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1、普通高等学校招生全国统一考试 数学（理） （北京卷） 本试卷共5 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）若集合A= x|2 3，则 A B= （A）x|2 x 1 （B）x|2 x 3 （C）x|1 x 1 （D）x|1 x 3 （2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）2 （B） （C） （D） （3）若复数（ 1 i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象
2、限，则实数a 的取值范围是 （A）(， 1) 3 2 5 3 8 5 （B）(， 1) （C）(1，+) （D）(1， +) （4）若 x，y 满足 ，则 x + 2y 的最大值为 （A）1 （B）3 （C） 5 （D）9 （5）已知函数，则 （A）是奇函数，且在R 上是增函数 （B）是偶函数，且在R 上是增函数 （C）是奇函数，且在R 上是减函数 （D）是偶函数，且在R 上是减函数 （6）设 m,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度
3、为 1 (x)3 3 x x f(x)f mnm n0 （A）3 （B） 2 （C） 2 （D）2 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为，而可观测宇宙中普通物质 的原子总数N 约为.则下列各数中与最接近的是 （参考数据：lg3 0.48 ） （A）1033 （B）10 53 （C）1073 （D）10 93 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共6 小题，每小题5分，共 30 分。 （9）若双曲线 的离心率为，则实数 m=_. （10） 若等差数列和等比数列满足 a1=b1= 1， a4=b4=8， 则=_. （11）在极坐标系中，点A 在圆，点 P 的坐标为 (1,
4、0)，则 |AP|的最小值为. （12）在平面直角坐标系xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称。 2 3 2 M N 2 2 1 y x m 3 n a n b 2 2 a b 2 2cos4sin40 若，= . （13）能够说明“设a， b，c 是任意实数 .若 abc，则 a+bc”是假命题的一组整数a， b，c 的值依次为 _. （14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵 坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标学科 &网分别为 第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1， 2，3
5、。 记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1， Q2，Q3中最大的是 _。 记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则 p1， p2， p3中最大的是 _。 三、解答题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13 分） 在 ABC 中，=60 ，c=a. （）求sinC 的值； （）若a=7,求 ABC 的面积 . （16）（本小题14 分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD 平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上， PD/平面 MAC,PA=PD=,AB=4. 1 sin 3
6、cos() A 3 7 6 (I)求证： M 为 PB 的中点； (II) 求二面角B-PD-A 的大小； (III) 求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正炫值。 （17）（本小题13 分） 为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组个50 名，一组服药，另一组 不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy 和的学科 .网数据，并制成下图，其中 “”表示服药者，“+”表示为服药者. （）从服药的50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于 60 的概率； （）从图中A,B,C,D, 四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x 的值大于1.7 的人 数，求的分布列和
