

38、 ） ， | cos ，| =， N 为 PD的中点，使得直线CN与平面 PAC所成的角 的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学 生分析解决问题的能力，属于中档题 14如图，四棱锥 PABCD的底面 ABCD为平行四边形，平面PAB 平面 ABCD ， PB=PC ，ABC=45 ，点 E是线段 PA上靠近点 A 的三等分点 （）求证： ABPC ； （）若 PAB是边长为 2 的等边三角形，求直线DE与平面 PBC所成角的正弦 值 【分析】 （）作 POAB于 O，连接 OC ，可得 PO 面 ABCD 由POB POC ， ABC=45 ，得 O

39、C AB，即得 AB面 POC ，可证得 ABPC （）以O 为原点建立空间坐标系， ，利用向量求解 【解答】 解： （）作 POAB于 O ，连接 OC ， 平面 PAB 平面 ABCD ，且面 PAB 面 ABCD=AB ，PO 面 ABCD （2 分） PB=PC ， POB POC ，OB=OC ， 又 ABC=45 ，OC AB 又 PO CO=O ，由，得 AB面 POC ，又 PC ? 面 POC ，ABPC （6 分） （） PAB是边长为 2 的等边三角形， 如图建立空间坐标系， 设面 PBC的法向量为， ， 由， 令， 得 ； ， ， 设 DE与面 PBC所成角为 ， 直线

40、 DE与平面 PBC所成角的正弦值 （12分） 【点评】 本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题 15在三棱柱 ABC A1B1C1中，CA=CB ，侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，点 E， F分别在线段 AAl，A1B1上，且 AE= ，A1F= ，CE EF ，M 为 AB中点 （ I）证明： EF 平面 CME； （）若 CA CB ，求直线 AC 1与平面 CEF所成角的正弦值 【分析】 （）推导出 RtEAMRtFA1E，从而 EF ME，又 EF CE ，由此能证 明 EF 平面 CEM （）设线段 A1B1中点为 N，连结 MN，推导出 MC，MA，M

41、N 两两垂直，建空 间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面 CEF所成角的正弦值 【解答】 证明： （）在正方形 ABB 1A1中，A1E= ，AM=1， 在 RtEAM和 RtFA1E中， 又EAM=FA1E=，RtEAMRtFA1E， AEM=A1FE ，EF EM， 又 EF CE ，MECE=E ，EF 平面 CEM 解： （）在等腰三角形 CAB中， CA CB ，AB=2，CA=CB=，且 CM=1， 设线段 A1B1中点为 N，连结 MN，由（）可证CM平面 ABB1A1， MC，MA，MN 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C（1，0，0） ，E（0，1，） ，F（0，2） ，A（0，1，0） ，C1（1，0，2） ， =（1，1，） ，=（0，） ，=（1，1，2） ， 设平面 CEF的法向量为=（x，y，z） ， 则，取 z=2，得 =（5，4，2） ， 设直线 AC 1与平面 CEF所成角为 ， 则 sin =， 直线 AC1与平面 CEF所成角的正弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值求法，是中档题，解题 时要认真审题，注意空间思维能力的培养