2020年高中模拟复习知识点试卷试题之高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全).pdf

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1、1 专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1 【四川省成都市第七中学2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点1,0与抛物 线 2 :2Cypx（0,pp为常数）交于不同的两点,M N，当 1 2 k时，弦MN的长为4 15. （1）求抛物线C的标准方程； （2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点1, 1B，判断直线NQ是否过定 点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由 . 【答案】（1） 2 4yx; （2）直线NQ过定点1, 4 【解析】试题分析： （1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（ 1）可设 222 1122

2、,2,2,2MttN ttQ tt，则 1 2 MN k tt ， 则 11 : 220MNxttytt； 同理： 22:220MQxttytt 121 2 :220NQxttyt t. 由1,0在直线MN上 1 1 t t （1） ； 由1, 1在直线MQ上 22 220tttt将（ 1）代入 1 212 21t ttt（2） 将（ 2）代入NQ方程 1212 2420xttytt，即可得出直线NQ过定点 （2）设 222 1122 ,2,2,2MttN ttQ tt，则 1 22 11 222 = MN tt k tttt ， 则 2 1 2 :2MNytxt tt 即 11 220xtt

3、ytt； 同理： 22 :220MQxttytt； 121 2 :220NQxttyt t. 由1,0在直线MN上 1 1tt，即 1 1 t t （1） ； 由1, 1在直线MQ上 22 220tttt将（ 1）代入 1 212 21t ttt（2） 将（ 2）代入NQ方程 1212 2420xttytt，易得直线NQ过定点1, 4 2 2 【陕西省榆林市第二中学2018 届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为 ，离心率为；圆过椭圆的三个顶点 . 过点且斜率不为0 的直线与椭圆交于 两点 . （）求椭圆的标准方程； （）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1

4、）（2） 【解析】试题分析： （）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心 率求得，可得椭圆的方程； （）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得 两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为，可得 ，由定值可得需满足，解得可得定 点坐标。 解得。 椭圆的标准方程为. （）证明： 由题意设直线的方程为， 由消去y整理得， 设， 3 要使其为定值，需满足， 解得. 故定点的坐标为. 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (1) 假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无 关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2) 从

5、特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意 3 【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线 2 :0C ymx m过点 1, 2，P是C上一点，斜率为1的直线l交C于不同两点,A B（l不过P点），且PAB 的重心的纵坐标为 2 3 . （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标； （2）记直线,PA PB的斜率分别为 12 ,k k，求 12 kk的值 . 【答案】（1）方程为 2 4yx; 其焦点坐标为1,0（2） 12 0kk 【解析】试题分析; （1）将1, 2代入 2 ymx，得4m，可得抛物线C的方程及其焦点坐标； （2）设直线l的方程为yxb，将它代入

6、2 4yx得 22 220xbxb（），利用韦达定 理，结合斜率公式以及PAB的重心的纵坐标 2 3 ，化简可 12 kk的值； 4 因为PAB的重心的纵坐标为 2 3 ， 所以 122pyyy，所以2py，所以1px， 所以 1221 12 12 1212 2121 22 1111 yxyx yy kk xxxx ， 又 1221 2121yxyx 1221 2121xbxxbx 1212 2122x xbxxb 2 2212220bbbb. 所以 12 0kk. 4已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴端点到右焦点1 0F，的距离为2 （）求椭圆C的方程； （）过点F

7、的直线交椭圆C于A B，两点，交直线4l x：于点P，若 1 PAAF， 2 PBBF，求证： 12为定值 【答案】 (1) 22 1 43 xy ;(2) 详见解析 . 【解析】试题分析： （）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得 到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. （）由题意直线AB过点1,0F，且斜率存在，设方程为1yk x, 将4x代人得P点坐标为4,3k， 由 22 1 1 43 yk x xy ，消元得 2222 3484120kxk xk， 5 设 11 ,A xy， 22 ,B xy，则0且 2 122 2