7、数学期望E（）； （） 试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小. （只需写出结论） （18）（本小题14 分） 已知抛物线C： y2=2px 过点 P(1,1).过点 (0, )作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点M,N， 过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线OP、ON 交于点 A,B，其中 O 为原点 . （）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （）求证： A 为线段 BM 的中点 . 1 2 （19）（本小题13 分） 已知函数f(x)=excosx- x. （）求曲线y= f(x)在点 (0,f(0)处的切线方程； （）求函数f
8、(x)在区间 0,上的最大值和最小值. （20）（本小题13 分） 设 an 和bn 是两个等差数列，记 cn=max b1 a1n,b2 a2n, , bn ann( n=1,2,3,)， 其中 max x1,x2, , xs表示 x1,x2, , xs 这 s 个数中最大的数 （ ）若 an=n，bn=2n 1，求 c1,c2,c3的值，并证明 cn是等差数列； （ ）证明： 或者对任意正数M，存在正整数m，当 n m 时，；或者存在正整数m， 使得 cm,cm+1,cm+2, 是等差数列 2017 年北京高考数学（理科）参考答案与解析 1A 【解析】集合|21Axx与集合|13或Bx x
9、x的公共部分为| 21xx， 故选 A 2B 【解析】 (1i)(i)(1)(1)iaaa，Q 对应的点在第二象限， 10 10 a a 解得：1a 故选 B 3C 【解析】当0k时，3k成立，进入循环，此时1k，2s； 当1k时，3k成立，继续循环，此时2k， 3 2 s； 当2k时，3k成立，继续循环，此时3k， 5 3 s ； 当3k时，3k不成立，循环结束，输出s 故选 C 4D 【解析】设2zxy ，则 1 22 z yx，由下图可行域分析可知，在33，处取得最大值， 代入可得 max 9z ，故选 D 2 n c M n 5A 【解析】奇偶性： fx 的定义域是R，关于原点对称，
10、由 11 33 33 xx xx fxfx 可得fx为奇函数 单调性： 函数3 x y是R上的增函数， 函数 1 3 x y是R上的减函数， 根据单调性 的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即 1 =3 3 x x fx 是R上的增函 数综上选A 6A 【解析】由于 u r m ， r n 是非零向量，“ 存在负数，使得 u rr mn ” 根据向量共线基本定理可 知 u r m与 r n共线，由于 0，所以 ur m与 r n方向相反，从而有0 u rr m n ，所以是充分条 件。反之，若0 u rr m n， ur m 与 r n方向相反或夹角为钝角时， u r m 与 r n
11、可能不共线，所 以不是必要条件。综上所述，可知mn” 是“0m n” 的充分不必要条件，所以 选 A 7B 【解析】如下图所示，在四棱锥PABCD中，最长的棱为PA， 所以 2222 =2(2 2)2 3PAPCAC，故选 B 8D 【解析】由于 36180 lglglglg3lg10361 0.48 8093.28 M MN N =， 所以 93.28 10 M N ，故选 D 9 2 【解析】 双曲线的离心率为3 3 c a 22 3ca 1a ， b m ， 222 abc 22222 3312bmcaaa 10 1 【解析】 n a 是等差数列，1 1a ，4 8a ， 公差3d 21
12、 2aad n b 为等比数列， 11b，48b 公比2q 21 2bbq 故 2 2 1 a b 11 1 【解析】把圆 2 2cos4sin40 改写为直角坐标方程 22 2440xyxy，化 简为 22 (1)(2)1xy，它是以 1,2 为圆心， 1 为半径的圆。画出图形，连结圆 心O与点P，交圆于点A，此时AP取最小值， A点坐标为 1,1 ， 1AP 12 7 9 【解析】 因为角和角的终边关于 y轴对称 1 sinsin 3 ，cos cos cos coscossinsin 2227 cossin2sin1 9 13 1，2，3 【解析】由题意知a，b，c均小于0，所以找到任意
13、一组负整数，满足题意即可 14 1 Q 2 p 【解析】 设线段 ii AB的中点为， iii Cxy ，则 2 ii Qy，其中123， ，i 因此只需比较 1C，2C，3C三个点纵坐标的大小即可 由题意， i i i y p x ，123， ，i，故只需比较三条直线 1 OC ，2 OC ，3 OC 的斜率即 可 15 【解析】（ 1） 3 7 Q ca 由正弦定理得： 3333 3 sinsin 77214 CA （2） 3 7 Q caa 60CA C为锐角 O(1,2) P(1,0) A(1,1) 2 1 y x 由 3 3 sin 14 C 得： 13 cos 14 C sinsi
14、n ()sin()BACAC sincoscos sinACAC 31313 3 214214 4 3 7 又 33 73 77 Q ca 1 sin 2 ABC SacB 14 3 73 27 6 3 16 【解析】（ 1）取 AC 、BD交点为 N，连结MN PD面MAC PD面PBD 面PBD面MAC MN PDMN 在PBD中， N为BD中点 M为PB中点 （2）方法一： 取AD中点为 O，BC中点为E，连结OP，OE PAPD，PO AD 又面 PAD 面 ABCD 面PAD面ABCD AD PO 面 ABCD 以OD为 x 轴， OE为 y 轴， OP为z轴建立空间直角坐标 可知
