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1、12 第三节空间点、直线、平面之间的位置关系 时间： 45分钟分值： 75 分 一、选择题 (本大题共 6 小题 ，每小题 5 分 ，共 30 分) 1已知平面外一点 P和平面内不共线三点 A ，B ，C ，A ， B ，C分别在 PA ，PB ，PC上 ，若延长 AB ，BC ， AC与平面分别交于 D ，E ，F三点 ，则D ，E ，F三点( ) A成钝角三角形B成锐角三角形 C成直角三角形D在一条直线上 解析D ，E ， F 为已知平面与平面ABC的公共点，D ， E ，F 共线 答案D 2(2019 安徽卷)在下列命题中，不是公理的是 ( ) A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过
2、不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析B 是公理 2 ，C 是公理 1 ，D 是公理 3 ，只有 A 不是公 理 答案A 3已知空间中有不共线的三条线段AB、BC和CD ，且ABC BCD ，那么直线 AB与CD的位置关系是 ( ) AABCDBAB与CD异面 12 CAB与CD相交D以上情况均有可能 解析若三条线段共面，则直线 AB与 CD 相交或平行； 若不共 面 ，则直线 AB与 CD 是异面直线，故选 D. 答案D 4若直线 l不
3、平行于平面 ，且l?，则( ) A 内的所有直线与 l异面 B 内不存在与 l平行的直线 C 内存在唯一的直线与 l平行 D 内的直线与 l都相交 解析依题意 ，直线 l A(如图) 内的直线若经过点A ， 则与直线 l 相交；若不经过点A ，则与直线 l 是异面直线，故选 B. 答案B 5(2014 桂林中学上学期期 中)下列四个图是正方体或正四面体， P、Q、R、S分别是所在棱的中点， 这四个点不共面的图的个数为( ) 12 12 A1 B2 C3 D4 解析只有第四个图中的四点不共面 答案A 6(2019 江西卷)如下图， 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上， 且AB CD ，
4、正方体的六个面所在的平面与直线CE， EF相交的平面个数分别记为m ，n ，那么mn( ) A8 B9 12 C10 D11 解析如下图 ，CE? 平面 ABPQ ，CE平面 A1B1P1Q1， CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，m4； EF平面 BPP1B1，且 EF平面 AQQ1A1，EF与正方体的其余四个面所在 平面均相交，n4 ，故 mn8 ，选 A. 答案A 二、填空题 (本大题共 3 小题 ，每小题 5 分 ，共 15 分) 7设P表示一个点 ，a ，b表示两条直线， 表示两个平面， 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_ Pa ，P ? a? abP ，b? ? a?
5、ab ，a? ，Pb ，P ? b? b ，P，P ? Pb 12 解析当 a P时 ，Pa ，P，但 a?，错； a P时 ，错；如图，ab ，Pb ，P?a ，由直线 a 与点 P确定唯一平面 ，又 ab ，由 a与 b确定唯一平面 ，但 经过 直线 a与点 P ， 与 重合 ，b? ，故正确；两个平面的公 共点必在其交线上，故正确 答案 8在空间中， 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线； 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 以上两个命题中， 逆命题为真命题的是 _(把符合要求的命题序号都填上) 解析对于可举反例，如 ABCD ，A ，B ，C ，D 没有 三点共线， 但
6、A ， B ，C ， D 共面对于由异面直线定义知正确， 故填 . 答案 12 9(2019 安徽卷 )如图 ，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1 ， P为BC的中点，Q为线段 CC1上的动点，过点A，P， Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 _ (写出所有正确命题的编号) 当0CQ 1 2 时 ，S为四边形 当CQ 1 2 时 ，S为等腰梯形 当CQ 3 4 时 ，S与C1D1的交点 R满足C1R 1 3 当 3 4 CQ1时 ，S为六边形 当CQ1时 ，S的面积为 6 2 解析对于，如图 1 ，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱 12 长为 1 ，当 CQ