8、12 2 8 34 412 34 k xx k k xx k ， 方法一：因为 1 PAAF，所以 1 1 1 4 1 PA x AFx . 同理 2 2 2 4 1 PBx BFx ，且 1 1 4 1 x x 与 2 2 4 1 x x 异号， 所以 12 12 1212 4433 2 1111 xx xxxx 12 1212 32 2 1 xx x xxx 22 222 3 868 2 412834 kk kkk 0. 所以， 12为定值 0. 当 12 1xx时，同理可得 12 0. 所以， 12为定值 0. 6 同理 2 2 2 3 PB my BFmy ，且 1 1 3my my

9、与 2 2 3my my 异号， 所以 12 12 12 1212 333 2 yymymy mymymy y 36 20 9 m m . 又当直线AB与x轴重合时， 12 0， 所以， 12为定值0. 【点睛】 本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于 x或 y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB过点1,0F，在设方程 时，往往设为1xmy0m，可减少讨论该直线是否存在斜率. 5 【四川省绵阳南山中学2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线C： 2 4yx，F为C的焦 点，过F的直线l与C相交于,A B两点 . （1）设l的斜率

10、为1 ，求AB； （2）求证：OA OB uu u v u uu v 是一个定值 . 【答案】 (1) 8AB（2）见解析 【解析】试题分析： （1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、 弦长公式即可得出； （ 2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即 可得出； 7 （2）证明：设直线l的方程为1xky， 由 2 1 4 xky yx 得 2 440yky 12 4yyk， 12 4y y 1122 ,OAx yOBxy uu u vu uu v ， 12121212 11OA OBx xy ykxkyy y uuu v uu u v

11、 ， 2 121212 22 1 44143 k y yk yyy y kk ， OA OB uuu v uu u v 是一个定值 . 点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公 式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力, 直线方程设成1xky也给解题带来了方便. 6 【内蒙古包头市第三十三中2016-2017 学年高一下学期期末】已知椭圆C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的 离心率为 6 3 , 右焦点为 (2,0).(1)求椭圆C的方程 ; (2) 若过原点作两条互相垂直的射线, 与椭圆 交于A,B两点 , 求证 : 点O

12、到直线AB的距离为定值 . 【答案】 (1) 2 2 1 3 x y ,(2) O到直线AB的距离为定值 3 2 . 【解析】试题分析： （1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c； （2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公 式计算； 8 有OAOB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k 2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入 , 得 4 m 2=3 k2+3 原点到直线 AB 的距离 2 3 2 1 m d k ， 当AB的斜率不存在时, 11 xy , 可得 , 1 3 2 xd依然成立 .所以 点O

13、到直线的距离为定值 3 2 . 点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目 要掌握解题方法设而不求，套用公式解决 7 【四川省成都市石室中学2017-2018 学年高二10 月月考】已知双曲线 22 22 10 xy ba ab 渐近线方 程为3yx，O为坐标原点，点 3,3M在双曲线上 （）求双曲线的方程； （）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求 22 11 OPOQ 的值 【答案】（） 22 1 26 xy ； （） 22 111 3 OPOQ . 【解析】试题分析： （1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐

14、标求得参数即可； （2）由条件可得OPOQ，可设出直线,OP OQ的方程，代入双曲线方程求得点,P Q的坐标可 求得 22 111 3 OPOQ 。 9 （）由题意知OPOQ。 设OP直线方程为ykx， 由 22 1 26 xy ykx ，解得 2 2 2 2 2 6 3 6 3 x k k y k ， 2 2 222 222 6 1 66 | 333 k k OPxy kkk 。 由OQ直线方程为 1 yx k . 以 1 k 代替上式中的k，可得 2 2 2 2 2 1 6 1 61 | 31 1 3 kk OQ k k 。 2 22 22222 21 113311 += 3 6 16 1

15、6 1 k kk kkkOPOQ 。 8 【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018 届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 22 22 1(0) xy ab ab 经过点P(2,1) ，且离心率为 3 2 （）求椭圆的标准方程； （）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足OMNO uuuu vu uu v ，直线PM、PN分别交椭 圆于A ，B探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点， 请说明理由 【答案】（1） 22 1 82 xy ； （2）直线AB过定点Q（0 ， 2）. 【解析】试题分析： （1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情