15、200D， ， ， 200A， ， ， 240B， ， ， 002P， ， 易知面PD的法向量为 010m u r ， ， 且 202PD uu u r ， ， ， 242PB uu u r ， ， 设面PBD的法向量为 nxyz r ， 220 2420 xz xyz 可知 112n r ， ， 2 222 11 cos 2 1112 mn urr ， 由图可知二面角的平面角为锐角 二面角BPDA大小为 60 方法二： 过点A作AHPD，交PD于点E，连结BE BA平面PAD，PDBA， PD平面BAH，PDBH， AEB即为二面角BPDA的平面角 AD POAE PD，可求得 4 3 3
16、AE 4 tan3 4 3 AEB 60AEB （3）方法一： 点 2 12 2 M， ，240C， ， 2 32 2 MC uu uu r ， ， 由（ 2）题面BDP的一个法向量112n r ， ， 设MC与平面BDP所成角为 222 32126 sincos 91 94112 2 MCn uu uu rr ， （） G N F P H M B C D A 方法二： 记 ACBDFI ，取AB中点N，连结MN，FN，MF 取FN中点G，连MG，易证点G是FN中点， MGPO 平面PAD平面ABCD，POAD， PO平面ABCD MG平面ABCD 连结GC， 13GC ， 12 22 MGP
17、O 3 6 2 MC 6PD ， 4 2BD ， 22PB ，由余弦定理知 3 cos 3 PDB 6 sin 3 PDB， 1 sin4 2 2 PDB SPD DBPDB 设点C到平面PDB的距离为h， 1 3 P DBCPDB VSh 又 1 3 P DBCCPDBBCD VVSPO ，求得2h 记直线MC与平面BDP所成角为 22 6 sin 9 3 6 2 h MC 17 【解析】（ 1）50 名服药者中指标 y的值小于 60 的人有 15 人，故随机抽取1 人，此人指标 y 的值小于60 的概率为 153 5010 （2）的可能取值为：0，1，2 2 2 2 4 1 0 6 C P
18、 C ， 11 22 2 4 42 1 63 CC P C ， 2 2 2 4 1 2 6 C P C 0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 121 ( )0121 636 E （3）从图中服药者和未服药者指标 y数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。 18 【解析】（ 1）由抛物线 2 2ypx 过点(1,1)，代入原方程得 2 1 =21p， 所以 1 2 p ，原方程为 2 y x 由此得抛物线焦点为 1 ,0 4 ，准线方程为 1 4 x （2） 法一： BMx轴 设 112211,，ABMxyN xyA x yB xy，根据题意显然有10x 若要证A为BM中点 只需证 2 ABM
19、 yyy 即可，左右同除 1 x有 111 2 ABMyyy xxx 即只需证明2 OAOBOM kkk 成立 其中1, OAOPOBONkkkk 当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意， 所以直线MN斜率存在且不为零 设直线 1 0 2 ：MNykxk 联立 2 1 2 ykx yx 有 221 10 4 k xkx， 考虑 2 21 1412 4 kkk，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所 以 1 2 k 由韦达定理可知： 12 2 1k xx k ， 1 2 2 1 4 x x k 21 21 21 12 2112 11 22 2 2 OBOMONOM
20、yy kkkk xx kxkx xx k xxx x 将 代入上式，有 2 12 12 2 1 2222 12 1 2 2 4 k xx k kkkk x x k 即22 ONOMOBOMOA kkkkk ，所以 2 ABM yyy 恒成立 A为BM中点，得证 法二： 当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意， 所以直线MN斜率存在且不为零 设 1 0, 2 为点，过 Q 的直线MN方程为 1 0 2 ykxk，设 1122 (,),(,)M xyN xy ， 显然， 12,x x均不为零 联立方程 2 1 2 yx ykx 得 22 1 (1)0 4 k xkx，
21、 考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 1 2 k 由韦达定理可知： 12 2 1k xx k ， 由题可得,A B横坐标相等且同为 1x，且 2 2 : ON y lyx x ，B在直线ON上， 又A在直线OP：y x上，所以 12 111 2 (,), x y A x xB x x ，若要证明 A为BM中点， 只需证 2 ABM yyy ，即证 12 11 2 2 x y yx x ，即证 122112 2x yx yx x ， 将 11 22 1 2 1 2 ykx ykx 代入上式， 即证 21121 2 11 ()()2 22 kxxkxxx x，即 1212 1 (22)