7、 1 2 时 ，PQ 2 2 ，这时截面 S交棱 DD1于 D1， APD1Q 5 2 ，且 PQAD1，截面 S为等腰梯形，当 CQ 1 2 时 ， 截面 S与棱 DD1相交 ， 截面 S为四边形， 故正确；对于， 如图 2 ，延长 QR交 DD1的延长线于 N 点 ，连接 AN交 A1D1于 M ， 取 AD 中点 G ，作 GHPQ交 DD1于 H 点 ，可得 GHAN 且 GH 1 2 AN ，设 CQt(0t1) ，则 DN2t ，ND12t1 ， ND1 C1Q D1R C1R 2t1 1t ，当 t 3 4 时 ， D1R C1R 2 1 ，可得 C1R 1 3 ，故 正确 ，
8、当 3 4 t1 时 ，S为五边形，故错误，当 t1 时 ，M 为 A1D1 的中点 ，http:/ S为菱形 PC1MA ， AC13 ， MP2 ， S的面积为 1 2 AC1 MP 6 2 ，故正确 图1图2 答案 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为 D1C1，C1B1 12 的中点， ACBDP，A1C1EFQ.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面 DBFE于R点，则 P，Q，R三点共线 证明(1)如图所示，因为 EF 是D1B1C1的中位线， 所以 EFB1D1. 在正方
9、体 AC1中，B1D1BD，所以 EFBD. 所以 EF，BD 确定一个平面， 即 D，B，F，E四点共面 (2)在正方体 AC1中，设平面 A1ACC1确定的平面为 ， 又设平面 BDEF 为 . 因为 QA1C1，所以 Q .又 QEF，所以 Q . 则 Q 是 与 的公共点， 同理， P点也是 与 的公共点所以 PQ. 又 A1C R，所以 RA1C，R且 R . 则 RPQ，故 P，Q，R三点共线 11已知空间四边形 ABCD中，ABCD3，E，F分别是BC， AD上的点，并且 BEECAFFD12，EF7 ，求AB和CD 12 所成角的余弦值 解如图所示，在 BD 上取点 G，使 B
10、GGD12，连接 EG， FG. 在BCD 中， BE EC BG GD 1 2， EGCD，且 GECD13， 同理 FGAB，且 FGAB23， EG与 FG 所成的角即为 AB与 CD 所成的角 在BCD 中，EGCD，CD3， 且 EGCD13，EG1. 在ABD 中， FGAB，AB3，FGAB23， FG2. 在EFG 中，EG1，FG2，EF7， 由余弦定理得 cosEGF EG2FG2EF2 2EG FG 1 2 ， 异面直线所成角 的范围是 0 90 ，cos 0. 12 AB与 CD 所成角的余弦值为 1 2. 12 (2013 湖 南 卷 )如图，在直棱柱 ABCA1B1
11、C1中， BAC90 ，ABAC2，AA13，D是BC的中点，点 E在棱BB1上 运动 ()证明： ADC1E； ( )当异面直线 AC，C1E所成的角为 60 时，求三棱锥 C1A1B1E 的体积 解()证明：因为 ABAC，D 是 BC 的中点，所以ADBC. 又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面 ABC，而 AD? 平面 ABC，所以 ADBB1. 由，得 AD平面 BB1C1C. 由点 E在棱 BB1上运动，得 C1E? 平面 BB1C1C，所以 ADC1E. ()因为 ACA1C1，所以 A1C1E 是异面直线AC，C1E 所成的 角，由题设， A1C1E60 . 因为 B1A1C1BAC90 ，所以 A1C1A1B1，又 AA1A1C1， 12 从而 A1C1平面 A1ABB1，于是 A1C1A1E. 故 C1E A1C1 cos60 22，又 B1C1 A1C2 1A1B2 12， 所以 B1EC1E2B1C2 12. 从而 V三棱锥 C1A1B1E 1 3 SA1B1EA1C1 1 3 1 2 222 2 3 .