16、况得到结果，再考虑一 般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结 10 果。 x1+x2= 2 8 41 kt k ，x1x2= 2 2 48 41 t k ， 又直线PA的方程为y1= 1 1 1 2 y x （x2），即y1= 1 1 1 2 kxt x （x2）， 因此M点坐标为（ 0 ， 1 1 122 2 k xt x ），同理可知：N（0 ， 2 2 122 2 k xt x ）， 当且仅当t= 2 时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0 ， 2）. 9 【广西桂林市第十八中学2018 届高三上学期第三次月考】已知椭圆 22 22 :10 xy

17、 Cab ab 的左， 右焦点分别为 12 ,FF. 过原点O的直线l与椭圆交于,MN两点，点P是椭圆C上的点，若 1 4 PMPN kk， 11 0F N F M u uu u v uuu u v ，且 1 F MN的周长为42 3. （1）求椭圆C的方程； （2） 设椭圆在点 P处的切线记为直线l ， 点 12 ,FFO在l上的射影分别为,A B D， 过P作l的 垂线交 x轴于点Q ，试问 12 F AF B ODPQ 是否为定值？若是，求出该定值； 若不是，请说明理由 . 【答案】 (1) 2 2 1 4 x y;(2)1. 【解析】 试题分析 ; （1）设,M m n，则,Nmn，

18、22 22 1 mn ab ，设 00 ,P xy， , APBP ynyn kk xmxm ， 以 及 1 4 AMBM kk， 22 4 1ab， 由 11 110F N F M uuu u v uuuu v , 由椭圆的定义可得2242 3 2ac，结合 222 3abc， 综合123可得： 22 4,1ab，可得椭圆C的方程； （2）由（ 1）知 12 3,0 ,3,0FF，直线l的方程为： 0 0 1 4 x x y y，由此可得 12 1F AF B. ，又PQl，PQ的方程为 0 00 0 4y yyxx x ，可得 0 3 ,0 4 x Q 则 可 得 22 00 16 4 x

19、y PQ， 又 22 00 4 1 16 OD xy ， 1PQOD. ， 故 12 1 F AF B ODPQ . 当直线l平行于x轴时，易知 12 1F APQODF B，结论显然成立. 综上，可知 12 F AF B ODPQ 为定值 1. 有 12 F NF M，则 1112 22242 3 2F NF MMNF NF Mcac 222 3abc，综合123可得： 22 4,1ab 椭圆C的方程为： 2 2 1 4 x y. （2）由（ 1）知 12 3,0 ,3,0FF，直线l的方程为： 0 0 1 4 x x y y 即： 00 440x xy y，所以 00 1 2222 000

20、0 3434 1616 xx F A xyxy 00 2 2222 0000 3+434 1616 xx F B xyxy 2 00 0 122 2222 0 0000 3434 163 1 163 1616 xx x F AF B x xyxy . 12 PQl，PQ的方程为 0 00 0 4y yyxx x ，令0y，可得 0 3 4 x x， 0 3 ,0 4 x Q 则 222 2 002200 000 16 3 4164 xy xx PQxyy 又点O到直线 l 的距离为 22 00 4 1 16 OD xy ， 22 00 22 00 16 4 1 4 16 xy PQOD xy

21、. 12 1 F AF B ODPQ . 当直线l平行于x轴时，易知 12 1F APQODF B，结论显然成立. 综上， 12 1 F AF B ODPQ . 【点睛】 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系， 椭圆的标准方程， 直线与圆的位置关系， 是解析几何的综合应用，难度较大 10 【云南省玉溪第一中学2018 届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线 y 24x 相交于不同的A，B两点 ,O为坐标原点 (1) 如果直线l过抛物线的焦点且斜率为1 ，求AB的值； （2）如果4OA OB uuu v uu u v ，证明：直线l必过一定点，并求出该定点. 【答案】