22、()0 2 kx xxx， 将 代入得 22 11 (22)0 42 k k kk ，化简有恒成立， 所以 2 ABM yyy 恒成立， 所以A为BM中点 19 【解析】（ 1）( )e cos x f xxx (0)1,( )e cose sin1e (cossin )1 xxx ffxxxxx 0 (0)e (cos0sin0)10f ( )f x 在 (0,(0)f处的切线方程为(0)(0)(0)yffx，即10y （2）令( )( )e (cossin )1 x g xfxxx ( )e (cossin )+e ( sincos )2e sin xxx g xxxxxx 0 2 x，时
23、，( )2e sin0 x g xx ( )g x 在 0 2 ， 上单调递减 0 2 x，时，( )(0)(0)0g xgf，即( )0fx ( )f x 在 0 2 ，上单调递减 0x时，( )f x 有最大值(0)1f； 2 x时， ( )f x 有最小值 2 e cos 2222 f 20 【解析】（ 1）易知 1 1a ，2 2a ，3 3a 且1 1b ，2 3b ，3 5b 111 0cba ， 21122 max22max111，cbaba ， 3112233 max333max2342，cbababa 下面我们证明，对 * Nn且2n，都有 11n cban 当 * Nk且2
24、kn时， 11kk banban 211knkn 221kn k 12kn 10k且20n， 1111 0 kkkk banbanbanban 因此，对 * Nn且2n，11 1 n cbann，则 1 1 nn cc 又 21 1cc ， 故 1 1 nn cc 对 * Nn均成立，从而 n c 为等差数列 （2）设数列 n a与 n b 的公差分别为a d ， b d，下面我们考虑n c 的取值 对 11 ban， 22 ban， nn ban， 考虑其中任意项 ii ban（ * Ni 且1in ）， iiban 1 1 11 ba bidaidn 11 ()(1)() ba banid
25、dn 下面我们分0 a d ， 0 a d ， 0 a d 三种情况进行讨论 （1）若0 a d ，则 11 1 iib banbanid 若0 bd ，则1110iibbanbanid 则对于给定的正整数 n而言， 11n cban 此时 11nn cca ，故 n c 为等差数列 若0 b d ，则 0 iinnb banbanind 则对于给定的正整数 n而言， 1nnnn cbanban 此时 11nnb ccda，故 n c 为等差数列 此时取1m，则 123 L， ，ccc 是等差数列，命题成立 （2）若 0 a d ，则此时 ab dnd 为一个关于 n的一次项系数为负数的一次函
26、 数 故必存在 * Nm，使得当nm时， 0 abdnd 则 当nm时 ， 11 10 iiab banbanidnd （ * Ni， 1in ） 因此，当nm时， 11n cban 此时 11nn cca ，故 n c 从第 m项开始为等差数列，命题成立 （3）若0 a d ，则此时 ab dnd 为一个关于 n的一次项系数为正数的一次函 数 故必存在 * Ns，使得当ns时， 0 ab dnd 则 当ns时 ， 0 iinnabbanbanindnd（ * Ni， 1in ） 因此，当ns时， nnn cban 此时 n c n nn ban n n n b a n 1 1 b aab b
27、d dndad n 令0 a dA ， 1ab dadB， 1b bdC 下面证明 n cC AnB nn 对任意正数 M，存在正整数 m，使得当 nm时， n c M n 若0C，则取 1 MB m A （ x 表示不大于 x的最大整数） 当nm时， 1 n MBc AnBAmBAB nA MB ABM A ， 此时命题成立 若0C，则取1 MCB m A 当nm时， n MCBc AnBCAmBCABCMCBBCM nA 此时命题也成立 因此，对任意正数M，存在正整数m，使得当nm时， n c M n 综合以上三种情况，命题得证 浅谈幼儿心理健康教育 摘 要: 城乡各类幼儿园都应从实际出发
28、，因地制宜地实施素质教育为幼儿一生的发展打好基础 。心理健康教育是当代教育的主题，也是幼儿教育的主题。 幼儿教育是基础教育的重要组成部分，是我国学校 教育和终身教育的奠基阶段。关键词: 幼儿心理心理健康心理健康教育 正文 现代的健康概念包括生理健康和心理健康两个方面。世界卫生组织把健康定义为“不但没有身体的缺陷和疾病，还要有生理、心理和 社会适应能力的完满状态。”幼儿园教育指导纲要(试行) 指出：幼儿园必须把保护幼儿的生命和促进幼儿的健康放在教育工作的首要位置，树立正确的健康观念，在重视幼儿身体健康的同时，要重视 幼儿的心理健康。当前，全社会都在重视成人的心理健康问题，但往往忽视幼儿的心理健康问题。 但是从目前我国幼儿园教育的现状来看，由于传统教育观念、 文化等等各种因素的影响， 严重忽视幼儿健康心 理和人格的培养， 致使目前儿童中相当普遍地存在着独立性差、心理脆弱、怕苦畏难、不懂得关心人、缺乏创造性、缺乏合作交往意识和 能力、自控能力差等问题，不少儿童还存在种种心理和行为偏差。这种状况如不加以重视，势必影响一代人的素质。因此，重视和加强幼儿心理健康教育是幼儿园教育无法回避的课题。那么幼儿园该如何进 行幼儿心理健康教育呢？一、 找出幼儿存在哪些心理健康问题。 目前，在我国幼儿中主要有以下几个方面的心理健康问题：一是