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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.1.4 两条直线的交点 (建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、填空题 1 直线l1：xby1 与直线l2：xya的交点坐标为(0,2)， 则a_，b_. 【解析】将点 (0,2)代入xby1，得b 1 2， 将点 (0,2)代入xya，得a 2. 【答案】 2 1 2 2已知a为常数，则直线5x4y2a1 与直线 2x3ya的交点坐标为 _ 【解析】由 5x4y 2a 1， 2x3ya， 得 x 2a 3 7 ， y a2 7 . 所以交点坐标为 2a3 7 ， a 2 7 . 【答案】 2a3 7 ， a2 7 3已知P1(a1，b1)与
2、P2(a2，b2)是直线ykx 1(k为常数 )上两个不同的点，则关于x和y 的方程组 a1xb1y1， a2xb2y1 的解的情况是_ 无论k，P1，P2如何，总是无解； 无论k，P1，P2如何，总有唯一的解； 存在k，P1，P2，使之恰有两解； 存在k，P1，P2，使之有无穷多解 【解析】由题意，直线ykx1 一定不过原点O，P1，P2是直线ykx1 上不同的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 两点，则OP1与OP2不平行，因此a1b2a2b10，所以二元一次方程组 a1xb1y1， a2xb2y1 一 定有唯一解 【答案】 4 若三条直线xy40，xy10和xby0相交于一点，
3、则b的值是 _ 【解析】联立 xy 40， xy 10， 解得 x 5 2， y 3 2， 将点 5 2， 3 2 代入xby0，解 得b 5 3 . 【答案】 5 3 5直线l过直线 2xy40 与x3y50 的交点，且垂直于直线y 1 2x，则直线 l 的方程是 _. 【导学号： 41292089】 【解析】由 2xy40， x 3y50， 解得交点坐标为 7 5 ， 6 5 ，故直线l过点 7 5 ， 6 5 ，斜率 为 2，所以直线l的方程为y 6 5 2 x 7 5 ，即为 10x5y80. 【答案】10x5y80 6直线 (a2)y(1a)x30 与直线 (a2)y(2a3)x2
4、0不相交，则a_. 【解析】要使两直线不相交，则它们平行，当a 20 时，即a 2，两直线为x 1，x2，此时两直线平行，符合题意 当a 20 时， 1a a2 2a3 a2 ，解得a 2 3. 所以a 2 或a 2 3. 【答案】 2或 2 3 7直线 (2k1)x(k3)y(k11)0(kR)所经过的定点是_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】方程整理为k(2xy1)(x3y11)0(kR) 由题意知 2xy10， x 3y110， 解得 x2， y3， 即直线过定点(2,3) 【答案】(2,3) 8若直线l：ykx3与直线 2x3y6 0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜
5、角 的取值范围是 _ 【解析】如图，直线2x 3y60 过点A(3,0)，B(0,2)，直线l必过点C(0，3)， 当直线l过点A时，两直线的交点在x轴上， 此时直线l的斜率为kAC 3 3 ，倾斜角为30， 当直线l绕点C逆时针旋转时， 交点进入第一象限， 倾斜角无限趋近于90，从而得出结果 【答案】 6， 2 二、解答题 9当 0a2 时，直线l1：ax2y2a4 和l2：2xa 2y2a24 与坐标轴围成一个四边 形，求使四边形的面积最小时的a值 【解】如图，直线l1：a(x2)2(y2)0. 过定点B(2,2) 直线l2：(2x 4)a2(y2)0， 由 2x40 和y2 0，得l2也
6、过定点B(2,2) l1与y轴交于点A(0,2a)， l2与x轴交于点C(a 2 2,0) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 S四边形OABCSAOBSBOC 1 2(2 a)2 1 2(a 22)2 a 2 a4a 1 2 2 15 4 . 当a 1 2 时，S取最小值 15 4 . 即四边形OABC的面积最小时，a的值为 1 2. 10已知过原点的直线l与两直线l1：4xy60，l2：3x5y60 交点的横坐标分 别为xA，xB，且xAxB0，求直线l的方程 【解】若l的斜率不存在，则l的方程为x0， xAxB0，满足xAxB 0的要求， l的方程可以是x0. 若l的斜率存在，设为
7、k，则l的方程为ykx. 由 ykx， 4xy60， 得xA 6 4k； 由 ykx， 3x 5y60， 得xB 6 35k. 由xAxB0? 6 4k 6 35k0? k 1 6. l的方程为y 1 6x，即 x6y0. l的方程为x0 或x6y0. 能力提升 1若直线yx与直线y 1 kx5 的交点在直线 ykx3 上，则k_. 【解析】由 y 1 kx5， yx， 解得xy 5k 1k，将 5k 1k， 5k 1k 代入ykx 3，得 5k 1k 5k2 1k3，解得 k 3 5. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【答案】 3 5 2三条直线x2y10，x3y10 和ax2y
8、30 共有两个不同的交点，则a _. 【解析】由于直线l1：x2y10，l2：x3y10 有一交点 1 5， 2 5 ，要使三条直 线有两个不同的交点，则必使l3：ax2y 30 与l1平行或与l2平行所以a 1 或a 2 3 . 【答案】 1或 2 3 3 直线l经过 2x 3y20 和 3x4y2 0的交点且与两坐标轴围成等腰直角三角形， 则直线l的方程为 _ 【解析】解方程组 2x 3y20， 3x 4y20， 得两直线交点坐标为(14,10)又由三角形为等腰 直角三角形知所求直线斜率k 1，即可写出所求的直线方程 【答案】xy 40 或xy240 4已知ABC中，顶点A(0,1)，AB
9、边上的高线CD所在直线的方程是x2y40， AC边上的中线BM所在直线的方程为2xy 30，求ABC的顶点B，C及垂心H的坐 标. 【导学号： 41292090】 【解】AB边上的高线CD的方程为x 2y40， kCD 1 2， kAB2， 直线AB的方程为y2x1， 由 y2x1， 2xy30， 得 x 1 2， y2， 即B 1 2，2 . 设C(m，n)，则由已知条件得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 m2n4 0， 2 m 2 n1 2 30， 得 m2， n1， C(2,1) BC边所在直线的方程为 y2 12 x 1 2 2 1 2 ，即 2x3y70， BC上的高线AE所在直线的方程为 y 3 2( )x1， 即 3x2y30， 由 3x 2y30， x2y40， 得H 7 4 ， 9 8 .