22、（1）8； （ 2）证明见解析 【解析】试题分析： （）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方 程， 是直线的方程与抛物线方程联立， 得到关于y的一元二次方程， 根据根与系数的关系， 求出弦长； （）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的 关系表示出数量积，根据数量积等于4 ，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标 令b 24b 4 ，b 24b40 ，b2 ， 直线l过定点 (2,0) 若 4 ，则直线l必过一定点 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者 将该问题涉及的几何

23、式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类 似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必 定参数统消，定点、定值显现. 11 【 黑 龙 江 省 佳 木 斯 市 第 一 中 学2017-2018学 年 高 二 上 学 期 期 中 】 已 知 椭 圆 13 22 22 :10 xy Cab ab ，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为 21 ，最小距离为 21. （1）求椭圆的方程； （2）过点 1 0, 3 S 的动直线l交椭圆C于,A B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q， 使得以线段AB为直径的圆恒过点Q?若存在，求出点

24、Q的坐标：若不存在，请说明理由 . 【答案】 (1) 椭圆方程为 2 2 1 2 x y;(2) 以线段AB为直径的圆恒过点0,1Q. 当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为 22 1xy. 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为0,1Q. 下面证明0,1Q为所求： 若直线l的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l的斜率存在，设直线 1 : 3 lykx， 1122 ,A x yB xy， QAQB uuu vuuu v ，即以线段AB为直径的圆恒过点0,1Q. 点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常 见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转

25、化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化 的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。 12 【四川省成都市新津中学2018 届高三11 月月考】已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 14 2 2 ，且过点2,1 . （1）求椭圆C的方程； （2）设 P是椭圆C长轴上的一个动点 ，过点 P作斜率为 2 2 的直线1交椭圆C于,A B两点，求 证： 22 PAPB为定值 . 【答案】（1） 22 1 42 xy ； （2）证明见解析. 【解析】试题分析： （1）由椭圆的离心率 2 2 c e a ，求得 22 2ac，由 222 abc，

26、得 22 bc，将点2,1代入 22 22 1 2 xy bb ，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（ 2）设 ,022P mm，直线l的方程是 2 2 yxm与椭圆的方程联立，利用韦达， 根据两点间的距离公式将 22 PAPB用m表示，化简后消去m即可得结果 . 2 2222 22 12121122 4 , 2 m xxm x xPAPBxmyxmy 222222 112212 115 444 xmxmxmxmxmxm 2222 1212121212 55 222222 44 xxm xxmxxm xxx xm 2225 245 4 mmm （定值）， 22 PAPB为定值 . 【方法点睛】

27、本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题， 属于难题 . 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定 值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而 得到定值 . 13 【北京朝阳日坛中学2016-2017 学年高二上学期期中】已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的离心率为 2 3 ，半焦距为(0)c c，且1ac，经过椭圆的左焦点F，斜率为 11 0kk的直线 与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点 15 （I）求椭圆的标准方程 （II）设1,0R，延长AR，BR分别与椭圆交于C

28、，D两点，直线CD的斜率为 2 k，求证： 1 2 k k 为定值 【答案】（I） 22 1 95 xy ； （II）见解析 . 【解析】试题分析： （I）依题意 , 得 2 3 1 c a ac ,再由 222 bac求得 2 b, 从而可得椭圆的标准方程; （II）设 33 ,C xy， 44 ,D xy，可求得直线的方程为 1 1 1 1 y yx x , 与椭圆方程联立, 由韦达定理 可求得 2 1 13 1 4 5 y y y x , 进一步可求 11 11 594 , 55 xy C xx , 同理 22 22 594 , 55 xy D xx , 从而可得 2 k, 化简运算 即

29、可 . 试题解析： （I）由题意，得 2 3 1 c a ac 解得 3 2 a c ， 222 5bac， 故椭圆的方程为 22 1 95 xy 16 点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭 圆方程的方法一般就是根据条件建立, ,a b c的方程，求出 22 ,ab即可，注意 222 , c abce a 的 应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注 意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方 程，利用根与系数关系写出 1212 ,xxxx，再根据具体问题应用上式，其

30、中要注意判别式条 件的约束作用 14 【2017 2018 学年高中数学（苏教版）选修11 课时跟踪训练】已知平面内的动点P到定直线l：x 2 2的距离与点P到定点F(2，0) 之比为2. (1) 求动点P的轨迹C的方程； (2) 若点N为轨迹C上任意一点 ( 不在x轴上 ) ，过原点O作直线AB，交(1) 中轨迹C于点A、B， 且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1k2是否为定值？ 【答案】 (1) 22 1 42 xy (2) k 1k2 1 2 【解析】试题分析： （1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距 离的比，建立方程求得x和y的关系

31、式，即P的轨迹方程（2）设出N，A，则B的坐标 可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k1k2 1 2 证明原式 试题解析： (1) 设点P(x，y) ，依题意，有. 整理，得1. 所以动点P的轨 迹C的方程为 1. (2) 由题意，设N(x1，y1) ，A(x2，y2) ，则B( x2，y2) ， 1 ，1.k1k2，为定值 15【 河北省鸡泽县第一中学2017-2018 学年高二10 月月考】如图， 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 17 的左焦点为1,0F，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且3AB (1) 求椭圆C的标准方程： (2) 若M，N为椭圆上异于点A的两点

32、，且直线,AMAN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否 为定值 ?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 【答案】 (1) 22 1 43 xy ;(2) 1 2 . 试题解析 : （1）由题意可知1c， 令xc，代入椭圆可得 2 b y a ，所以 2 2 3 b a ，又 22 1ab， 两式联立解得： 22 4,3ab， 22 1 43 xy . 18 又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以k代替k，可得 2 2 4123 34 N kk x k ， 3 2 NN ykxk, 所以直线MN的斜率 2 1 2 MN MN MN MNMN k xxk yy k xxxx ， 即直线

33、MN的斜率为定值，其值为 1 2 . 点睛 : 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次 的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转 化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦 中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用 16 【北京市西城鲁迅中学2016-2017 学年高二上学期期中】过点0,1M且与直线:1ly相切，设 圆 心C的 轨迹 为曲 线E，A，B（A在y轴 的 右侧 ）为 曲线E上 的 两点，点 0,(0)Ptt，且满足(1)ABPB

34、uuu vu uu v （）求曲线E的方程 （）若6t，直线 AB的斜率为 1 2 ，过 A ， B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切 线，求圆N的方程 （）分别过A，B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求 证：t与QA QB uu u v uuu v 均为定值 【答案】 (1) 2 4xy (2) 22 323125 222 xy (3) 见解析 【解析】试题分析： （1）由抛物线定义得曲线E为抛物线，根据基本量可得其标准方程（2）先根据直 线AB方程与抛物线方程解出A,B两点坐标，再利用导数求出在点A处的切线的斜率，则得圆心与 A连线的直线方程， 设圆一般式方程， 利

35、用三个条件解方程组得圆N的方程 （3） 设 2 1 1, 4 x A x ， 2 2 2, 4 x B x，, 1Q a，则利用导数求出在点A处的切线的斜率，利用点斜式写出切线方 19 程 2 11240xax，同理可得 2 22240xax，即得 2 240xax两根为 12 ,x x，利用 韦达定理化简直线AB斜率得 2 a ，即得AB方程为1 2 a yx，因此1t，再根据向量数量积 可计算得QA QB uu u v uu u v =0 由 2 4 2120 xy xy ，得6,9A，4,4B 2 4xy，即 2 1 4 yx， 1 2 yx 抛物线 2 4xy在点A处切线的斜率 1 6

36、3 2 y 圆C的方程为 2222 323323 44 2222 xy ， 整理得 22 323125 222 xy 20 （）设 2 1 1, 4 x A x ， 2 2 2, 4 x B x ，, 1Q a， 过点A的切线方程为 2 11 1 42 xx yxx， 即 2 11 240xax， 同理得 2 22 240xax， 12 2xxa， 12 4x x， 又 22 12 12 12 44 4 AB xx xx k xx ， 整理得 2 22 48 42110 4 a aa， t与QA QB uuu v u uu v 均为定值 点睛： 1. 求定值问题常见的方法有两种 (1) 从特殊

37、入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 2定点的探索与证明问题 (1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立,k b等量关系进行消 元，借助于直线系的思想找出定点 (2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关 17 【南宁市2018 届高三毕业班摸底联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为. （l）求抛物线的方程； （2）抛物线上一点的纵坐标为1 ，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重 合），设直线的斜率分别为，求证：为定值 . 【答案】 (1)；(2) 证明见解析 . 【解析】试题分析：

38、 （1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物 线方程。（2）由（ 1）知抛物线的方程，及，设过点的直线的方程 为, 代入得, 由韦达定理可求得为定值上。 21 （2）点在抛物线上，且. ，设过点的直线的方程为，即， 代入得， 设，则， 所以. 18如图，椭圆经过点，且离心率为 （）求椭圆的方程 （）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点， （均异于点），判断直线与 的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由 【答案】（1） （）斜率之和为定值 【解析】（1）根据题意知：，结合，解得： ， 椭圆的方程为： 22 从而直线，的斜率之和： 故直线

39、、斜率之和为定值 点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭 圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉 及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜 率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程， 利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作 用 19【广西柳州市2018 届高三毕业班上学期摸底联考】已知抛物线C的顶点在原点， 焦点在x轴上， 且抛物线上有一点4,Pm到焦点的距离为5. （1）求该抛物线C的方程； （2）已知抛物线上

40、一点,4M t，过点 M 作抛物线的两条弦 MD和ME ，且MD ME ， 判断直线DE是否过定点？并说明理由. 【答案】（1） 2 4yx. （2）8, 4 【解析】试题分析：(1) 求出抛物线的焦点坐标, 结合题意列关于p的等式求p, 则抛物线方程可求; (2) 由(1) 求出M的坐标 , 设出直线DE的方程xmyt , 联立直线方程和抛物线方程, 化为关于y的一元二 次方程后D,E两点纵坐标的和与积, 利用0MD ME uuu u v uu uv 得到t与m的关系 , 进一步得到DE方程 , 由直线系方 程可得直线DE所过定点 . 23 （2）由（ 1）可得点4,4M，可得直线 DE的斜

41、率不为 0 ， 设直线DE的方程为：xmyt， 联立 2 4 xmyt yx ，得 2 440ymyt， 则 2 16160mt . 设 1122 ,D xyE xy，则 1212 4 ,4yym y yt. 62 21tm，即48tm或44tm， 代人式检验均满足0， 直线DE的方程为：4848xmymm y或44xm y. 直线过定点8, 4（定点4,4不满足题意，故舍去） . 点睛 : 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离( 抛物线上的点到焦点的距离、抛物线 上的点到准线的距离) 进行等量转化 如果问题中涉及抛物线的焦点和准线， 又能与距离联系起来， 那么用抛物线定义就能解

42、决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用 抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化 20 【 云 南 省 昆 明 一 中2018届 高 三 第 一 次 摸 底 测 试 】 已 知 动 点,Mx y满 足 ： 22 22 112 2xyxy. （1）求动点M的轨迹E的方程； （2）设过点1,0N的直线l与曲线E交于,A B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不 重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标. 24 【答案】（1） 2 2 1 2 x y； （2）直线过定点2,0，证明见解析 . 【 解 析 】 试 题 分 析 ： （ 1） 动 点M到

43、 点1 , 0P，1, 0Q的 距 离 之 和 为2 2， 且 2 2PQ，所以动点M的轨迹为椭圆，从而可求动点M的轨迹E的方程；（2）直线l的方程 为：1yk x，由 2 2 1 1 2 yk x x y 得 2222 124220kxk xk，根据韦达定 理可得 1221 21 2 x yx y xx ，直线BC的方程为 21 21 2 yy yx xx ，即可证明其过定点. 所以 2 122 4 12 k xx k ， 2 122 22 12 k x x k ， 直线BC的方程为： 21 22 21 yy yyxx xx ，所以 211221 2121 yyx yx y yx xxxx ， 令0y，则 12121212 1221 211212 22 2 22 kx xk xxx xxx x yx y x yyk xxkxx ， 所以直线BC与x轴交于定点2,0D.